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:star: ESPACIOS VECTORIALES :star:
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa, con 8 propiedades fundamentales.
Propiedades
1.- Ou=Ov
2.- α0v=O
3.- (-αu=-(αu)
4.- αu=Ov ⇒ α=O V u=Ov
Vectores
Segmento de recta, contado a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.
Escalares
Un escalar es un tipo de magnitud física que se expresa por un solo módulo y tiene el mismo valor para todos los observadores.
Base del espacio vectorial
Es un conjunto B del espacio vectorial V es una base para V si se cumplen las siguientes condiciones:
Todos los elementos de B permanecen al espacio vectorial V.
Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
En general para IR^2, cualquier subconjunto de 2 elementos tales que uno de ellos no sea múltiplo del otro, es base.
Subespacio Vectorial
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
Axiomas
u+v∈Vu+v∈V
u+v=v+uu+v=v+u
(u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal que v+0V=vv+0V=v
Para cada vv en VV, existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
αv∈Vαv∈V
α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
(α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
1v=v
Axiomas
Es una proposición asumida dentro de un cuerpo teórico sobre la cual descansan otros razonamientos y proposiciones deducidas de esas premisas.
Coordenadas
Sea V un espacio vectorial y sea B una base para V. Para cada vector v∈V, existe exactamente una forma de escribir v como una combinación lineal de los vectores de la base B
