Trigonometría. 
Razones Trigonométricas.
Definiciones y Conceptos:
Trigonometría:
Es la rama de la matemática que estudia los ángulos y lados de un triangulo. "La Medición de los Triángulos"
Funciones Trigonométricas.
Es el estudio de las razones trigonométricas:
Seno.
Coseno.
Tangente.
Cotangente.
Secante.
Cosecante
Podemos Nombrar:
Tangente.
Cotangente
Coseno
Secante.
Seno.
Cosecante.
En el Triangulo Rectángulo-->
Sen α
Definición:
Cos α
Tg α o Tag α
Ctg α o Ctag α
Sec α
Csc α o Csc α
Tg α: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Ctg α: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto al ángulo.
Cos α: Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Sec α: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Sen α: Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Cosec α: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
Cos α: Cateto adyacente a α / Hipotenusa.
Tg α: Cateto opuesto a α /Cateto adyacente a α.
Ctg α: Cateto adyacente a α /Cateto opuesto a α.
Sec α: Hipotenusa/Cateto adyacente a α
Cosec α: Hipotenusa/Cateto opuesto a α
Sen α: Cateto Opuesto a α/ Hipotenusa
Razones Reciprocas o Inversas.
La Secante (Sec) es la razón inversa o reciproca del Coseno; su inverso multiplicativo.
La Cosecante (Csec-Cosec) es la razón reciproca o inversa de Seno (Sen); su inverso multiplicativo.
La Cotangente (Ctg) es la razón inversa o reciproca de la tangente; su inverso multiplicativo.
Ctg α = 1/Tg α.
Sec α = 1/Cos α.
Csec α = 1/Sen α.
Diferencias entre Razones Trigonométricas y Función Trigonométrica.
La Razón trigonométrica:
Seno, Coseno, Tangente.
Es una relación o comparación por cociente (División) entre magnitudes lineales.
La Razón trigonométrica (arco o ángulo).
Expresa el valor numérico (abstracto) de la función correspondiente.
La Función Trigonométrica:
Es una relación entre:
Variable
Independiente (X)
Dependiente.
Arco o ángulo.
Es la Razón Trigonométrica correspondiente: Seno, Coseno, Tangente.
f(x)
Es en la que cada valor de X
Corresponde un único valor
Para cada razón
Coseno
Tangente.
Seno
f(x) = Sen x
f(x) = Cos x
Clases de ángulos:
Ángulo agudo
Ángulo Obtuso.
Ángulo Recto
Ángulos Complementarios.
Ángulo Llano
Ángulos Suplementarios
Ángulo Nulo
Clasificación de los Triángulos según la longitud de sus lados.
Triángulo Isósceles: tiene 2 lados iguales y uno diferente.
Triángulo Escaleno: tiene los 3 lados de diferente longitud.
Triángulo Equilátero: tiene los 3 lados iguales.
Triángulo Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto.
Elementos del Triángulo Rectángulo:
Catetos
Hipotenusa
En relación al ángulo α
En relación al ángulo β
Teorema de Pitágoras.
La Longitud de la Hipotenusa al cuadrado
Es igual (=)
A la suma (+) de las longitudes de los catetos al cuadrado
Función Cotangente.
Función Tangente.
Función Seno
Función Coseno
Función
Cosecante
Función Secante
Punto de Corte
Tipo de Función
Rango
Gráfica:
Dominio
Es R (+∞, -∞)
Es (-1, +1)
(0,0) y ( π ,0)
No es Inyectiva.
No es Biyectiva.
No es Sobreyectiva.
Punto de Corte
Tipo de Función
Rango
Gráfica
Dominio
Es R (+∞, -∞)
Es (-1, +1)
No es Inyectiva.
No es Biyectiva.
No es Sobreyectiva.
(0,1), ( π/2, 0) y (3π/2, 0).
En Y= 1 y en X= 90° + K π; siendo K un número entero.
Punto de Corte.
Tipo de Función
Rango.
Gráfica.
Dominio.
No es Inyectiva.
Es Sobreyectiva.
Dom (f) = R - {(2K+1) π/2 /K € Z}
Es R (+∞, -∞)
El Punto de corte con los ejes
(2/π + Kπ,0)
Donde K es un número entero
Punto de Corte
Rango
Gráfica
Dominio
Es
R - {Kπ : K € Z}
Es
R
El único Punto de Corte
Es
(π/2 + K). No hay corte en Y.
Dominio.
Rango.
Punto de Corte
Tipo de Función
Gráfica
Es
R (- , 1) (1, +
Punto de Corte
Tipo De Función.
Rango
Gráfica.
Dominio
Es
R - {(Kπ, K € Z)}
Es
( -∞, -1 ) ( +1 ,+∞ )
No es Inyectiva.
No corta ni en eje X ni en eje Y.
