FUNCIONES
DEFINICIÓN
Las funciones son correspondencias matemáticas entre los elementos de un primer conjunto X, con los elementos de un segundo conjunto Y .
ACLARACIONES:
Cada uno de los elementos de X, es un valor independiente, es decir, que son fijados previamente, razón por la cual, el conjunto del cual hacen parte, también es conocido como la VARIABLE INDEPENDIENTE. 
Cada uno de los elementos de Y, es un valor dependiente de los valores que asuman los elementos de X, por lo que el conjunto al cual hacen parte también es conocido como VARIABLE DEPENDIENTE.
PROPIEDADES:
2. A cada elemento de X (VARIABLE INDEPENDIENTE), le corresponde un solo elemento de Y (VARIABLE DEPENDIENTE).
1. Todo elemento del conjunto X (VARIABLE INDEPENDIENTE), tiene una imagen en el conjunto Y (VARIABLE DEPENDIENTE).
ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN
DOMINIO: Conjunto de valores que toma la VARIABLE INDEPENDIENTE X. También se le llama CAMPO DE EXISTENCIA DE LA FUNCIÓN.
RANGO O IMAGEN: Conjunto de valores que efectivamente toma la VARIABLE DEPENDIENTE Y.
CODOMINIO: Conjunto de valores que puede tomar la VARIABLE DEPENDIENTE Y.
En el diagrama de la izquierda el conjunto "X" es el DOMINIO, el conjunto "Y" es el CODOMINIO y los elementos de Y a los que llegan flechas (Los valores producidos realmente por la función) son el RANGO.
¿QUÉ NO ES UNA FUNCIÓN?
Una NO función ocurre cuando a un elemento del conjunto X, le pertenecen más de un elemento del conjunto Y.
Un claro ejemplo de una NO función es cuando le asignamos al conjunto X los colores favoritos de un grupo de personas y al conjunto Y como tal los seres humanos, pues podrían haber casos donde el color favorito sea preferencia de 2 individuos a la vez.
Otro ejemplo de una NO función es la elipse centrada en el origen, pues a los valores concretos de X, les corresponden dos valores de Y.
ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN
POR TODO LO ANTERIOR DEDUCIMOS QUE:
1. Toda relación NO tiene porqué ser necesariamente una función, aunque toda función sí que es una relación.
2. Una ecuación (Que es una relación) NO tiene que ser necesariamente una función.
ASPECTOS ADICIONALES DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN
TASA DE VARIACIÓN
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD
CONTINUIDAD
TIPOS DE FUNCIONES
FUNCIÓN POLINÓMICA
Indica cómo cambia una función al pasar de un punto a otro. Esta tasa examina si la función CRECE o DECRECE en una región.
El CRECIMIENTO o DECRECIMIENTO de una función f se puede estudiar:
EN UN INTERVALO [a,b].
EN UN PUNTO X.
EN TODO EL DOMINIO.
Una función es CRECIENTE entre a y b si al aumentar la VARIABLE INDEPENDIENTE X, aumenta la VARIABLE DEPENDIENTE Y.
Una función es DECRECIENTE entre a y b si al aumentar la VARIABLE INDEPENDIENTE X, disminuye la VARIABLE DEPENDIENTE Y.
Una función es CONSTANTE entre a y b si al aumentar la VARIABLE INDEPENDIENTE X, la VARIABLE DEPENDIENTE Y no varia.
La función f es CRECIENTE en a si la derivada es positiva.
La función f es CONSTANTE en a si la DERIVADA es nula en dicho punto y en un entorno de él (Se incluye su entorno también, porque sino sería un máximo o un mínimo).
La función f es DECRECIENTE en a si la derivada es negativa.
Una función f es CRECIENTE en todo su DOMINIO si es CRECIENTE en todos sus puntos.
Una función f es DECRECIENTE en todo su DOMINIO si es DECRECIENTE en todos sus puntos.
Una función f es CONSTANTE en todo su DOMINIO si es CONSTANTE en todos sus puntos. En estos casos se trata de FUNCIONES MONÓTONAS.
¿QUÉ SON?
Los MÁXIMOS y MÍNIMOS en una función f son los valores más grandes (Máximos) o más pequeños (Mínimos) que toma la función, ya sea en una región (Extremos relativos) o en todo su DOMINIO (Extremos absolutos).
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Los EXTREMOS ABSOLUTOS son los valores de una función f más grandes (Máximos) o más pequeños (Mínimos) de todo el DOMINIO.
El MÁXIMO ABSOLUTO de la función f es el valor más grande en todo el DOMINIO.
El MÍNIMO ABSOLUTO de la función f es el valor más pequeño en todo el DOMINIO.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
Los EXTREMOS RELATIVOS de una función f son los valores más grandes (Máximos) o más pequeños (Mínimos) de una región del DOMINIO.
Los EXTREMOS RELATIVOS también son conocidos como EXTREMOS LOCALES.
EJEMPLO:
La función f tiene en M un MÁXIMO RELATIVO si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
La función f tiene en m un MÍNIMO RELATIVO si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
Una función es CONTINUA si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo.
DISCONTINUIDAD
Se dice que la función es DISCONTINUA si existe un punto en el que halla un salto, cosa que provoca que la gráfica se rompa.
Una FUNCIÓN POLINÓMICA f es una función cuya expresión es un POLINOMIO.
El DOMINIO de las FUNCIONES POLINÓMICAS son todos los números reales.
Las FUNCIONES POLINÓMICAS son CONTINUAS en todo su DOMINIO.
