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Trigonometría. Portada 2 - Coggle Diagram
Trigonometría.
Razones Trigonométricas.
Podemos Nombrar:
Tangente.
Tg α o Tag α
Cotangente
Ctg α o Ctag α
Coseno
Cos α
Secante.
Sec α
Seno.
Sen α
Definición:
Tg α:
Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
Tg α: Cateto opuesto a α /Cateto adyacente a α.
Ctg α:
Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto opuesto al ángulo.
Ctg α: Cateto adyacente a α /Cateto opuesto a α.
Cos α:
Es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Cos α: Cateto adyacente a α / Hipotenusa.
Sec α:
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Sec α: Hipotenusa/Cateto adyacente a α
Razones Reciprocas o Inversas.
La Secante (Sec)
es la razón inversa o reciproca del Coseno; su inverso multiplicativo.
1 more item...
La Cosecante (Csec-Cosec)
es la razón reciproca o inversa de Seno (Sen); su inverso multiplicativo.
1 more item...
La Cotangente (Ctg)
es la razón inversa o reciproca de la tangente; su inverso multiplicativo.
1 more item...
Sen α:
Es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Sen α: Cateto Opuesto a α/ Hipotenusa
Cosec α:
Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
Cosec α: Hipotenusa/Cateto opuesto a α
Cosecante.
Csc α o Csc α
En el Triangulo Rectángulo-->
Definiciones y Conceptos:
Trigonometría:
Es la rama de la matemática que estudia los ángulos y lados de un triangulo.
"La Medición de los Triángulos"
Es el estudio de las razones trigonométricas:
Seno.
Coseno.
Tangente.
Cotangente.
Secante.
Cosecante
Clases de ángulos:
Ángulo agudo
Ángulo Obtuso.
Ángulo Recto
Ángulos Complementarios.
Ángulo Llano
Ángulos Suplementarios
Ángulo Nulo
Clasificación de los Triángulos según la longitud de sus lados.
Triángulo Isósceles:
tiene 2 lados iguales y uno diferente.
Triángulo Escaleno:
tiene los 3 lados de diferente longitud.
Triángulo Equilátero:
tiene los 3 lados iguales.
Triángulo Rectángulo:
es aquel que tiene un ángulo recto.
Elementos del Triángulo Rectángulo:
Catetos
En relación al ángulo α
En relación al ángulo β
Hipotenusa
Teorema de Pitágoras.
La Longitud de la Hipotenusa al cuadrado
Es igual (=)
A la suma (+) de las longitudes de los catetos al cuadrado
Se aplica a triángulos Rectángulos.
Clasificación de los triángulos según sus ángulos:
Triángulo acutángulo:
Tiene 3 ángulos agudos.
Ejemplo:
Triángulo Obtusángulo:
Tiene un ángulo obtuso.
Ejemplo:
Ángulos
Se denomina ángulo de dos semirrectas de origen común al giro que hay que efectuar para
llevar una semirrecta sobre la otra.
Elementos del ángulo:
Lados
Las semirrectas.
Vértice
Origen común.
Radian (rad)
Es el angulo central de una circunferencia cuyo arco, correspondiente tiene la longitud de un radio.
1 rad equivale a:
54° 17´ 44''
Medidas de los ángulos:
Se usan 3 tipos de medidas para los ángulos.
Medida en radíanes
1,26 rad
Medida centesímal
26g 16m 14s › 26 grados, 16 minutos, 14 segundos
Medida sexagesimal
46° 16' 4" › 46 grados, 16 minutos 4 segundos
Relación entre las medidas de los ángulos:
π rad =180°.
2 π rad =90°.
2 π rad =360°.
Clases de ángulos:
Ángulo Positivo
Es cuando la semi-recta gira contrario a las agujas de reloj.
Ángulo Negativo.
Es cuando la semi-recta gira en sentido de las agujas del reloj.
Ejemplo:
Funciones Trigonométricas.
Función Cotangente.
Punto de Corte
El único Punto de Corte
Es
(π/2 + K). No hay corte en Y.
Rango
Es
R
Gráfica
Dominio
Es
R - {Kπ : K € Z}
Función Tangente.
Punto de Corte.
El Punto de corte con los ejes
(2/π + Kπ,0)
Donde K es un número entero
Tipo de Función
No es Inyectiva.
Es Sobreyectiva.
Rango.
Es R (+∞, -∞)
Gráfica.
Dominio.
Dom (f) = R - {(2K+1) π/2 /K € Z}
Función Seno
Punto de Corte
(0,0) y ( π ,0)
Tipo de Función
No es Inyectiva.
No es Biyectiva.
No es Sobreyectiva.
Rango
Es (-1, +1)
Gráfica:
Dominio
Es R (+∞, -∞)
Función Coseno
Punto de Corte
(0,1), ( π/2, 0) y (3π/2, 0).
En Y= 1 y en X= 90° + K π; siendo K un número entero.
Tipo de Función
No es Inyectiva.
