Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Barisan & Deret, Blessa Johana - Coggle Diagram
Barisan & Deret
Merumuskan Masalah Nyata yang Memiliki Model Matematika Berbentuk Barisan atau Deret
Bunga Majemuk
Definisi Bunga Bank
Sejumlah imbalan yang diberikan bank kepada nasabah atas dana yang disimpan di bank yang dihitung sebesar presentase tertentu dari pokok simpanan dan jangka waktu simpanan atau tingkat bunga yang dikenakan terhadap pinjaman yang diberikan bank kepada debiturnya
Rumus
B = M x i x t
, dengan B = bunga dihasilkan dari modal yang disimpan, M = modal, i = besar suku bunga (dalam persen), t = periode simpanan (dalam tahun)
Bunga Majemuk
Definisi
Bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya, sehingga bunga memiliki banyak variasi dan selalu beribah tiap periodenya
Rumus
Mn = M0(1+i)^n
Nilai Tunai
Rumus
NT = Mn/(1+1)^n = Mn(1+i)^-n
Anuitas
Rumus umum angsuran
A2 = (A - bM1)(1+b)
A3 = (A-bM_1)(1+b)^2
A1 = A - bM1
An = (A-bM1)(1+b)^n-1
Rumus untuk menentukan besar pinjaman
M = a1 (((1+b)^n-1))/b
Rencana angsuran (rencana pelunasan)
Anuitas = Angsuran + Bunga
Rumus untum anuitas
A = M b(1+b)^n/(1+b)^n-1
Menghitung Anuitas dengan Tabel Anuitas
A = M 1/∑_(i=1)^n〖(i+b)^-1〗
Definisi
Sistem pembayaran dengan sejumlah uang yang tetap dalam periode waktu yang tetap juga
Pertumbuhan dan Peluruhan
Pertumbuhan
Pertumbuhan secara linear
un = a + (n-1)b
Pertumbuhan secara eksponensial
un = ar^n-1
An = A0(1+p)^n
Definisi
Perubahan kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu dengan
perubahan naik
. Pertumbuhan merupakan kenaikan atau bertambahnya kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu
Peluruhan
Peluruhan secara linear
un = a+(n-1)b
Peluruhan secara eksponensial
An = A0(1+p)^n
Definisi
Perubahan kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu dengan
perubahan turun
. Peluruhan merupakan penurunan atau berkurangnya kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu
Pola Bilangan dan Barisan
Pola bilangan
Pola bilangan asli genap (Un = 2n)
Pola bilangan segitiga (Un = (n(n+1))/2)
Pola bilangan asli ganjil (Un = 2n-1)
Pola bilangan persegi (Un = n^2)
Pola bilangan asli (Un = n)
Pola bilangan persegi panjang (Un = n(n+1))
Barisan bilangan
Contoh
Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Barisan bilangan asli genap: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, ..., dan bilangan ke-n adakah un, maka barisan bilangan itu ditulis sebagai berikut: u1, u2, u3, ..., un
Definisi
Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara suatu bilangan dengan bilangan berikutnya
Deret Bilangan
Definisi
Jumlah beruntun dari suku-suku barisan
u1 + u2 + u3+ ... + un
Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Rumus suku ke-n pada barisan aritmetika
Rumus
Un = a + (n-1)b
Sifat-sifat
Suku ke-n atau un = a+(n-1)b merupakan fungsi linear dari n (n ∈ bilangan asli)
Untuk setiap n ∈ bilangan asli, berlaku un - un-1 = b (beda
Untuk setiap m dan k ∈ bilangan asli, berlaku um - uk = (m-k)b
Suku tengah pada barisan aritmetika
Definisi
Suku yang berada di tengah-tengah di antara suku-suku yang ada pada barisan itu
Rumus
Jika suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k ∈ bilangan asli lebih dari dua, maka suku tengahnya adalah
1/2(u1 + u2k-1)
Barisan bilangan u1, u2, u3, ..., un disebut
barisan aritmetika
, jika untuk sembarang n (n ∈ bilangan asli) berlaku hubungan: un - un-1 = b, dengan b adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n
Sisipan pada barisan aritmetika
Rumus
Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk sebuah barisan aritmetika. Nilai beda (selisih) dari barisan aritmetika yang terbentuk ditentukan dengan rumus:
b = (𝑦 − 𝑥)/(𝑘 + 1)
Deret Aritmetika
Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika
Rumus
Jumlah n suku pertama sebuah deret aritmetika u1+u2+u3+...+un-1+un ditentukan dengan rumus:
Sn = 𝑛/2(𝑎+𝑢𝑛) atau 𝑆𝑛=𝑛/2(2𝑎+(𝑛−1)𝑏)
, dengan n = banyak suku, a = suku pertama, b = beda, dan un = suku ke-n
Sifat-sifat Sn pada Deret Aritmetika
Sn = n/2(a+un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan
Untuk tiap n ∈ himpunan bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (suku ke-n)
Definisi
Jumlah berurutan dari suku-suku suatu barisan aritmetika, yaitu
u1 + u2 + u3 + ... + un
Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Rumus suku ke-n pada barisan geometri
Rumus
un = ar^n-1
Sifat-sifat
Suku ke-n atau un = ar^n-1 merupakan fungsi eksponen dari n yang tidak mengandung suku tetapan
Untuk tiap n ∈ himpunan bilangan asli berlaku un/(un-1) = r (rasio)
Untuk setiap m dan k ∈ bilangan asli, berlaku um/uk=r^(m-k)
Suku tengah pada barisan geometri
Rumus
Barisan geometri dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k ∈ himpunan bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k atau uk, ditentukan oleh aturan:
𝑢𝑘=√𝑢1×𝑢_2𝑘−1
Definisi
Barisan bilangan u1, u2, u3, ..., un disebut barisan geometri, jika untuk sembarang nilai n (n ∈ himpunan bilangan asli) berlaku hubungan:
un/(un-1) = r
, dengan r adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n
Sisipan pada barisan geometri
Rumus
Untuk k genap
, nilai r yang diperoleh hanya ada satu kemungkinan, yaitu
r = √(k+1&y/x)
Untuk k ganjil
, nilai r yang diperoleh ada 2 kemungkinan, yaitu =
+√(𝑘+1&𝑦/𝑥)
atau
-√(𝑘+1&𝑦/𝑥)
Deret Geometri
Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret geometri
Rumus
Sn = (a(1-r^n))/((1-r)) atau Sn = (a(r^n-1))/((r-1))
, dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama, dan r = rasio
Sifat-sifat
Sn = (a(1-r^n))/((1-r)) atau Sn = (a(r^n-1))/((r-1)) merupakan fungsi eksponen dari n yang mengandung suku tetapan a/1-r atau a/r-1
Untuk setiap n ∈ himpunan bilangan asli, berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un
Definisi
Jika u1, u2, u3, ..., un merupakan suku-suku dari sebuah barisan geometri, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan deret geometri
Deret Geometri Tak Hingga
Rumus
Mempunyai limit jumlah
atau
konvergen
, jika |r| < 1. Limit jumlah itu ditentukan oleh aturan S = a/1-r
Tidak mempunyai limit jumlah
atau
divergen
, jika |r| >1
Definisi
Banyak suku-suku penjumlahan pada suatu deret geometri bertambah terus-menerus mendekati tak terhingga
u1 +u2 + u3 + ... + un + .. atau a+ar+ar^2+...+ar^n-1+...
Blessa Johana