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SUCESIONES
:
Características
Regla de Formación
El criterio que determina la relación entre los términos y su orden
Término general
Expresión algebraica en la cual se expresa la regla de formación
Nos permite calcular cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupe.
Relación de Recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Expresión algebraica que expresa el término n en función de los anteriores
Los limites
El límite de una sucesión es único, converge a un único punto
No todas las sucesiones tienen uno
Existe
Limite finito
Lo contienen las sucesiones convergentes
Limite infinito
Las sucesiones divergentes tienden al infinito
Para calcularlo debemos sustituir en { a
n
}; en
n
por ∞.
El límite L de una sucesión a(n) es el número al que la sucesión se aproxima cada vez más.
Operaciones
Resta
(an) – (bn) = (an – bn)
(an) – (bn) = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3, ..., an – bn)
Multiplicación
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Suma
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
División
(an) / (bn) = (an / bn)
(an) / (bn) = (a1/ b1, a2 /b2, a3/ b3, ..., an /bn); bn debe ser diferente de 0.
Historia
Civilización Mesopotámica y Egipcia
Las personas se preguntaban la forma de calcular valores en series de números
Antigua Grecia
Arquímedes usó las sucesiones para determinar el valor de Pi
300 d.C.
Se hablaban de sucesiones pares e impares
Siglo XIV
Madhava
Desarrolló series finitas y de potencias
Teorías utilizadas siglos después por los Europeos
Siglo XIII
Leonardo de Pisa
Publica su Liber Abaci (1202)
Descubrió la sucesión de Fibonacci
Renacimiento
Se la da importancia a las progresiones aritméticas y geométricas
Newton
Teorema del binomio
Desarrolló cualquier potencia como una serie finita
Leibniz
Creo el criterio de las series alternadas o criterio de Leibniz
Leonhard Euler
Grandes contribuciones decisivas, sobre todo, en el campo de las sucesiones y de las series numéricas con los límites.
Brook Taylor
Teorema de Taylor
Permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable.
Gauss
Creó la sucesión aritmética de diferencia 1
El término siguiente de la sucesión se obtiene sumando 1 al anterior, y además, en este caso, el primer término de la sucesión de números es el 1
Se puede calcular la suma de los n térmicos con la expresión
Concepto
Conjunto ordenado de objetos matemáticos denominados términos
El número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se denomina longitud de sucesión.
Los términos se designan con una letra y un subíndice que corresponde al lugar que ocupan: Los números a1, a2 , a3
Son funciones que hacen corresponder a cada número natural un número real
Aplicaciones
Para demostrar el número pi
Los campeonatos deportivos
El ganador debió pasar por la final (2 personas), la semifinal (4 personas), cuartos (8 personas) y así sucesivamente
a
n
=2^
n
Sucesión de Fibonacci
El caso de los conejos
Al inicio son una pareja bebé que al crecer y aparearse resultan dos parejas, se aparean y ahora son 3, luego serán 5 y así hasta que se cumpla la regla de sucesión
En el girasol
El universo
Intereses Bancarios
Industrias
Analizar cuantos productos se fabricarán
En los números primos
En la velocidad de un auto
Se analiza la velocidad con a que cambia en cada trayecto, curva o estación de servicio
La sincronización de los semáforos
En las redes de comunicación son esenciales, sin ellas no hubieran sido posibles
El cálculo de variables, análisis de datos, proyecciones de comportamiento y estadísticas
Webgrafía
http://agrega.educacion.es/repositorio/07122014/64/es_2014120712_9110455/2_concepto_de_sucesin_progresiones.html
https://significativa.org/diccionarios/sucesiones-numericas/
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_progresiones/3eso_quincena5.pdf
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/sucesiones-y-progresiones.html
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/sucesiones.html
https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/ejercicios-resueltos-sucesiones.html#:~:text=Son%20aritm%C3%A9ticas%20cuando%20cada%20t%C3%A9rmino,diferencia%20y%20denotamos%20por%20d.&text=Son%20geom%C3%A9tricas%20cuando%20cada%20t%C3%A9rmino,raz%C3%B3n%20y%20denotamos%20por%20r%20
https://significativa.org/sucesion-de-fibonacci/
https://recursos.salonesvirtuales.com/wp-content/uploads/bloques/2012/06/SucesionesCmap.pdf
https://bachilleratoenlinea.com/educar/mod/lesson/view.php?id=2481#:~:text=Para%20encontrar%20los%20t%C3%A9rminos%20de,n%C3%BAmero%20n%20que%20se%20indique.&text=Soluci%C3%B3n%3A,%2C3%2C4%20y%205.&text=Sucesi%C3%B3n%20infinita%3A%20Se%20presenta%20cuando,cuando%20el%20dominio%20es%20infinito
.
https://www.problemasyecuaciones.com/progresiones/progresion-aritmetica-geometrica-sucesion-diferencia-razon-termino-general-problemas-resueltos.html#:~:text=Una%20progresi%C3%B3n%20es%20geom%C3%A9trica%20si,cuya%20raz%C3%B3n%20es%20r%3D2%20
.
https://blogs.ua.es/matesfacil/progresiones-o-sucesiones/sucesion-monotona/
https://www.geogebra.org/m/V7KmMdZ5
https://www.matesfacil.com/ESO/progresiones/convergente-divergente-oscilante-alternada-acotada-limite-creciente-decreciente-monotona-problemas-resueltos.html
https://www.geogebra.org/m/M6HDBFxr#:~:text=Nota%3A%20si%20eliminamos%20el%20primer,%2C%20negativo%2C%20positivo
...
