第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.2 二次根式的运算
二次根式的定义
形如√a的式子叫做二次根式（quadratic radical）
二次根式的双重非负性
在√a中，√a≥0；a≥0
二次根式更多
(√a)²=a（a≥0）
√(a)²=|a|
代数式
运用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）将数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式（algebraic expression）
二次根式的乘法法则
√(a) · √(b) = √(ab) （a ≥ 0，b ≥ 0）
√(ab) = √(a) · √(b) （a ≥ 0，b ≥ 0）
二次根式的除法法则
√(a) / √(b) = √(a/b) （a ≥ 0，b﹥0）
√(a/b) = √(a) / √(b) （a ≥ 0，b﹥0）
最简二次根式
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
满足上述两个条件的二次根式，
叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）
在二次根式的运算时，一般要把最终结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式
二次根式的加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根式化简为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根数进行合并。
16.3 海伦-秦九昭公式
那么面积 S = √( p (p-a) (p-b) (p-c) )
如果一个三角形三边长分别为 a，b，c，记 p = (a+b+c) / 2
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
勾股定理（Pythagoras theorem）
如果直角三角形两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a² + b² = c²
勾股定理的证明
赵爽弦图
加菲尔德证法
加菲尔德证法变式
青朱出入图
欧几里得证法
17.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c² ，那么这个三角形是直角三角形
互逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反（如勾股定理与勾股定理的逆定理），
那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
逆定理的证明
证法1
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证法3
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
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平行四边形（parallelogram）
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平行四边形的性质
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平行四边形对角线互相平分
平行四边形的判定
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平行四边形对边平行
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
平行四边形对边相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形
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中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
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三角形中位线定理
三角形的中位线等于三角形第三边的一半
三角形的中位线平行于三角形的第三边
平行四边形对角相等
18.2 特殊的平行四边形
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矩形（rectangle）
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
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矩形的性质
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矩形的对角线相等
矩形的判定
矩形拥有平行四边形的所有性质
矩形的四个角都是直角
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对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
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直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
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菱形（rhombus）
菱形的定义
有一组临边相等的平行四边形是菱形
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菱形的性质
菱形的判定
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菱形拥有平行四边形的所有性质
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直
菱形每一条对角线平分一组对角
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对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形
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正方形（square）
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它既有矩形的性质，又有菱形的性质
它的四条边都相等，四个角都是直角
正方形既是矩形，又是菱形
根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。
由于a²+b²=c²，故cosC=0；
因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）
已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形
证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'
在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²
∵a²+b²=c²，∴c‘=c
在△ABC和A'B'C'中，
∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'
∴∠C=∠C'=90°
证法2
第十九章 一次函数
19.1 函数
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变量与函数
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常量（constant）
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变量（variable）
数值始终不变的量
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在一个变化中，若有两个变量x与y，
x是 自变量（independent variable）；y是 x的函数（function）
如果当 x=a 时 y=b，那么b 叫做当自变量的值为 a 时的 函数值
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解析式（analytic expression）
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系
是描述函数的常用方法
这种式子叫做函数的解析式
19.2 一次函数
数值发生变化的量
函数的图像
并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应
像 y = ax + b 这样
图像（graph）
把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标
坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像
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描点法步骤
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2.描点
1.列表
以自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标
描出表格中数值对应的各点
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3.连线
按照横坐标从小到大的顺序
将所描出的各点用平滑的曲线连接起来
列出一些自变量及其对应函数的值
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三种表示函数的方法
列表法（列表格）
图像法（画函数图像）
解析式法（写函数解析式）
正比例函数
一次函数
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正比例函数（pro-portional function）
形如 y=kx（k为常数，k≠0），其中k叫比例系数
正比例函数 y=kx 的图像是一条经过原点的直线，我们称它为 直线y=kx
当k＞0时，直线y=kx 经过第一、第三象限，y随x的增大而增大
当k＜0时，直线y=kx 经过第二、第四象限，即y随x的增大而减小
过原点和点（1，k）的直线，即正比例函数 y=kx 的图像
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一次函数（linear function）
形如 y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
一次函数y=kx+b的图像直线y=kx+b 可以由直线y=kx向上平移b个单位长度得到
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小
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待定系数法
再根据条件确定函数解析式中未知函数以得出函数解析式
先设出函数解析式
一次函数与方程、不等式
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一次函数与方程、不等式
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b<0或ax+b>0（a≠0）的形式
解其相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或者小于0时，求自变量x的取值范围
解其相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
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从“形”的角度来看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标
从“数”的角度来看解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等
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每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
每个这种二元一次方程组，都对应两个一次函数，也对应两个直线
方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把他们统一起来。解
决问题时，应根据具体状况灵活结合考虑
任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式
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19.3 课题学习 选择方案
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第二十章 数据的分析
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20.1 数据的集中趋势
平均数（average）
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加权平均数(weighted average)
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中位数(median)
若n为奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数
若n为偶数，则处于中间位置两个数的平均数为这组数据的中位数
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众数（mode）
能够更好的反应器集中趋势
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20.2 数据的波动程度
方差(variance)
定义
就用这n个数据与他们的平均数x ̅的差的平方的平均数
应用
方差越大，数据的波动越大
方差越小，数据的波动越小
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来衡量这组数据波动的大小
权(weight)
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将一组n个数据从小到大（或从大到小）排列
一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数
并把它叫做这素数据的方差 ，记作s^2
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对不同类型的数据赋予的比重
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数据波动的几种度量
1.平均差：每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数
2.标准差：方差的算术平方根
3.极差：一组数据的最大值与最小值的差 ❌受极端值影响大
八年级下册 数学 知识梳理
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