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FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD - Coggle Diagram
FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
3.1 FÓRMULAS DE CONTEO
Esto nos sirve para realizar un conteo de los elementos de grupo.
3.1.1 PERMUTACIONES
Son los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un grupo.
En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos.
Suponga un conjunto de n elementos diferentes, del cual se toma un arreglo de r elementos.
Si cada arreglo incluye un elemento (r=1), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n (Cualquiera de los n elementos puede ser elegido)
Si cada arreglo incluye 2 elementos (r=2), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n(n-1) (Para elegir el segundo elemento quedan n – 1 disponibles)
Si cada arreglo incluye 3 elementos (r=3), la cantidad de arreglos diferentes que se obtienen es:
n(n-1)(n-2) (Para elegir el tercer elemento
quedan n – 2 disponibles)
La fórmula de permutaciones se puede expresar en notación factorial completando el producto:
3.1.2 PERMUTACIONES CON TODOS LOS ELEMENTOS
3.1.3 ARREGLO CIRCULAR
Suponga un grupo conteniendo n elementos diferentes. Un arreglo circular es una permutación
con todos los elementos del grupo,tal que el primero y el último elemento están conectados.
Para que los arreglos sean diferentes, se debe fijar un elemento, mientras que los otros pueden
ser intercambiados.
3.1.4 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS
Si del total de n elementos, n1 fuesen repetidos, entonces los arreglos tendrían formas idénticas
cuando se considera el orden de los n1 elementos repetidos. Existen n1! formas de tomar los n1
elementos repetidos, por lo tanto, la cantidad de permutaciones se reduciría por el factor n1!
Este razonamiento, puede extenderse cuando hay más grupos de elementos repetidos
Sean:
n: Cantidad total de elementos
n1: Cantidad de elementos repetidos de un primer tipo
n2: Cantidad de elementos repetidos de un segundo tipo
Se debe cumplir que n1 + n2 = n
3.1.5 COMBINACIONES
Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el
orden de los elementos en cada arreglo no es de interés.
Cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que contiene, sin importar su ubicación.
Sean
n: Cantidad de elementos del conjunto
r: Cantidad de elementos en cada arreglo
3.2 EXPERIMENTO ESTADÍSTICO
Es un procedimiento que se realiza con el propósito de obtener observaciones para algún
estudio de interés. Un experimento requiere realizar pruebas o ensayos para obtener
resultados.
Un Experimento Estadístico tiene las siguientes características:
Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento.
No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)
Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares.
Se puede establecer un patrón predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento. Esta propiedad se denomina regularidad estadística
3.3 ESPACIO MUESTRAL
El Espacio Muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina Punto Muestral.
Según la naturaleza del experimento, los puntos muéstrales pueden determinar que S sea
discreto o continuo.
S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los números
naturales. En este caso S puede ser finito o infinito.
S es continuo si los resultados corresponden a algún intervalo de los números reales. En este
caso S es infinito por definición.
3.4 EVENTOS
Un evento es algún subconjunto del Espacio Muestral S. Se pueden usar letras mayúsculas
para denotar eventos: A, B, . . . También se pueden usar índices E1, E2, . . .
3.5 σ-ALGEBRA
El soporte matemático natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teoría
de Conjuntos.
En resumen, una σ-Algebra A incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a la
operación de unión de conjuntos.
3.6 PROBABILIDAD DE EVENTOS
El valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realización
Sea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realice
P(A)=0 es la certeza de que no se realizará
P(A)=1 es la certeza de que si se realizará
P(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice.
3.6.1 Asignación de valores de probabilidad a eventos
1) Empírica
Es la proporción de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total de
intentos realizados.
2) Mediante modelos matemáticos
Para muchas situaciones de interés puede construirse modelos matemáticos con los cuales se
puede determinar la probabilidad de eventos.
3) Asignación clásica
Su origen es la Teoría de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la relación entre la
cantidad de resultados que se consideran favorables para el evento de interés, respecto al total de resultados posibles (Espacio Muestral).
3.6.2 Probabilidad de Eventos Simples
Un Evento Simple incluye un solo punto muestral. Un evento cualquiera A de S puede
considerarse entonces como la unión de sus eventos simples.
3.7 AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOS
Sea
S: Espacio muestral
E: Evento de S
P(E): Probabilidad del evento E
ℜ: Conjunto de los reales
Sea P una función que asocia a cada evento E de S un número real:
P se denomina Función de Probabilidad de un Evento y cumple los siguientes axiomas
El primer axioma indica que la probabilidad de un evento no puede tener valores negativos. El
segundo axioma establece que la probabilidad de que un resultado pertenezca al espacio
muestral es 1, lo cual es evidente pues S contiene todos los resultados posibles.
El tercer axioma establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la
probabilidad del evento que resulta de la unión de estos eventos, es la suma de las
probabilidades de ambos eventos.
3.8 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS
Con los axiomas establecidos se pueden demostrar algunas propiedades de interés, para los
eventos de un espacio muestral S.
3.8.1 Demostraciones basadas en axiomas de probabilidad
Las propiedades pueden extenderse a más eventos
Sean A, B, C, tres eventos del espacio muestral S
3.9 PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada al valor de probabilidad de
otro evento.
Para justificar esta importante fórmula, suponga que S contiene solo dos eventos, A y B.
En la siguiente tabla se ha escrito simbólicamente el número de elementos de cada evento,
siendo N el total de elementos del espacio muestral:
3.10 EVENTOS INDEPENDIENTES
Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son
independientes si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende del
evento B y el evento B no depende del evento A
La definición de independencia entre dos eventos puede extenderse a más eventos
3.11 REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDAD
Sean A, B eventos no nulos cualquiera de S, entonces
Esta fórmula se la obtiene directamente despejando P(A∩B) de la fórmula de Probabilidad
Condicional.
La Regla Multiplicativa de Probabilidad puede extenderse a más eventos.
3.12 PROBABILIDAD TOTAL
Existen situaciones en las cuales varios eventos intervienen en la realización de algún otro
evento del mismo espacio muestral.
Sean B1, B2, ... ,BK eventos mutuamente excluyentes en S y que constituyen una partición de
S, es decir, cumplen las siguientes propiedades:
a) ∀i,j (Bi∩Bj = ∅, i ≠ j) (Los eventos son mutuamente excluyentes)
b) B1∪B2∪ ... ∪BK = S (La unión de todos estos eventos es S)
3.13 TEOREMA DE BAYES
Sean B1, B2, ... ,BK eventos no nulos mutuamente excluyentes de S y que constituyen una
partición de S, y sea A un evento no nulo cualquiera de S
permite calcular la probabilidad
correspondiente a cada uno de los eventos que contribuyen a la realización de otro evento,
dado que se conoce la probabilidad de este evento.
