Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
image, Разложение функций в степенной ряд.
Тейлора…
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Степенным рядом называют ряд члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐𝑛 - постоянные величины. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.
Простейшие примеры:
Интервал сходимости - это интервал, в каждой точке которого степенной ряд сходится, причем абсолютно. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расходится.
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
𝑅=(𝑏−𝑎)/2
Применение в жизни
На основании теории рядов созданы таблицы числовых значений логарифмических, тригонометрических, показательных функций, таблицы квадратных и кубических корней и т.д. Данные справочные таблицы успешно используются инженерами в профессиональных расчетах, наряду с вычислительными устройствами.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
линейные нормированные пространства
Линейное пространство с нормой ||.|| называется нормированным пространством.
банаховы
Полное нормированное пространство называется банаховым.
гильбертовы
Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым.
последовательности
сходящаяся почти всюду последовательность
сходящаяся последовательность
фундаментальная последовательность
Применение:
У метрики множество применений. Она используется, например, в инструментах визуализации (в том числе картах Кохонена). Которые в свою очередь применяются при разработке компьютерных игр, а также для решения задач моделирования, прогнозирования и др.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ряд Фурье для функции - тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье
Коэффициенты Фурье:
-
-
-
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
-
для нечетной функции
-
Ряды Фурье для функций
произвольного периода
Функция f(x) периода T=2l, непрерывная или с конечным числом точек разрыва на отрезке [-l;l] имеет вид:
Разложение в ряд Фурье
непериодической функции
Пусть функция f(x), заданная на отрезке [a;b] - кусочно-монотонная.
Рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию f1(x) ( 2Т≥Ib-aI), совпадающую с f(x) на [a;b]). Так функция f(x) была дополнена. сейчас разложить функцию f(x) в ряд Фурье представляется возможным.
ТЕОРЕМА ДРИХИЛЕ
(Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье)
Если
f(x) - функция
2π - ее период
[-π;π] - на этом отрезке f(x) непрерывна, также его можно разбить на конечное число отрезков, где функция f(x) монотонна,
значитряд Фурье сходится при всех значениях х, причем:
- в точках непрерывности сумма Ряда = f(x)
- в точках разрыва сумма Ряда =
-
Если
f(x)- функция
2π - ее период
f'(x) - производная
[-π;π] -на этом отрезке функция f(x) и ее производная, f'(x) непрерывны,
значитряд Фурье сходится при всех значениях х, причем:
- в точках непрерывности сумма Ряда =f(x)
- в точках разрыва сумма Ряда =
-
ПРИМЕНЕНИЕ
Разложение функции в ряд Фурье является важнейшей частью алгоритмов оцифровки изображений.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Вектора x и y называются ортогональными, если (x, y) = 0. Система ненулевых векторов {xβ} из L называется ортогональной, если (xβ, xγ) = 0 при β ≠ γ.
-
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Функиональные ряды
-
Применение:
Универсальная нелинейная модель на основе функциональных рядов
Универсальную модель в виде ряда Вольтерра можно сформировать либо для каждого парциального двухполюсного и многополюсного нелинейного элемента с последующим подсоединением к линейной части модели, либо для всей нелинейной системы (путем нахождения ядер Вольтерра).
Определение
Выражение состоящее из членов функциональной последовательности, называется функциональным рядом.
Разложение функций в степенной ряд.
Тейлора. Ряд Маклорена :silhouettes:
-
-