El GRADO de una FUNCIÓN POLINÓMICA es el mayor exponente de sus términos. Por ejemplo, el grado de la FUNCIÓN POLINÓMICA en la imagen es 4.
TIPOS DE FUNCIONES POLINÓMICAS
FUNCIÓN CONSTANTE
FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO
FUNCIÓN CUADRÁTICA
La m es la PENDIENTE y la n la ORDENADA, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. Según los valores de m y n existen tres tipos:
FUNCIÓN AFÍN
FUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN IDENTIDAD
FUNCIÓN CÚBICA
Una función f es CONSTANTE si la VARIABLE DEPENDIENTE Y, toma el mismo valor a para cualquier elemento del DOMINIO (VARIABLE INDEPENDIENTE X).
La gráfica de una FUNCIÓN CONSTANTE es una RECTA PARALELA al eje de abscisas X.
FUNCIÓN RACIONAL
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
Las FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO son aquellas que tienen un polinomio de grado 1 como expresión.
Están compuestas por un escalar que multiplica a la VARIABLE INDEPENDIENTE más una constante.
Su representación gráfica es una recta de PENDIENTE m.
Una FUNCIÓN AFÍN es una FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).
Una FUNCIÓN LINEAL es una FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:
Las FUNCIONES AFINES son rectas definidas por la siguiente fórmula:
La FUNCIÓN IDENTIDAD es un FUNCIÓN LINEAL de PENDIENTE m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su BISECTRIZ.
En la FUNCIÓN IDENTIDAD la imagen de cualquier elemento es este mismo.
Las FUNCIONES CUADRÁTICAS o de SEGUNDO GRADO son FUNCIONES POLINÓMICAS en donde el mayor exponente del polinomio es X elevada a la 2.
Su representación gráfica es una PARÁBOLA VERTICAL.
Las FUNCIONES CÚBICAS o de TERCER GRADO, son FUNCIONES POLINÓMICAS en las cuales el mayor exponente del polinomio es X elevada a la 3.
La representación gráfica de una FUNCIÓN CÚBICA es:
Las FUNCIONES RACIONALES f(x) son el cociente de dos polinomios. La palabra RACIONAL hace referencia a que estas funciones son unas RAZONES. P(x) es el POLINOMIO NUMERADOR y Q(x) el del DENOMINADOR.
Una FUNCIÖN EXPONENCIAL es aquella en que la VARIABLE INDEPENDIENTE X aparece en el exponente y tiene de base una constante a . Su expresión es: Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
Una FUNCIÓN LOGARÍTMICA está formada por un logaritmo de base a, y es, en su forma simple, de la forma: Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
La FUNCIÓN LOGARÍTMICA es la inversa de la FUNCIÓN EXPONENCIAL.
Las FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS tienen lugar cuando estas tienen distintas expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo en el que se encuentre la VARIABLE INDEPENDIENTE X
La imagen de un valor X se calcula según en que intervalo se encuentra X. Por ejemplo, el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.
ALGUNOS USOS DE LAS FUNCIONES
FUNCIONES LINEALES
En ECONOMÍA hay dos funciones que tienen especial trascendencia, como son la FUNCIÓN DE LA OFERTA y la FUNCIÓN DE LA DEMANDA, que determinan el EQUILIBRIO DE MERCADO.
En FÍSICA, las FUNCIONES LINEALES son utilizadas para determinar la posición de un móvil en función del tiempo en el MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU).
En la CIENCIA las FUNCIONES LINEALESse utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, para hallar TASAS DE VARIACIÓN, EFECTUAR CAMBIOS DE UNIDADES DE MEDIDA y PARA REALIZAR PREDICCIONES SIEMPRE QUE LA RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES SEA APROXIMADAMENTE LINEAL.
FUNCIONES CUADRÁTICAS
En INGENIERÍA CIVIL, se usan las FUNCIONES CUADRÁTICAS en la CONSTRUCCIÓN DE MUCHAS ESTRUCTURAS.
En ECONOMÍA, las FUNCIONES CUADRÁTICAS ayudan a PREDECIR GANANCIAS y PÉRDIDAS EN LOS NEGOCIOS, así como para DETERMINAR TANTO LOS VALORES MÍNIMOS COMO MÁXIMOS.
En FÍSICA, permiten estudiar con precisión el TIRO PARABÓLICO y los MOVIMIENTOS UNIFORMEMENTE ACELERADOS (MUA).
FUNCIONES RACIONALES
Su principal función está en el campo del ANÁLISIS NUMÉRICO para interpolar o aproximar los resultados obtenidos en otras funciones más complejas ya que son simples de calcular pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
FUNCIONES EXPONENCIALES
Sirven para DESCRIBIR cualquier proceso que evolucione de modo que cualquier aumento (O disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. Por ejemplo:
CRECIMIENTO DE POBLACIONES
INTERÉS DEL DINERO ACUMULADO
DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
En GEOLOGÍA son usadas para HALLAR LA INTENSIDAD DE UN SEÍSMO.
Los ASTRÓNOMOS las utilizan para CALCULAR ALGUNA MAGNITUD ESTELAR DE UNA ESTRELLA O PLANETA, COMO SU BRILLANTEZ O SU TAMAÑO.
En FÍSICA tienen muchas aplicaciones como, por ejemplo, CALCULAR EL NIVEL DE INTENSIDAD DE UN SONIDO.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En FÍSICA se utilizan para MODELIZAR aquellos fenómenos que presentan un comportamiento periódico, como la PROPAGACIÓN DE ONDAS.
Se usan para ESTUDIAR, por ejemplo, los CICLOS DE LOS MERCADOS FINANCIEROS o los CICLOS ECONÓMICOS.