Barisan & Deret
Pola Bilangan dan Barisan
Pola bilangan
Barisan bilangan
Pola bilangan asli genap (Un = 2n)
Pola bilangan segitiga (Un = (n(n+1))/2)
Pola bilangan asli ganjil (Un = 2n-1)
Pola bilangan persegi (Un = n^2)
Pola bilangan asli (Un = n)
Pola bilangan persegi panjang (Un = n(n+1))
Contoh
Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, ..., dan bilangan ke-n adakah un, maka barisan bilangan itu ditulis sebagai berikut: u1, u2, u3, ..., un
Definisi
Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Barisan bilangan asli genap: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Deret Bilangan
Susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara suatu bilangan dengan bilangan berikutnya
Definisi
Jumlah beruntun dari suku-suku barisan
u1 + u2 + u3+ ... + un
Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Rumus suku ke-n pada barisan aritmetika
Suku tengah pada barisan aritmetika
Barisan bilangan u1, u2, u3, ..., un disebut barisan aritmetika, jika untuk sembarang n (n ∈ bilangan asli) berlaku hubungan: un - un-1 = b, dengan b adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n
Sisipan pada barisan aritmetika
Rumus
Sifat-sifat
Un = a + (n-1)b
Suku ke-n atau un = a+(n-1)b merupakan fungsi linear dari n (n ∈ bilangan asli)
Untuk setiap n ∈ bilangan asli, berlaku un - un-1 = b (beda
Untuk setiap m dan k ∈ bilangan asli, berlaku um - uk = (m-k)b
Definisi
Rumus
Suku yang berada di tengah-tengah di antara suku-suku yang ada pada barisan itu
Jika suatu barisan aritmetika dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k ∈ bilangan asli lebih dari dua, maka suku tengahnya adalah 1/2(u1 + u2k-1)
Rumus
Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk sebuah barisan aritmetika. Nilai beda (selisih) dari barisan aritmetika yang terbentuk ditentukan dengan rumus: b = (𝑦 − 𝑥)/(𝑘 + 1)
Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika
Definisi
Jumlah berurutan dari suku-suku suatu barisan aritmetika, yaitu u1 + u2 + u3 + ... + un
Rumus
Sifat-sifat Sn pada Deret Aritmetika
Jumlah n suku pertama sebuah deret aritmetika u1+u2+u3+...+un-1+un ditentukan dengan rumus: Sn = 𝑛/2(𝑎+𝑢𝑛) atau 𝑆𝑛=𝑛/2(2𝑎+(𝑛−1)𝑏), dengan n = banyak suku, a = suku pertama, b = beda, dan un = suku ke-n
Sn = n/2(a+un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan
Untuk tiap n ∈ himpunan bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (suku ke-n)
Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Deret Geometri
Rumus suku ke-n pada barisan geometri
Suku tengah pada barisan geometri
Definisi
Sisipan pada barisan geometri
Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret geometri
Definisi
Barisan bilangan u1, u2, u3, ..., un disebut barisan geometri, jika untuk sembarang nilai n (n ∈ himpunan bilangan asli) berlaku hubungan: un/(un-1) = r, dengan r adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung pada n
Rumus
Sifat-sifat
un = ar^n-1
Suku ke-n atau un = ar^n-1 merupakan fungsi eksponen dari n yang tidak mengandung suku tetapan
Untuk tiap n ∈ himpunan bilangan asli berlaku un/(un-1) = r (rasio)
Untuk setiap m dan k ∈ bilangan asli, berlaku um/uk=r^(m-k)
Rumus
Barisan geometri dengan banyak suku ganjil (2k-1), dengan k ∈ himpunan bilangan asli lebih dari dua. Suku tengah barisan geometri itu adalah suku ke-k atau uk, ditentukan oleh aturan: 𝑢𝑘=√𝑢1×𝑢_2𝑘−1
Rumus
Untuk k genap, nilai r yang diperoleh hanya ada satu kemungkinan, yaitu r = √(k+1&y/x)
Untuk k ganjil, nilai r yang diperoleh ada 2 kemungkinan, yaitu = +√(𝑘+1&𝑦/𝑥) atau -√(𝑘+1&𝑦/𝑥)
Jika u1, u2, u3, ..., un merupakan suku-suku dari sebuah barisan geometri, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan deret geometri
Rumus
Sifat-sifat
Sn = (a(1-r^n))/((1-r)) atau Sn = (a(r^n-1))/((r-1)), dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama, dan r = rasio
Sn = (a(1-r^n))/((1-r)) atau Sn = (a(r^n-1))/((r-1)) merupakan fungsi eksponen dari n yang mengandung suku tetapan a/1-r atau a/r-1
Untuk setiap n ∈ himpunan bilangan asli, berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un
Deret Geometri Tak Hingga
Merumuskan Masalah Nyata yang Memiliki Model Matematika Berbentuk Barisan atau Deret
Bunga Majemuk
Anuitas
Pertumbuhan dan Peluruhan
Rumus umum angsuran
Rumus untuk menentukan besar pinjaman
Rencana angsuran (rencana pelunasan)
Rumus untum anuitas
Menghitung Anuitas dengan Tabel Anuitas
Definisi
Pertumbuhan
Peluruhan
Definisi Bunga Bank
Rumus
Sistem pembayaran dengan sejumlah uang yang tetap dalam periode waktu yang tetap juga
Anuitas = Angsuran + Bunga
A2 = (A - bM1)(1+b)
M = a1 (((1+b)^n-1))/b
A = M b(1+b)^n/(1+b)^n-1
A = M 1/∑_(i=1)^n〖(i+b)^-1〗
A3 = (A-bM_1)(1+b)^2
A1 = A - bM1
An = (A-bM1)(1+b)^n-1
Sejumlah imbalan yang diberikan bank kepada nasabah atas dana yang disimpan di bank yang dihitung sebesar presentase tertentu dari pokok simpanan dan jangka waktu simpanan atau tingkat bunga yang dikenakan terhadap pinjaman yang diberikan bank kepada debiturnya
B = M x i x t, dengan B = bunga dihasilkan dari modal yang disimpan, M = modal, i = besar suku bunga (dalam persen), t = periode simpanan (dalam tahun)
Bunga Majemuk
Nilai Tunai
Definisi
Bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya, sehingga bunga memiliki banyak variasi dan selalu beribah tiap periodenya
Rumus
Mn = M0(1+i)^n
Rumus
NT = Mn/(1+1)^n = Mn(1+i)^-n
Pertumbuhan secara linear
Pertumbuhan secara eksponensial
Definisi
Perubahan kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu dengan perubahan naik. Pertumbuhan merupakan kenaikan atau bertambahnya kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu
un = ar^n-1
An = A0(1+p)^n
un = a + (n-1)b
Peluruhan secara linear
Peluruhan secara eksponensial
Definisi
Perubahan kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu dengan perubahan turun. Peluruhan merupakan penurunan atau berkurangnya kuantitas suatu objek dalam jangka waktu tertentu
un = a+(n-1)b
An = A0(1+p)^n
Rumus
Definisi
Banyak suku-suku penjumlahan pada suatu deret geometri bertambah terus-menerus mendekati tak terhingga
u1 +u2 + u3 + ... + un + .. atau a+ar+ar^2+...+ar^n-1+...
Mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika |r| < 1. Limit jumlah itu ditentukan oleh aturan S = a/1-r
Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika |r| >1
Blessa Johana