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数量值函数的积分学, 计科2003程菲楠 - Coggle Diagram

- - - - 比较性
      - 估值性
      - 性质2 （积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外
      - 性质1 （积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）
      - 二重积分中值定理
    - - 普通对称
        
        关于x轴对称
        
        关于y轴对称
        
        关于原点对称
      - 轮转对称
  - - - X型区域：特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
      - Y型区域：特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。
    - - 在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，
- - - - 定义：设三元函数f(x,y,z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为rᵢ（i=1,2,...,n），体积记为Δδᵢ，||T||=max{rᵢ}，在每个小区域内取点f（ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ），作和式Σf(ξᵢ，ηᵢ，ζᵢ)Δδᵢ，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(即与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。
    - - 被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面
      - 函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差
      - 如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和
      - 不等性质
      - 估值性质
      - 积分中值定理
  - - - 适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。①区域条件：对积分区域Ω无限制；②函数条件：对f（x,y,z）无限制。⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
    - - 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；②函数条件：f（x,y,z）为含有与或另两种形式）相关的项。
    - - 适用于被积区域Ω包含球的一部分。①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；②函数条件：f（x,y,z）含有与相关的项。