数量值函数的积分学
二重积分
三重积分
第一类曲面积分
数量值函数积分学的应用
第一类曲线积分
概念、性质、对称性
几何意义
二重积分的性质
对称性
二重积分的精确定义
比较性
估值性
性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
二重积分中值定理
普通对称
轮转对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
二重积分的计算
直角坐标系下的计算
极坐标下的计算
X型区域：特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
Y型区域：特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，
概念、性质
定义
性质
被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面
函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差
如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和
不等性质
估值性质
积分中值定理
定义：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
计算方法
直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。①区域条件：对积分区域Ω无限制；②函数条件：对f（x,y,z）无限制。⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
柱面坐标法
适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；②函数条件：f（x,y,z）为含有与或另两种形式）相关的项。
球面坐标系法
适用于被积区域Ω包含球的一部分。①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；②函数条件：f（x,y,z）含有与 相关的项。
几何意义
三重积分就是四维空间的体积。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
对弧长的曲线积分
面密度为f(x,y,z) 曲面 Σ 的质量
∫Lf(x,y)ds=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi
计算方法
∫Lf(x,y)ds=∫βαf(φ(t),ψ(t))√φ′2(t)+ψ′2(t)dt(α<β)
曲线积分的积分区域是曲线段，因而被积函数中的x和y满足积分曲线L的方程时，可将L的方程代入 :被积函数进行化简，这一点与定积分和重积分不同。 :
∬Σf(x,y,z)dS=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ςi)ΔSi
计算方法
∬Σf(x,y,z)dS=∬Dxyf[x,y,z(x,y)]√1+z2x(x,y)+z2y(x,y)dxdy
几何中的应用
面积
体积
物理中的应用
质量
质心
转动惯量
引力
计科2003程菲楠