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:star: Circuitos de Segundo Orden RLC, En electrodinámica, un circuito RLC…
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En electrodinámica, un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina y un capacitor. El comportamiento de un circuito RLC se describe generalmente por una ecuación diferencial de segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primer orden) 1)
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Como el interruptor ha estado cerrado antes de t=0, tanto la bobina como el capacitor están cargados. Esto nos permite sustituir esos elementos por sus equivalentes cargados, lo cual nos deja el circuito a continuación:
Se debe encontrar i(0+),v(0+),i(∞),v(∞),di(0+)dt,dv(0+)dt. Por lo tanto, iniciamos con las condiciones iniciales de las variables de estado:
Para t<0 tendríamos el siguiente circuito:
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Podemos determinar i(0−) y v(0−) (un instante antes de abrir el interruptor). El valor de i(0−)=124+2=2A. Y el valor de v(0−)=2i(0−)=4V.
Ahora, debemos recordar que la bobina se opone a cambios bruscos en la corriente, y el capacitor a cambios bruscos en el voltaje. Por lo tanto, i(0−)=i(0+) y v(0−)=v(0+). De esta forma ya obtuvimos los 2 primeros parámetros solicitados.
Con las derivadas debemos echar mano de las leyes fundamentales de la bobina y el capacitor (LFB y LFC). Veamos el circuito que tenemos en t=0+:
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En ese justo instante (t=0+), la corriente en el capacitor es la misma que en la bobina, por lo tanto iC(0+)=i(0+)=2A. Y por la LFC, iC=Cdvdt⇒dvdt=iCC. Y si analizamos esta derivada en t=0+ tendremos que:
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Por otro lado, si aplicamos LVK, tendríamos que: 12=4i(0+)+vL(0+)+v(0+). Si despejamos vL(0+) nos queda que: vL(0+)=12−8−4=0. Y por la LFB, obtendríamos que:
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Ahora solo queda determinar los valores finales de las variables de estado. En este caso, el circuito se analiza mucho tiempo después, cuando se encuentra en estado estable. Por lo tanto, la bobina y el capacitor estarán cargados y el circuito sería:
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Es muy claro que i(0−)=2A y v(0−)=4V.
Para el instante en que se cierra el interruptor, o sea en t=0+ el circuito será el siguiente:
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Acá debemos recordar la condiciones que dicen que i(0−)=i(0+) y v(0−)=v(0+), por lo tanto ya tenemos las respuestas de las primeras condiciones iniciales: i(0+)=2A y v(0+)=4V.
Ahora, para las condiciones iniciales de las derivadas, hacemos uso de las Leyes de Kirchhoff.
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Como estamos en el instante de t=0+, i(0+)=Cdv(0+)dt+v(0+)2. Reordenando y sustituyendo con los valores iniciales obtenidos, tendríamos que: dv(0+)dt=0V/s.
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Por último, para las condiciones finales tendríamos el siguiente circuito:
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