ESPACIO VECTORIAL
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Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.
Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar) que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de S.
Un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana
Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.
Un espacio vectorial es una terna (V, +, ·), donde V es un conjunto n o v a c ́ı o y + , · s o n d o s o p e r a c i o n e s d e l t i p o + : V × V → R , · : R × V → V a l a s que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u + v y ·(λ, v) = λv,
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Subespacio.
Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial
Si contiene al vector 0 , y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, el resultado permanece en S
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Axiomas de un espacio vectorial.
1- Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.
2- Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).
3- Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.
4- Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.
5- Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.
6- Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.
7- Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)= ax + ay
8- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces (a+b) x = ax+ by.
9- Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces a(bx) = (ab)x.
10- Para cada vector X pertenece a V, 1x = x.
Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
• Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0 + v = v para cualquier vector v
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .
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Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: β(αv)=(βα)v • Distributivas:
Respectodelasumadeescalares: (α+β)v=αv+βv Respectodelasumadevectores: α(u+v)=αu+αv
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales.
Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
PROPIEDADES
- u+(v+w)=(u+v)+w,∀u,v,w∈V (asociativa).
- u+v=v+u,∀u,v∈V (conmutativa).
- Existee∈V talquee+v=v+e=v,∀v∈V (elementoneutro).
- Paracadav∈V existewtalquev+w=w+v=e(elementoopuesto).
- λ(μv) = (λμ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, μ ∈ R (seudo-asociativa).
- λ(u+v) = λu+λv y (λ+μ)v = λv+μv, ∀u,v ∈ V y ∀λ,μ ∈ R (distributiva).
- 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).
¿Cómo saber si un vector es un espacio vectorial?
Otra forma de saber si un vector pertenece al subespacio generado por un conjunto de vectores, es comprobar si el vector es linealmente dependiente de los generadores. Si el vector es linealmente independiente de los generadores entonces no pertenece al subespacio generado por ese conjunto de vectores.
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.{a{1}\vec{v}{1}+a{2}\vec{v}{2}+\cdots +a{n}\vec{v}{n}=\vec{0}}
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, de manera que si la combinación lineal es igual a cero, entonces cada uno de sus coeficientes es igual a cero
{a{1}\vec{v}{1}+a{2}\vec{v}{2}+\cdots +a{n}\vec{v}{n}=\vec{0} \ \ \Longrightarrow \ \ a{1}=a{2}= \cdots =a_{n}=0}
Las aplicaciones de los espacios vectoriales en la vida cotidiana a través de la informática son numerosas ya que la solución de muchos problemas relacionados con graficas computarizada, procesamiento de imágenes, software
APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA: SABER A QUE DIRECCION SE DIRIGE UN AVION LAS PERSONAS QUE HACEN PESCA EL MOVIMIENTO DE UNA BANDERA EL USO DE UNA POLEA MOVER UNA CAJA DE UN LUGAR A OTRO