https://prezi.com/a4sopspokmby/sucesiones-en-la-vida-cotidiana/?frame=3e30b091fa48a0907fbb13a66615d604e69d3e97
https://prezi.com/j4kpbxsh5su6/aplicaciones-de-sucesiones-numericas-en-la-vida-diaria/?frame=27603c2b52848647b551d4e745c42a602bda0ba8
http://matesup.cl/portal/apuntes/calculo2/cap26.pdf
https://matematicascercanas.com/2014/05/05/12345-100/
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limite-sucesion/
http://unarubiamatematica.com/areas/aritmetica/progresiones-aritmeticas#:~:text=datos%20y%20operar%3A-,Aplicaciones%20de%20las%20progresiones%20aritm%C3%A9ticas%20en%20la%20vida%20diaria,1%3D14%20y%20d%3D5
.
http://unarubiamatematica.com/areas/aritmetica/progresiones-geometricas#:~:text=Las%20progresiones%20geom%C3%A9tricas%20est%C3%A1n%20presentes,(se%20conoce%20como%20devaluar
).
Clases
Sucesión Finita
Se presenta cuando el dominio es un subconjunto finito
Se hallan sus términos hasta el número
n
Sucesión Infinita
Se presenta cuando el dominio de la función es el conjunto de los número enteros positivos (infinito)
En lugar de hallar al conjunto infinito se halla en orden algunos primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesión continua.
Sucesión Aritmética
Cada termino se obtiene sumando un número constante (diferencia) al término anterior
Término general
Tipos
Constante
Si
d
es igual a cero
Decreciente
Si
d
es negativo
Creciente
Si
d
es positivo
Sucesión Geométrica
Cada término se obtiene multiplicando un número constante (razón) por el término anterior
Término general
Tipos
Constante
Si
r
es igual a 1
Decreciente
Si 0<
r
<1
Alternada
Si
r
es negativo
El signo va cambiando
Creciente
Si
r
es positivo mayor que 1
Sucesión Monótona
Cuando todos sus términos sucesivos (a_n)=(a_1,a_2,a_3,...,a_n,...) crecen o decrecen.
Tipos
Estrictamente Creciente
Si el signo es estricto
Decreciente
Cada término es menor o igual que el anterior
Estrictamente Decreciente
Si el signo es estricto
Creciente
Cada término es mayor o igual que el anterior
Constante
Todos sus términos son iguales
Sucesión Acotadas
Cuando es acotada superior e inferior
Sucesión Acotada Superiormente
Cuando ningún de sus términos es mayor que algún número K
Sucesión Acotada Inferiormente
Cuando ninguno de sus términos es menor que algún número K
Sucesión Divergente
Si no existe el límite de la sucesión a(n) ó es infinito
Sucesión Convergente
Tiene límite finito
Se dice que la sucesión a(n) converge a su límite L y se expresa por
Su límite es cero
Sucesión Alternada
Cada término tiene el signo contrario que el del término que le precede.
Puede ser
Convergente
No convergente
Sucesión Oscilante
Cuando no es alternada, creciente, decreciente o constante
Ejemplos
Sucesión de Fibonacci
Creada por Leonardo de Pisa
Secuencia de números en la que cada número de la serie se obtiene sumando los dos anteriores
La secuencia sería: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …….
Termino General
Está presente en el arte y el diseño
Se ve en la naturaleza
Presente en la publicidad
Sucesiones Aritméticas
Supón que el banco te hace un préstamo de 1000€ y te cobra por dicho préstamo 250€ y acuerdas devolverlo en cuotas de 60€
El dinero que le debes al banco viene reflejado en la sucesión aritmética cuyo a1=250 y d=-60.
Cuando vas a hacer una llamada telefónica y tu compañía te cobra 0,5por el establecimiento de llamada y 0,05€ por cada minuto
El costo de la llamada será la sucesión donde a1=0,5 y d=0,05
Imagina que te dan 14€ y cada mes ahorras 5€
La sucesión aritmética será donde a1=14 y d=5
Sucesiones Geométricas
Imagina que fueras a comprar un coche por valor de 24.000€. Cada año que pase, el coche va a perder valor al 10% cada año
El coche vendría representado por la progresión geométrica cuyo a1=24.000 y r=0,9
En un laboratorio observas la división celular por mitosis de una célula. Por cada unidad de tiempo, cada célula se divide en dos.
En este caso, a1=1 y r=2.
Al llevar tus ahorros al banco y te darán más dinero que el que ingresaste. Se llama interés compuesto. Después de que abras la cuenta, cada año el banco te dará un 1% del dinero ingresado
Si tienes 500€, al 1%, el primer año te darán 5€ (el 1% de 500), el segundo año ganarás 5,05€ (el 1% de 505), el tercer año obtendrás 5,1005€ (el 1% de 510,05),…
Importancia
Sirven para estudiar, representar y predecir los fenómenos que ocurren en el tiempo de forma intermitente
No solo tiene aplicaciones en las matemáticas, también las tiene en la vida cotidiana y en distintos campos de conocimiento y desarrollo
Medicina
Arquitectura
Diseño
Ingeniería
Computación
Están presentes en la naturaleza y en nuestro cuerpo
Se utilizan para demostrar teoremas y propiedades de la topología matemática
Alejandra Orjuela Torres Juan David González Tinoco 11C
Matemático Hindú
