PLANO CARTESIANO

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El plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano es una forma de ubicar puntos en el espacio,
habitualmente en los casos bidimensionales.



El plano cartesiano tuvo su origen de la mano de René Descartes (1596-1650).Fue un filosofo e influyente
matemático, fundador de la geometría analítica.

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DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO


Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la
distancia entre ellos.


Distancia_entre_dos_puntos_1


La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente.




plano cartesiano

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto medio de un segmento es aquel punto C que esta en el segmento AB y que hace que el segmento CB, es decir, AC=CB


points_center


El punto medio se calcula con la siguiente formula:


coordenadas-del-punto-medio

GRÁFICA DE ECUACIONES

AYUDA PARA GRAFICAR ECUACIONES

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La ecuación en sí es una relación entre las variables X e Y

Ejemplo

images

Gráficas de Ecuaciones

Graficar una ecuación es representarla en un plano cartesiano. Para esto debemos hacer una tabla de valores en donde vamos a ir poniendo respectivamente los resultados correspondientes de X e Y que resulten de dicha ecuación. Luego, con las coordenadas resultante procedemos a graficar en nuestro plano cartesiano .

Ejemplo

250px-Cartesian-coordinate-system.svg

Intersecciones con los ejes coordenados

Simetría respecto al eje X

Intersecciones con el eje X

Intersecciones con el eje Y

Para determinar el punto que exista, justo en donde el gráfico de
la ecuación coincida con el eje X, se sustituye en la ecuación la variable Y por un 0, y se despeja la variable X

El gráfico de una ecuación es simétrico respecto al eje X cuando al cambiar en la ecuación la variable Y por -Y, la ecuación no cambia.

Simetría respecto al eje Y

El gráfico de una ecuación es simétrico al eje Y, cuando al cambiar en la ecuación la variable X por -X, la ecuación no cambia

Simetría respecto al Orígen

material-nAxjmjyx

simetria1

Para determinar el punto que exista, donde el gráfico intercepta con el eje Y, se sustituye en la ecuación con la variable X por u 0, y se despeja la variable Y

El gráfico de una ecuación es simétrica respecto al origen, cuando al cambiar simultáneamente en la ecuación la variable X por -X y la variable Y por -Y la ecuación no cambia

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Es una ecuación que se da de la siguiente forma


Ax+By+C=0


Donde A, B y C son números reales, y A y B no son simultáneamente nulos.

Está dada por la siguiente expresión:


y=mx+n


Donde "m" es la pendiente, y "n" es la intersección de la recta con el "y", llamada también coeficiente de posición


Ahora para representarla vemos que hay dos elementos nuevos "m" que seria la pendiente y "n" el punto de intercepción en el eje de ordenadas "y"


Captura 2


Aquí se puede observar que "m" representa la recta y se logra ver el grado de inclinación de la misma, así como también el punto de intercepción de la recta "n" con la ordenada "y"

Para calcular la pendiente de una recta se usa la siguiente formula:


Captura

y-y1= m(x-x1)
y-b= m(x-0)
y-b= mx
y= mx+b

Determinar la pendiente

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.


Si una recta tiene pendiente m= -3 y es paralela a otra , entonces esa otra también tiene pendiente m= -3.


Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
Si una recta tiene pendiente m= -5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente1/5.


Además:
Si m= 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y= 0,la recta es perpendicular. Si n= 0 la recta pasa por el origen.

Es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.


Ejemplo: Una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:
3= 2 . 1 + n,
y despejando n,queda n= 1.
Por lo tanto , la ecuación de esa recta será. **y= 2x+1.

ECUACIONES DE LA RECTA

Ecuación segmentaria de la recta

La ecuación segmentaria o canónica de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

ecuación-segmentaria-de-la-recta-2

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

y = mx + b

Ecuación de la recta que pasa por un punto y pendiente conocida

y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1.

Ecuación de la recta conocida su pendiente e intercepto con el eje y

y = mx + b (pendiente m y su intercepto b con el eje y)

Ecuación de la recta que pasa por el origen

y = mx

Ecuación General

Ax + By + C = 0

Ecuación de la recta dados punto-pendiente

La ecuación punto-pendiente de cualquier recta r se obtiene por medio de la siguiente expresión:

puntopendiente

Ejemplo: ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto P(-1, 4) y cuya pendiente es -2.

1) Ponemos los datos de las coordenadas del punto P y la pendiente de la recta sobre la ecuación correspondiente:

ejercicio-1-ecuacion-punto-pendiente-punto-pendiente

2)Se hacen transformaciones para que esté en la forma ordinaria

ejercicio-1-ecuacion-punto-pendiente-forma-explicita

ecuacion-punto-pendiente-ejercicio-1

3)Gráfica de la ecuación

Ecuación parametrica de la recta

Sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la siguiente expresión:


{x=a1+λ⋅v1y=a2+λ⋅v2 λ∈R

⭐ x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.

⭐a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).

⭐v1 y v2 son las componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.

⭐λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.

Donde:

:

Pendiente de una recta

Ecuación principal de la recta

Ecuación general de la recta

👤 Valeria Bastidas
C.I 28.206.984
Sección: C

👤Gabriela Belandria C.I.30.189.051

👤Valeria Mill CI:29.924.943
Sección “A”

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (sin olvidar que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal).También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada

Ejemplo: La ecuación y= 4x+7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7,lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0,7). Conocida la fórmula de la ecuación principal de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser una pendiente ,un punto o el intercepto.

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👤Marcos González C.I.30.295.817

Pendiente de una recta

👤Diego Fernández
C.I.28.186.636

👤 Marcos González
C.I.30.295.817

Es importante recordar que se debe tener muy claro el tema del plano cartesiano, ya que, no existe una ecuación de la recta sin un plano cartesiano


Ahora, recordando lo anterior podemos decir que la ecuación general de la recta viene dada por la siguiente formula:


Ax+By+C= 0


Donde A, B y C son números reales y que A y B no son nulos entre si, representan una linea recta.

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