No es Biyectiva.
No es Sobreyectiva.
Rango
Es (-1, +1)
Gráfica
Dominio
Es R (+∞, -∞)
Función
Cosecante
Punto de Corte
No corta ni en eje X ni en eje Y.
Tipo De Función.
No es Inyectiva.
Rango
Es
( -∞, -1 ) ( +1 ,+∞ )
Gráfica.
Dominio
Es
R - {(Kπ, K € Z)}
Función Secante
Dominio.
Rango.
Es
R (- , 1) (1, +
Punto de Corte
Tipo de Función
Gráfica
Diferencias entre Razones Trigonométricas y Función Trigonométrica.
La Razón trigonométrica:
Seno, Coseno, Tangente.
Es una relación o comparación por cociente (División) entre magnitudes lineales.
La Razón trigonométrica (arco o ángulo).
Expresa el valor numérico (abstracto) de la función correspondiente.
La Función Trigonométrica:
Es una relación entre:
Variable
Independiente (X)
Arco o ángulo.
Dependiente.
Es la
Razón Trigonométrica
correspondiente: Seno, Coseno, Tangente.
f(x)
Es en la que cada valor de X
Corresponde un único valor
Para cada razón
Coseno
1 more item...
Tangente.
1 more item...
Seno
1 more item...
Trigonometria de ángulos complementarios
El ángulo
α
y el ángulo
β
son complementarios.
Se ha definido las razones trigonométricas desde el ángulo
α
; es posible hacerlo con el ángulo
β
; ya que son
ángulos complementarios.
β
= (90° -
α
)
α
= (90° -
β
)
α
+
β
= 90°
A partir de esta
información +
el triángulo
obtendremos las formulas de las razones trigonométricas de ángulos complementarios.
Formulas en relación con el ángulo
β
Cos
β
= Cateto adyacente/ Hipotenusa
Igual (=)
a/c (II)
Tag
β
= Cateto Opuesto/Cateto adyacente.
Igual (=)
b/a (III)
Sen β
= cateto opuesto/hipotenusa
Igual (=)
b/c (I)
Formulas en relación con el ángulo
α
Cos
α
= b/c (V)
Tag
α
= a/b (VI)
Sen
α
= a/c (IV)
Ctg
α
= b/a (VII)
Relaciones entre las formulas.
(I y V)
Sen
β
= Cos
α
(II y IV)
Cos
β
= Sen
α
(III y VII)
Tag
β
= Ctg
α
Si dos ángulos son complementarios, el seno de uno es igual al coseno del otro
Y la tangente de uno es igual a la cotangente del otro
Otra expresión para la tangente de un ángulo.
Tag
α
= a/b
Si dividimos a y b entre la hipotenusa (c)
Resulta
Sen
α
= a/c
Tag
α
= Sen
α
/ Cos
α
Cos
α
= b/c
Ctg
α
= 1/tag
Ctg
α
= 1/ sen
α
/Cos
α
Ctg
α
= Cos
α
/ Sen
α
.
Identidades Trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas.
Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas
Resumen de las principales Identidades Trigonométricas:
Identidades Reciprocas
Sec x = 1/Cos x
Ctg x = 1/Tag x
Csc x = 1/Sen x
Identidades del Cociente
Tag = Sen x / Cos x
Ctag = Cos x/Sen x
Identidades Pitagóricas
Sen2 x + Cos2 x = 1
Tag2 x + 1 = Sec2 x
1 + Ctag2 x = Csc2 x
Identidad fundamental de la Trigonometria o Relación Pitagórica
c2 = a2 + b2.
Dividimos cada uno de los miembros de la expresión entre c2
C2/C2 = a2/a2 + b2/b2
De donde
1 = a2/c2 + b2/c2 (I)
Por definición sabemos que:
Sen
α
= a/c
1 more item...
Cos
α
= b/c
1 more item...
Valores para las Razones Trigonométricas
Seno (Sen)
0°
= 0, 30°
text
= 1/2,
45°
= √2/2,
60°
= √3/2 y
90°
= 1
Coseno (Cos)
0°
= 1, 30°
text
= √3/2, 45°
text
= √2/2,
60°
= 1/2 y
90°
= 0
Tangente (Tg)
0°
= 0,
30°
= 1/√3/3,
45°
= 1,
60°
= √3 y
90°
= ∞
El resto de los valores de los ángulos como por ejemplo 130°,125°, 175° y 250° se utiliza la calculadora.
Resolución de Triángulos Rectángulos
Para la resolución completa de un Triángulo Rectángulo
Se debe tener el valor de:
Los 3 ángulos.
Los 3 lados.
Es el Objetivo:
Ya se cuenta con un ángulo:
El ángulo recto:
90°
Para resolver se debe tener
Mimímo
3 Elementos
Se debe tener siempre un de lo lado.
El otro dato puede ser otro lado u otro ángulo.
Entre los ángulos (la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180°).
