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Aplicaciones de la derivada - Coggle Diagram
Aplicaciones de la derivada
Análisis de funciones
Teorema de Fermat
Si
f
tiene un extremo relativo en
c
, y si
f'(c)
existe, entonces
f'(c)=0
Usando la primera derivada
Extremos relativos
Si
f'(c)
cambia de negativo a positivo en
c
, indica que hay un mínimo local en
c
Si
f'(c)
no cambia y permanece positivo o negativo en
c
, indica que no tiene ningún extremo relativo
Si
f'(c)
cambia de positivo a negativo
c
, indica que hay un máximo local en
c
Prueba creciente-decreciente
En un intervalo si
f'(x)
es negativo, entonces
f
es decreciente en dicho intervalo
En un intervalo si
f'(x)
es positivo, entonces
f
es creciente en dicho intervalo
Usando la segunda derivada
Prueba de concavidad
Si
f''(x)
es
positivo
para cualquier valor de
x
que este dentro de un intervalo, entonces
f
es cóncava hacia
arriba
sobre ese intervalo.
Si
f''(x)
es
negativo
cualquier valor de
x
que este dentro de un intervalo, entonces
f
es cóncava hacia
abajo
sobre ese intervalo.
Si cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa en el punto
P
, ese punto se le denomina punto de inflexión.
Extremos relativos
Si
f'(c) = 0
Si
f''(c)
es
positivo
, entonces
f
tiene un
mínimo
local en
c
Si
f''(c)
es
negativo
, entonces
f
tiene un
máximo
local en
c
Reglas de L'Hospital
Cuando dos funciones
f
y
g
son derivables y el limite de la función compuesta
f/g
cuando la variable tiende a
c
es de forma indeterminada de tipo
0/0
o
inf/inf
Extremos absolutos en un intervalo abierto
En este caso se calcula los extremos relativos que están dentro de un intervalo
]a;b[
y lim_x->a+ f(x) y lim_x->b- f(x)
Comparo todos los resultados
Si el menor de ellos es uno de los extremo relativos, entonces será el menor absoluto
Si el menor y mayor de ellos es uno de los limites, entonces no hay extremos absolutos
Si el mayor de ellos es uno de los extremo relativos, entonces será el máximo absoluto
Teorema del valor extremo
Extremos absolutos en un intervalo cerrado
En este caso se calcula los extremos relativos que están dentro de un intervalo
[a;b]
y también
f(a)
y
f(b)
Comparo todos los resultados
El mayor de ellos es el máximo absoluto
El menor de ellos es el mínimo absoluto