Clasificación de los triángulos según sus ángulos:
Triángulo acutángulo:
Triángulo Obtusángulo:
Tiene 3 ángulos agudos.
Tiene un ángulo obtuso.
Ejemplo:
Ejemplo:
Se aplica a triángulos Rectángulos.
Ángulos
Se denomina ángulo de dos semirrectas de origen común al giro que hay que efectuar para
llevar una semirrecta sobre la otra.
Elementos del ángulo:
Lados
Vértice
Origen común.
Las semirrectas.
Radian (rad)
Es el angulo central de una circunferencia cuyo arco, correspondiente tiene la longitud de un radio.
1 rad equivale a:
54° 17´ 44''
Medidas de los ángulos:
Se usan 3 tipos de medidas para los ángulos.
Medida en radíanes
Medida centesímal
Medida sexagesimal
46° 16' 4" › 46 grados, 16 minutos 4 segundos
1,26 rad
26g 16m 14s › 26 grados, 16 minutos, 14 segundos
Relación entre las medidas de los ángulos:
π rad =180°.
2 π rad =90°.
2 π rad =360°.
Clases de ángulos:
Ángulo Positivo
Ángulo Negativo.
Es cuando la semi-recta gira contrario a las agujas de reloj.
Es cuando la semi-recta gira en sentido de las agujas del reloj.
Trigonometria de ángulos complementarios
El ángulo α y el ángulo β son complementarios.
Se ha definido las razones trigonométricas desde el ángulo α; es posible hacerlo con el ángulo β; ya que son ángulos complementarios.
β = (90° - α)
α = (90° - β)
α + β = 90°
A partir de esta información +
el triángulo obtendremos las formulas de las razones trigonométricas de ángulos complementarios.
Formulas en relación con el ángulo β
Formulas en relación con el ángulo α
Cos α = b/c (V)
Tag α = a/b (VI)
Sen α = a/c (IV)
Ctg α = b/a (VII)
Cos β= Cateto adyacente/ Hipotenusa
Tag β= Cateto Opuesto/Cateto adyacente.
Sen β = cateto opuesto/hipotenusa
Igual (=)
b/c (I)
Igual (=)
Igual (=)
a/c (II)
b/a (III)
Relaciones entre las formulas.
(I y V)
Senβ = Cos α
(II y IV)
(III y VII)
Cos β = Sen α
Tagβ = Ctgα
Si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro
Y la tangente de uno es igual a la cotangente del otro
Otra expresión para la tangente de un ángulo.
Tag α = a/b
Si dividimos a y b entre la hipotenusa (c)
Resulta
Sen α = a/c
Cos α = b/c
Tag α = Sen α/ Cos α
Ctg α = 1/tag
Ctg α= 1/ sen α/Cos α
Ctg α = Cos α/ Sen α.
Identidades Trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas.
Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas
Resumen de las principales Identidades Trigonométricas:
Identidades Reciprocas
Identidades del Cociente
Identidades Pitagóricas
Sec x = 1/Cos x
Ctg x = 1/Tag x
Csc x = 1/Sen x
Tag = Sen x / Cos x
Ctag = Cos x/Sen x
Sen2 x + Cos2 x = 1
Tag2 x + 1 = Sec2 x
1 + Ctag2 x = Csc2 x
Identidad fundamental de la Trigonometria o Relación Pitagórica
c2 = a2 + b2.
Dividimos cada uno de los miembros de la expresión entre c2
C2/C2 = a2/a2 + b2/b2
De donde
1 = a2/c2 + b2/c2 (I)
Por definición sabemos que:
Sen α = a/c
Cos α = b/c
Sen2α = a2/c2 (II)
Cos2 α = b2/c2 (III)
Sustituyendo II y III en I tenemos:
Sen α + Cos2 α = 1
Valores para las Razones Trigonométricas
Seno (Sen)
Coseno (Cos)
Tangente (Tg)
0°= 0, 30°text= 1/2, 45°= √2/2, 60°= √3/2 y 90°= 1
0°= 1, 30°text= √3/2, 45°text= √2/2, 60°= 1/2 y 90°= 0
0°= 0, 30°= 1/√3/3, 45°= 1, 60°= √3 y 90°= ∞
Resolución de Triángulos Rectángulos
Para la resolución completa de un Triángulo Rectángulo
Se debe tener el valor de:
Los 3 ángulos.
Los 3 lados.
Es el Objetivo:
Ya se cuenta con un ángulo:
El ángulo recto: 90°
Para resolver se debe tener
Mimímo
3 Elementos
Se debe tener siempre un de lo lado.
El otro dato puede ser otro lado u otro ángulo.
Entre los ángulos (la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180°).
Entre los lados (teorema de Pitágoras)
Entre los lados y los ángulos (razones trigonométricas)
Significa calcular:
El Valor de los ángulos.