Entre los lados (teorema de Pitágoras)
Entre los lados y los ángulos (razones trigonométricas)
Significa calcular:
El Valor de los ángulos.
El valor de sus lados.
El área del triángulo.
Circunferencia Trigonométrica
Definición.
Cuando en un sistema de coordenadas y con centro en el origen; se construye un circulo de radio igual a 1.
Ángulos y Cuadrantes:
En una circunferencia trigonométrica se observa 4 regiones iguales llamadas
cuadrantes
.
Los Cuadrantes se denotan:
(II)
(III)
(I)
(IV)
De acuerdo al cuadrante en el que esté ubicado el lado terminal
el ángulo
Se clasifica en:
Ángulo en el Primer cuadrante.
Ángulo en el Tercer Cuadrante
Ángulo en el Segundo cuadrante
Ángulo en el Cuarto Cuadrante.
Razones Trigonométricas
Para aplicar y entender las razones trigonométricas se debe
Estudiar el punto P
Características del
Punto P
.
1.- Se desplaza en la circunferencia partiendo del punto
Q.
2.- Forma un ángulo positivo (+)
3.-
P
está en el primer cuadrante.
4.-
El ángulo
α
es agudo y positivo.
5.- La Hipotenusa OP vale 1.
Conclusión
para las razones trigonométricas de cualquier ángulo, para cualquier magnitud y para cualquier sentido:
El seno
del ángulo es la ordenada de P
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Sen
α
= PQ
El seno de
α
es igual a la ordenada de P.
El coseno
del ángulo es la abscisa de P.
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Cos
α
= OP
El coseno
α
de es igual a la abscisa de P.
La tangente
del ángulo es igual a la razón entre la ordenada y
la abscisa de P.
En el Ejemplo dado de la circunferencia tenemos:
Tg
α
= PQ/OP
La tangente
α
del ángulo es el cociente entre la ordenada y
la abscisa de P.
La cosecante, la secante y la cotangente son las funciones inversas del
seno, del coseno y de la tangente, respectivamente.
Conclusión:
Tanto el Seno como el Coseno no pueden valer más que el radio de la circunferencia.
No pueden valer más de 1 ni menos de 1.
-1 ≤ Sen x ≤ 1.
-1 ≤ Cos x ≤ 1.
Signos de las Razones Trigonométricas:
1.- En el Primer cuadrante TODAS las razones son positivas (+).
El signo de las razones trigonométricas
depende del cuadrante en que se encuentre situado el ángulo, ya que entonces se conoce el signo de la abscisa y la ordenada.
2.- El signo de
la tangente
se obtiene por el cociente entre el signo del seno y el signo del coseno.
3.-
Las funciones inversas
(Cotangente, Secante y Cosecante) tienen el mismo signo que sus funciones directas
respectivas.
Reducción de ángulos al primer cuadrante
Es la
Conversión
de una función trigonométrica de
un ángulo que se encuentre en el cuadrante II o III o IV
, en otra función equivalente de
un ángulo del primer cuadrante
.
Se debe considerar lo siguiente:
1.- Transformar el ángulo > de 90° en un ángulo agudo < de 90° que sea equivalente.
2.- Colocarle el signo que tenga la función en el cuadrante correspondiente
3.- El signo depende de la función trigonométrica:
Ángulo en Cuadrante II
Sen y Csc (+)
Tg y Ctg (-)
Cos y Sec (-)
Ángulo en Cuadrante III.
Cos y Sec (-)
Tg y Ctg (+)
Sen y Csc (-)
Ángulo en Cuadrante IV.
Tg y Ctg (-)
Cos y Sec (+)
Sen y Csc (-)
Si el ángulo esta en el segundo cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar 180° el ángulo del 2do cuadrante.
α
r
= 180° -
α
Ejemplo:
α
r
= 180° - 120°
α
r
= 60°
Sen 60°
Cos -60°
Tg -60°
Si el ángulo esta en el Tercer cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar el ángulo en el 3er cuadrante menos 180°.
α
r
=
α
- 180°
Ejemplo:
α
r
= 225° - 180°
α
r
= 45°
Sen - 45°
Cos - 45°
Tg 45°
Si el ángulo esta en el Cuarto cuadrante:
Se obtiene el ángulo resultante al restar 360° menos el ángulo en el 4to cuadrante.
α
r
= 360° -
α
Ejemplo
α
r
= 360° - 330°
α
r
= 30°
Sen - 30°
Tg - 30°
Cos 30°
Aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos.
Estas aplicaciones se utilizan
en
Calcular distancia que sería difícil de medir directamente.
Ejemplo:
La altura de una montaña.
El ancho de un río.
Los ángulos se miden con
Aparato
Teodolitos
Ángulo de Elevación.
Es el ángulo formado por una visual horizontal y otra dirigida desde el mismo
punto hacia arriba.
Ejemplo:
Ángulo de Depresión.
Es el ángulo formado por una visual horizontal y otra desde el mismo punto
hacia abajo.
Ejemplo:
