Geometriai transzformációk
(Paragi Botond)
A geometriai transzformáció geometriai objektumok között létesitett megfeleltetés, reláció.
Szűkebb értelemben egy-egyértelmű {\displaystyle \varphi }\varphi :P→P (pont-pont) megfeleltetés = ponttranszformáció.
A P pont e transzformáció tárgypontja, a megfeleltetett P pont ennek képpontja vagy képe.
GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK
Egybevágósági transzformációk. Tengelyes és középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, eltolás. Középpontos hasonlóság. Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata.
click to edit
Definíció:
A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyek ponthoz pontot rendelnek, értelmezési tartománya is és értékkészlete is ponthalmaz.
A geometriai transzformáció tehát egyértelmű hozzárendelés a sík vagy a tér pontjai között.
A középiskolai tananyagban csak olyan transzformációkkal foglalkozunk, ahol ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, és az alaphalmaza és képhalmaza ugyanaz a ponthalmaz. (azaz síkhoz sík, vagy térhez tér pontjait rendeljük.)
click to edit
Egybevágósági transzformáció fogalma.
Definíció:
Egybevágósági (távolságtartó) transzformációknak azokat a geometriai transzformációkat nevezzük, amelyeknél bármely két pont távolsága egyenlő a pontok képeinek távolságával.
click to edit
A legnevezetesebb egybevágósági transzformációk:
Tengelyes tükrözés
Középpontos tükrözés
Pont körüli forgatás
Eltolás
click to edit
click to edit
Definíció:
A tengelyes tükrözésnél adott a síkban egy egyenes, ez a tükrözés tengelye. Az adott egyenesre (t) vonatkozó tengelyes tükrözésnél minden a t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga. (A≡A’)
Ha egy P pont nem illeszkedik a tükrözés tengelyére, akkor a P pont tükörképe az a P’ pont, amelyre fennáll, hogy az adott tengely a PP’ szakasz felezőmerőlegese.
A tengelyes tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.
click to edit
Definíció:
A középpontos tükrözésnél adott a síkban egy pont, a tükrözés középpontja.
Az adott (O) pontra vonatkozó középpontos tükrözés az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz azt a képpontot (P’) rendeli, amelyre az O pont a PP’ szakasz felezési pontja.
A középpontos tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.
click to edit
Definíció:
Pont körüli forgatásnál adott a síkban egy pont, a forgatás középpontja, és adott egy előjeles szög, amely a forgatás mértékét és irányát adja meg.
Az adott (O) pont körüli adott előjeles szögű (β) forgatás az O ponthoz önmagát, minden más (P) ponthoz azt a képpontot (P’) rendeli, amelyre OP=OP’ és a POP’∠ megegyezik a forgatás szögével (POP’∠ = β).
A pont körüli forgatás kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.
Eltolás, mint geometriai transzformáció
KAPCSOLÓDÓ TÉMAKÖRÖK: Eltolás fogalma, Eltolás tulajdonságai, Vektor fogalma
“Told el a széket!” “Merre?” “Mennyire?”
Az eltolás végrehajtásához szükségünk van az eltolás mértékének és irányának a megadására.
Az eltolást, mint geometriai transzformációt irányított szakasszal, vektorral adjuk meg.
Vektor fogalma:
A vektor irányított szakasz, amelyet hosszúsága (a vektor abszolút értéke) és iránya jellemez.
Adjuk meg az eltolást v–=OP−→− vektorral.
Ekkor transzformáció a tér (vagy sík) bármely A pontjához azt a B pontot rendeli, amelyre az AB−→−=OP−→−.
Két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, valamint hosszuk és irányuk megegyezik. AB−→−=OP−→−.