Банк признаков равенства треугольников
прямоугольные треугольники
1.По проекции катета на гипотенузу и острому углу, прилежащей к этой проекции.
Дано: КС = К1С1,С = С1. Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1 .
Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 (по катету и прилежащему острому углу), тогда СВ = С1В1 и ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).
2.По основанию и высоте, проведенной к основанию.
Дано:
ΔABC и ΔA₁B₁C₁
AB=A₁B₁
AD=A₁D₁
ΔABC-равнобедренный
ΔАВС-равнобедренный
AB=A₁B₁
AD=A₁D₁
AD и A₁D₁- медианы
Доказать: Δ ABC= Δ A₁B₁C₁
Доказательство:
ABC-равнобедренный ⇒АВ=АС
Рассмотрим ∆ABD и ∆A₁B₁D₁⇒∆ABD= ∆A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними
А₁В₁С₁-равнобедренный ⇒А₁В₁=А₁С₁ ⇒АС=А₁С₁₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D₁ АВ=А₁В₁ ∆ABD и ∆A₁B₁D ⇒∠ADB=∠A₁D₁B₁=90 ̊ т.к. AD и A₁D₁ биссектрисы а в равнобедренном треугольнике, биссектриса проведённая к основанию является медианой и высотой∠ADC=∠A₁D₁C₁AB=A₁B₁ ⇒ΔABC=ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу лежащему против большей стороныAD=A₁D₁
3.По двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне.
Дано: АВ = А1В1, ВС = В1С1, ВК = В1К1
Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1
Доказательство:∆АВК= ∆А1В1К1 по гипотенузе и катету, ∆ВКС = ∆В1К1С1 по катету и гипотенузе. ∆АВС = ∆А1В1С1 по трем сторонам.
4.По катету и его проекции на гипотенузу.
Дано: ВС = В1С1 и КС = К1С1.
Доказать: ∆АВС=∆А1В1С1.
Доказательство: ∆СВК= ∆С1В1К1 по гипотенузе и катету, тогда С = С1 ∆АВС = ∆А1В1С1 (по катету и прилежащему острому углу).
равнобедренный треугольник
По основанию и боковой стороне
Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1,
A1B1=B1C1,
AB=A1B1,
AC=A1C1.
Доказать:
ΔABC=ΔA1B1C1
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
2) AC=A1C1 (по условию).
3) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по трём сторонам.
По боковой стороне и углу при вершине
Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1, A1B1=B1C1,
AB=A1B1,
∠B=∠B1.
Доказать: ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AB=A1B1 (по условию);
2) ∠B=∠B1 (по условию);
3) Так как AB=BC, A1B1=B1C1, AB=A1B1, то BC=B1C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по двум сторонам и углу между ними).
По основанию и углу при основании
Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
ΔABC,
AB=BC,
ΔA1B1C1,
A1B1=B1C1,
AC=A1C1,
∠A=∠A1
Доказать:
ΔABC=ΔA1B1C1.
Доказательство:
В треугольниках ABC и A1B1C1:
1) AC=A1C1 (по условию);
2) ∠A=∠A1 (по условию);
3) ∠C=∠A, ∠C1 =∠A1 (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Значит ∠C=∠C1.Следовательно, ΔABC=ΔA1B1C1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
click to edit
click to edit
Хуснуллина Мария 7Б
разносторонние треугольники
Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых: AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1
Докажите равенство треугольников △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
△A1B1C1 = △ABC, если при наложение вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 совмещается со стороной AB, AC — со стороной A1C1,A1B1 = AB, вершина B совпадает с вершиной B1
A1C1 = AC, поскольку ∠A = ∠A1, вершина C совпадает с вершинойC1.B1C1 = BC,△ABC = △A1B1C1.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Доказательство:
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB = A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1,
CB = C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
B совпадает с B1, △ABC=△A1B1C1.
.
Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:
AC = A1C1,
AB = A1B1,
CB = C1B1.
Докажите, что △ABC = △A1B1C1.
Наложим △ABC на △A1B1C1, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C — с вершиной C1.
AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), ∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
AC = A1C1, BC = B1C1.
∠C = ∠C1, тогда △ABC = △A1B1C1. 