El valor de sus lados.
El área del triángulo.
Circunferencia Trigonométrica
Definición.
Ángulos y Cuadrantes:
Razones Trigonométricas
El resto de los valores de los ángulos como por ejemplo 130°,125°, 175° y 250° se utiliza la calculadora.
Aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos.
Estas aplicaciones se utilizan
Los ángulos se miden con
en
Calcular distancia que sería difícil de medir directamente.
Ejemplo:
La altura de una montaña.
El ancho de un río.
Aparato
Teodolitos
Ángulo de Elevación.
Ángulo de Depresión.
Es el ángulo formado por una visual horizontal y otra dirigida desde el mismo
punto hacia arriba.
Ejemplo:
Es el ángulo formado por una visual horizontal y otra desde el mismo punto
hacia abajo.
Ejemplo:
Cuando en un sistema de coordenadas y con centro en el origen; se construye un circulo de radio igual a 1.
En una circunferencia trigonométrica se observa 4 regiones iguales llamadas cuadrantes.
Los Cuadrantes se denotan:
(II)
(III)
(I)
(IV)
De acuerdo al cuadrante en el que esté ubicado el lado terminal el ángulo
Se clasifica en:
Ángulo en el Primer cuadrante.
Ángulo en el Tercer Cuadrante
Ángulo en el Segundo cuadrante
Ángulo en el Cuarto Cuadrante.
f(x) = Tg x
Ejemplo:
Para aplicar y entender las razones trigonométricas se debe Estudiar el punto P
Características del Punto P.
1.- Se desplaza en la circunferencia partiendo del punto Q.
2.- Forma un ángulo positivo (+)
3.- P está en el primer cuadrante.
4.- El ángulo α es agudo y positivo.
5.- La Hipotenusa OP vale 1.
Conclusión para las razones trigonométricas de cualquier ángulo, para cualquier magnitud y para cualquier sentido:
El seno del ángulo es la ordenada de P
El coseno del ángulo es la abscisa de P.
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Sen α= PQ
El seno de α es igual a la ordenada de P.
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Cos α = OP
El coseno α de es igual a la abscisa de P.
La tangente del ángulo es igual a la razón entre la ordenada y
la abscisa de P.
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Tg α = PQ/OP
La cosecante, la secante y la cotangente son las funciones inversas del
seno, del coseno y de la tangente, respectivamente.
Conclusión:
Tanto el Seno como el Coseno no pueden valer más que el radio de la circunferencia.
No pueden valer más de 1 ni menos de 1.
-1 ≤ Sen x ≤ 1.
-1 ≤ Cos x ≤ 1.
La tangente α del ángulo es el cociente entre la ordenada y
la abscisa de P.
Signos de las Razones Trigonométricas:
1.- En el Primer cuadrante TODAS las razones son positivas (+).
El signo de las razones trigonométricas depende del cuadrante en que se encuentre situado el ángulo, ya que entonces se conoce el signo de la abscisa y la ordenada.
2.- El signo de la tangente se obtiene por el cociente entre el signo del seno y el signo del coseno.
3.- Las funciones inversas (Cotangente, Secante y Cosecante) tienen el mismo signo que sus funciones directas
respectivas.
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Es la Conversión de una función trigonométrica de un ángulo que se encuentre en el cuadrante II o III o IV, en otra función equivalente de un ángulo del primer cuadrante.
Se debe considerar lo siguiente:
1.- Transformar el ángulo > de 90° en un ángulo agudo < de 90° que sea equivalente.
2.- Colocarle el signo que tenga la función en el cuadrante correspondiente
Si el ángulo esta en el segundo cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar 180° el ángulo del 2do cuadrante.
α r = 180° - α
Ejemplo:
α r = 180° - 120°
α r = 60°
Sen 60°
Cos -60°
Tg -60°
Si el ángulo esta en el Tercer cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar el ángulo en el 3er cuadrante menos 180°.
α r = α - 180°
Ejemplo:
α r = 225° - 180°
α r = 45°
Sen - 45°
Cos - 45°
Tg 45°
Si el ángulo esta en el Cuarto cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar 360° menos el ángulo en el 4to cuadrante.
α r = 360° - α
Ejemplo
α r = 360° - 330°
α r = 30°
3.- El signo depende de la función trigonométrica:
Ángulo en Cuadrante II
Ángulo en Cuadrante III.
Ángulo en Cuadrante IV.
Sen y Csc (+)
Cos y Sec (-)
Tg y Ctg (-)
Tg y Ctg (-)
Cos y Sec (-)
Cos y Sec (+)
Tg y Ctg (+)
Sen y Csc (-)
Sen y Csc (-)
Sen - 30°
Tg - 30°
Cos 30°