Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Банк признаков равенства треугольников - Coggle Diagram
Банк признаков равенства треугольников
прямоугольные треугольники
1.По проекции катета на гипотенузу и острому углу, прилежащей к этой проекции.
Дано: КС = К1С1,С = С1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .
Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 (по катету и прилежащему острому углу), тогда СВ = С1В1 и ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).
2.По основанию и высоте, проведенной к основанию.
Дано:
ΔABC и ΔA₁B₁C₁
AB=A₁B₁
AD=A₁D₁
ΔABC-равнобедренный
ΔАВС-равнобедренный
AB=A₁B₁
AD=A₁D₁
AD и A₁D₁- медианы
Доказать: Δ ABC= Δ A₁B₁C₁
Доказательство:
ABC-равнобедренный ⇒АВ=АС
Рассмотрим ∆ABD и ∆A₁B₁D₁⇒∆ABD= ∆A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними
А₁В₁С₁-равнобедренный ⇒А₁В₁=А₁С₁ ⇒АС=А₁С₁₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D₁ АВ=А₁В₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D ⇒∠ADB=∠A₁D₁B₁=90 ̊ т.к. AD и A₁D₁ биссектрисы а в равнобедренном треугольнике, биссектриса проведённая к основанию является медианой и высотой∠ADC=∠A₁D₁C₁AB=A₁B₁ ⇒ΔABC=ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу лежащему против большей стороныAD=A₁D₁
3.По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.
Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВК = В1К1
Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1
Доказательство:∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В1К1С1 по катету и гипотенузе. ∆АВС = ∆А1В1С1 по трем сторонам.
4.По катету и его проекции на гипотенузу.
Дано: ВС = В1С1 и КС = К1С1.
Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.
Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 по гипотенузе и катету, тогда С = С1 ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).
равнобедренный треугольник
По основанию и боковой стороне
Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1,
A1B1=B1C1,
AB=A1B1,
AC=A1C1.
Доказать:
ΔABC=ΔA1B1C1
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
2) AC=A1C1 (по условию).
3) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по трём сторонам.
По боковой стороне и углу при вершине
Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1, A1B1=B1C1,
AB=A1B1,
∠B=∠B1.
Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
2) ∠B=∠B1 (по условию);
3) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними).
По основанию и углу при основании
Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1,
A1B1=B1C1,
AC=A1C1,
∠A=∠A1
Доказать:
ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AC=A1C1 (по условию);
2) ∠A=∠A1 (по условию);
3) ∠C=∠A, ∠C1 =∠A1 (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Значит ∠C=∠C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
разносторонние треугольники
Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых: AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1
Докажите равенство треугольников △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
△A1B1C1 = △ABC, если при наложение вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 совмещается со стороной AB, AC — со стороной A1C1,A1B1 = AB, вершина B совпадает с вершиной B1
A1C1 = AC, поскольку ∠A = ∠A1, вершина C совпадает с вершинойC1.B1C1 = BC,△ABC = △A1B1C1.
Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB = A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1,
CB = C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
B совпадает с B1, △ABC=△A1B1C1.
.
Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Наложим △ABC на △A1B1C1, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C — с вершиной C1.
AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), ∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1.
∠C = ∠C1, тогда △ABC = △A1B1C1.
