Distribucion de probabilidad
Una distribución de probabilidad es aquella que permite establecer toda la gama de resultados probables de ocurrir en un experimento determinado. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro.
Distribución de Probabilidad de una variable aleatoria discreta:
Una distribución discreta describe la probabilidad de ocurrencia de cada valor de una variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria que tiene valores contables, tales como una lista de enteros no negativos. Con una distribución de probabilidad discreta, cada valor posible de la variable aleatoria discreta puede estar asociado con una probabilidad distinta de cero. Por lo tanto, una distribución de probabilidad discreta suele representarse en forma tabular.
Tipos de distribuciones de probabilidad
Los científicos siempre se han sentido fascinados con los fenómenos y acontecimientos que ocurren en la vida cotidiana, por lo que se han puesto en la tarea de construir modelos probabilísticos teóricos, a través de la experimentación, que los describan. Algunos de los más utilizados hoy en día son:
1-Distribución de probabilidad Binomial
2-Distribución de probabilidad hipergeométrica
3-Distribución de probabilidad de Poisson
4-Distribución de probabilidad Multinomial
Distribución de probabilidad Binomial:
Es una probabilidad discreta y se presenta con mucha frecuencia en nuestra vida cotidiana. Fue propuesta por Jakob Bernoulli (1654-1705), y es utilizada con acontecimientos que tengan respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.
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• Características de un experimento binomial.
1 El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos.
2 En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso.
3 La probabilidad de éxito, que se denota P, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la probabilidad de fracaso, que se denota 1-P, tampoco cambia de un ensayo a otro.
4 Los ensayos son independientes.
• Función de probabilidad binomial.
Para un experimento binomial, representemos con 𝑃 la probabilidad de un “éxito” y 1−𝑃 representa la probabilidad de un “fracaso “en un solo intento. Entonces 𝑃 (𝑥), la probabilidad de que habrá exactamente 𝑥 éxitos en 𝑛 intentos, es,
Algunos ejemplos donde se aplica esta distribución son:
• Si una persona presenta o no una enfermedad.
• Si una mujer se encuentra en estado de embarazo.
• Que un producto sea exitoso o no.
• Que un vuelo se retrase o no.
• Si el lanzamiento de una moneda sale cara en vez de sello.
Distribución de probabilidad hipergeométrica
En la distribución binomial, se vio que la probabilidad de éxito es constante en todas las pruebas, ya que las extracciones son con reemplazo y la n extracciones o pruebas son independiente; para la distribución Hipergeométrica, las extracciones se hacen sin reemplazo; eso hace que las probabilidades de éxitos sean diferentes en cada prueba.
• Características de la Distribución de probabilidad hipergeométrica
1 Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
2 Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
3 Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
4 El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
• Función de probabilidad hipergeométrica
Si se define la variable aleatoria 𝑋con (𝑛≤𝑎) y (𝑥≤𝑛), entonces:
• Propiedades principales de la distribución hipergeométrica:
• La muestra siempre debe ser pequeña, aunque la población sea grande.
• Los elementos de la muestra se van extrayendo de a uno, sin incorporarlos nuevamente a la población.
• La propiedad a estudiar es binaria, es decir sólo puede tomar dos valores: 1 o 0, o bien cierto o falso.
• En cada paso de extracción de elementos, la probabilidad cambia dependiendo de los resultados previos.
Distribución de probabilidad de Poisson:
Recibe su nombre gracias al matemático francés Simeón Denis Poisson (1781-1840). Describe el número de veces que se presenta un acontecimiento durante un intervalo específico, este intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La probabilidad de ocurrencia es proporcional a la longitud del intervalo.
Características:
1.La probabilidad de ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud.
- La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
• Función de probabilidad de la distribución Poisson
Sea X una variable aleatoria discreta, que puede tomar los valores x = 0, 1, 2, ... Se dice que X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ (y se nota X → P (λ)) si su función masa es:
Propiedades
• El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto. De esta manera se dice que el proceso de Poisson no tiene memoria.
• La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.
• La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.
Distribución de probabilidad multinomial
La distribución multinomial es una distribución discreta multivariante y, como su nombre indica, es una generalización de la distribución binomial cuando el experimento aleatorio considerado no tiene solo dos resultados posibles, ´éxito o fracaso, sino tres o más.
Algunos ejemplos donde se aplica esta distribución son
• El número de vehículos que vende por día un concesionario.
• Cantidad de llamadas por hora que recibe una compañía.
• Cuando se requiere conocer el número de defectos en un lote de tela.
• Número de accidentes automovilísticos en el año.
• Número de llegadas de embarcaciones a un puerto por día.
Características
a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.
d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.
Función de probabilidad multinominal