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多元函数微分学, 计科2003程菲楠 - Coggle Diagram
多元函数微分学
多元函数的极限与连续
邻域
设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，记作,点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径
点及集合及区域
内点、边界点
边界、开集、闭集
区域、开区域
有界点集、无界点集
多元函数
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。
多元函数的连续性
最大值和最小值定理
介值定理
多元初等函数
定义区域
多元函数的极限
若动点M沿某一条曲线无限趋近于M。时，函数f的极限不存在；或者动点M沿某两条不同曲线无限趋近于M。时，函数f有不同的“极限”
动点M沿任意一条曲线以任何方式无限趋于M。时，函数的极限都存在且相等为A
全微分
全改变量
如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，x+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。
定理1：如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。
定理2：若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。
偏导数连续是可微的充分不必要条件。
可微是偏导数存在的充分不必要条件。
方向导数和梯度
方向导数
在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。
几何意义
二元函数在一点沿某个方向的变化率,几何意义是函数所代表的曲面在某个方向(这时曲面只在这个方向进行研究,即一条曲线)所表现出来的曲线的切线的斜率。
可微则任意方向的方向导数存在
梯度
表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）
梯度与方向导数的关系
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
等值线、等值面与梯度
偏导数
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
注
求分段点、不连续点的偏导数要用定义求
偏导数是一个整体记号，不能拆分
几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；
偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
偏导数存在和连续的关系
一元函数某点可导=>连续
多元函数某点偏导数存在不能推出连续
多元函数微分法在几何上的应用
空间曲面的切平面与法线
切平面：在一定的条件下，这些切线位于同一平面，我们称这个平面为曲面Σ在点M处的切平面。
法线：通过切点而垂直与切平面的直线
曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量
空间曲线的切线与法平面
切线：割线的极限位置
法平面：过切线且与切线垂直的平面
切向量：切线的方向向量
两种形式
参数方程
一般方程
全微分的几何意义
切平面代替曲面
隐函数求导法
隐函数存在定理1、2、3、4
解法
1.直接代入公式
2.运用推导公式的方法
多元复合函数的求导法则
链式求导
1.正确画出函数的链式结构图
2.链与链用加法，节与节用乘法
一阶全微分的形式不变性
无论u，v是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分形式是一样的。
多元函数的极值
多元函数的极值及最大值、最小值
驻点
对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。
求极值
第三步 定出A*C-B^2的符号，按定理2的结论判定是否是极值、是极大值还是极小值。
第二步 对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值A、B、C。
第一步 解方程组：偏导数为0
求最值
求出所有驻点及偏导数不存在的点的值进行比较
条件极值 拉格朗日乘数法
条件极值
设函数f(x)与g1(x)，…，gm(x) (1≤m<n)在开集G⊂R上给定。记D为G中满足限制条件gj(x)=0，j=1，…，m的点x之集。设x0∈D。若存在x0的某个邻域B(x0，δ)，使得当x∈B(x0，δ)，同时x∈D时有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则称x0点为函数f在限制条件gj(x)=0，j=1，…，m下的极大(小)值点。条件极大值点与条件极小值点统称为条件极值点。条件极大值点与条件极小值点的函数值即为函数f(x)在限制条件gj(x)下的条件极值。
拉格朗日乘数法
设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数 ，其中λ为参数。令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0 ，F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0，F'λ=φ(x,y)=0，由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。
计科2003程菲楠