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ESPACIOS VECTORIALES - Coggle Diagram
ESPACIOS VECTORIALES
Conjunto no vacío V de objetos, llamados
vectores
:explode:
Suma
Multiplicación por escalar
Sujetas a 10 axiomas
u + v, está en V
u + v = v + u
(u + v) + w = u + (v + w)
u + 0 = u
u + (-u) = 0
c * u está en V
c(u + v) = cu + cv
(c + d)u = cu + du
c(du) = (cd)u
1u = u
Subespacios
Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V tal que:
Para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H
Por cada u y v en H, u + v está en H
El vector 0 de V está en H^2
Generado por un espacio
Combinación lineal
CONJUNTO LINEALMENTE INDEPENDIENTE
:check:
Si la única solución de la multiplicación de un vector por un escalar es la trivial, c = 0
Conjunto generador
[S] = V, si cualquier vector v ∈ V puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de S
Base
Conjunto indexado
Un conjunto indexado de vectores
B = {b1,…, bp} en V es una base de H si
Es linealmente independiente
Genera a V
DIMENSIÓN
:!!:
Dimensión finita
Si V es generado por un conjunto finito
Dimensión infinita
Si V no es
generado por un conjunto finito
Un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, toda base de V debe
consistir en n vectores.
Subespacios de un espacio de dimensión finita
Teorema base
Cualquier conjunto de exactamente p elementos que genera a V es, de
manera automática, una base para V
Las dimensiones de Nul A y Col A
La dimensión de Nul A es el número de variables libres en la ecuación Ax = 0, y la
dimensión de Col A es el número de columnas pivote de A.
Si un espacio vectorial V tiene una base B = {b1,…, bn} cualquier conjunto
en V más de n vectores será linealmente dependiente
CAMBIO DE BASE
:pencil2:
INDEPENDECNIA LINEAL
:silhouette:
Ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes
ESPACIOS
:pencil2:
Columna
El espacio columna de una matriz A de m * n es un subespacio de R^m
Transformación lineal
T(u + v) = T(u) + T(v) para toda u, v en V, y
T(cu) = cT(u) para toda u en V y todo escalar c.
Nucleo
: conjunto de todas las u en V tales que T(u) = 0 (el vector cero en W)
Rango
: conjunto de todos los vectores en W
de la forma T(x) para alguna x en V
Espacio nulo de una matriz
RANGO
:warning:
El rango de A es la dimensión del espacio columna de A
Teorema del Rango
rango A + dim Nul A = n
El teorema de la matriz invertible
Sea A una matriz de n x n, será invertible si:
Espacio fila
El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores fila
SISTEMAS DE COORDENADAS
:red_flag:
Mapeo de coordenadas
Transformación lineal uno a uno de V en R
Teoría de la Representación única
x = c1b1 + . . . + cnbn
Coordenadas
