ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ряд Фурье для функции - тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье
ТЕОРЕМА ДРИХИЛЕ
(Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье)
Коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Ряды Фурье для функций
произвольного периода
Разложение в ряд Фурье
непериодической функции
Если
f(x) - функция
2π - ее период
[-π;π] - на этом отрезке f(x) непрерывна, также его можно разбить на конечное число отрезков, где функция f(x) монотонна,
значит
ряд Фурье сходится при всех значениях х, причем:
- в точках непрерывности сумма Ряда = f(x)
- в точках разрыва сумма Ряда =
Кусочно-монотонная функция на отрезке [-π;π].
Если
f(x)- функция
2π - ее период
f'(x) - производная
[-π;π] -на этом отрезке функция f(x) и ее производная, f'(x) непрерывны,
значит
ряд Фурье сходится при всех значениях х, причем:
- в точках непрерывности сумма Ряда =f(x)
- в точках разрыва сумма Ряда =
Кусочно-гладкая функция на отрезке [-π;π].
для четной функции 
для нечетной функции 
, где 
Функция f(x) периода T=2l, непрерывная или с конечным числом точек разрыва на отрезке [-l;l] имеет вид: 
Пусть функция f(x), заданная на отрезке [a;b] - кусочно-монотонная.
Рассмотрим произвольную периодическую кусочно-монотонную функцию f1(x) ( 2Т≥Ib-aI), совпадающую с f(x) на [a;b]). Так функция f(x) была дополнена. сейчас разложить функцию f(x) в ряд Фурье представляется возможным.
линейные нормированные пространства
Линейное пространство с нормой ||.|| называется нормированным пространством.
банаховы
Полное нормированное пространство называется банаховым. 
гильбертовы
Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым.
последовательности
сходящаяся почти всюду последовательность 
сходящаяся последовательность 
фундаментальная последовательность 
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Вектора x и y называются ортогональными, если (x, y) = 0. Система ненулевых векторов {xβ} из L называется ортогональной, если (xβ, xγ) = 0 при β ≠ γ. 
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ГРАММА-ШМИДТА
В конечном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Построение ортонормированного базиса по данным векторам
Модифицированный алгоритм ортогонализации 
Основной алгоритм ортогонализации 
Разложение функций в степенной ряд.
Тейлора. Ряд Маклорена 👥
Если функция f(x) в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a), то это разложение единственно и задается формулой:
Данная формула называется ряд Тейлора.
Свойства ряда Тейлора:
1)Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
3)У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.
4)Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора.
На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда a=0:
Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену. Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням x.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Степенным рядом называют ряд 
члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, 𝑐𝑛 - постоянные величины. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой. 
Простейшие примеры:
Интервал сходимости - это интервал, в каждой точке которого степенной ряд сходится, причем абсолютно. На каждом из концов этого интервала ряд может как сходиться (абсолютно или условно), так и расходиться. Вне этого интервала ряд расходится. 
Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости:
𝑅=(𝑏−𝑎)/2 
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Функиональные ряды
Сходимость 
Область сходимости
Равномерная сходимость
Достаточные признаки сходимости общих рядов 
Признак Даламбера 
Признак Коши 
ПРИМЕНЕНИЕ
Разложение функции в ряд Фурье является важнейшей частью алгоритмов оцифровки изображений.
ПРИМЕНЕНИЕ
Применение в жизни
Применение:
У метрики множество применений. Она используется, например, в инструментах визуализации (в том числе картах Кохонена). Которые в свою очередь применяются при разработке компьютерных игр, а также для решения задач моделирования, прогнозирования и др. 
информационной безопасности: с помощю данного метода создаются алгоритмы приведения базиса решетки для протоколов безопасности. 
Применение:
Универсальная нелинейная модель на основе функциональных рядов
Универсальную модель в виде ряда Вольтерра можно сформировать либо для каждого парциального двухполюсного и многополюсного нелинейного элемента с последующим подсоединением к линейной части модели, либо для всей нелинейной системы (путем нахождения ядер Вольтерра).
Областью сходимости функционального ряда называется совокупность E (E ⊂ X) всех значений аргумента x, при которых ряд 
сходится, и тем самым на этом множестве определена функция S(x), которая является суммой ряда.
Функциональный ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм. Если эта сходимость равномерная, то и ряд называется равномерно сходящимся.
Определение
Выражение 
состоящее из членов функциональной последовательности, называется функциональным рядом.
На основании теории рядов созданы таблицы числовых значений логарифмических, тригонометрических, показательных функций, таблицы квадратных и кубических корней и т.д. Данные справочные таблицы успешно используются инженерами в профессиональных расчетах, наряду с вычислительными устройствами.