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Elementarmathematik und ihre Didaktik II, Zusammenfassend: Zugänge zur…

- - - - Stundenplan (von der ersten Schulwoche möglich)
        
        Interessen der Kinder (Lebensweltbezug) Bsp: Haustiere, Anzahl Buchstaben im Namen
        
        Beobachtungen oder Untersuchungen durchführen (Daten sammeln, Tabellen strukturieren)
        
        Informationen aus Tabellen, Diagrammen, Schaubildern entnehmen
    - - Hochrechnung für den gesamten Tag
        
        Arithmetisches Mittel (Durchschnitt)
- - - - |Ω| = Anzahl aller möglichen Ergebnisse
      - Für die Whs. P(w) für ein Ergebnis w gilt: P(w)= 1/ |Ω|
      - Ein Ergebnis ist eine Teilmenge E von Ω
      - Für die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E gilt: P(E) = |E|/ |Ω|
    - - Ziel: Einschätzen und Vergleichen von Wahrscheinlichkeiten und nicht das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten
        Grundverständnis für das Phänomen "Zufall"
- - - - Arithmeische/ algebraische Modelle
        
        Arithmetik und Algebra sind zwei Zweige der Mathematik. Die Arithmetik, die unter allen Zweigen der Mathematik die grundlegendste ist, befasst sich mit der grundlegenden Berechnung von Zahlen unter Verwendung von Operationen wie Addition, Multiplikation, Division und Subtraktion. Andererseits verwendet Algebra Zahlen und Variablen, um Probleme zu lösen. Es basiert auf der Anwendung allgemeiner Regeln zur Problemlösung.
      - Geometrische Modelle
        
        Grundrisse, Netzpläne (S und U Bahn), geometrische Figuren und Körper
    - - Die Grundvostellungen, die in einer Sachaufgabe notwendig sind, um die Sachsituation mit mathematischen Bergiffen oder Operationen zu verbinden, stellen ein wichtiges Aufgabenkriterium dar
        Verfügbares mathematisches Wissen und die damit verbunden mentalen Reprsentationen sind also nur notwendige, aber keine hinreichende Bedingungen für das Verstehen und Lösen von Modellierungsproblemen
        
        Beispiele:
        -Zahlen können als Menge aufgefasst werden
        
        Addition als Zusammenfügen zweier Mengen
        
        Zahlen zur Beschreibung eines Mengenvergleichs
      - Subtraktion: Verändern, Vergleichen, Ausgleichen, Vereinigen
        
        Multiplikation: Kombinatorischer Aspekt, Zeitlich- Sukzessiver Aspekt, Räumlich- Simultaner Aspekt, Vergleichsaspekt
        
        Addition: Verändern, Ausgleichen, Vereinigen, Vergleichen
        
        Division: Multiplikativer Vergleich, Aufteilen, Verteilen, Wiederholte Subtraktion
    - - Reale Situation
      - Vereinfachung
      - -> Reales Modell
      - Mathematisierung
      - -> Mathematisches Modell
      - Mathematisches Arbeiten
      - -> Mathematische Resultate
      - Interpretation/ Validierung
      - -> Reale Situation
      - Modelierungskreislauf
  - - - eingekleidete Aufgaben:
        
        Sachkontext spielt die geringste Rolle ist häufig austauschbar - es geht um die Festigung bzw. Anwendung von Rechenoperationen und Begriffe
      - Textaufgaben
        
        Aufgaben in Textform
        
        Schwierigkeit: Textinformation in ein mathematisches Modell übersetzten
      - Sachaufgaben
        
        stellen die eigentlichen Aufgaben dar, die dem Sachrechenunterricht gerecht werden --> Realität soll in Komplexität abgebildet werden
        Die Mathematik dient beim Lösen als Werkzeug, um ein tieferes Verständnis für die Sache zu erwerben
    - - nach beschriebener Situation
        
        mit realem Situationskontext
        
        mit fiktiven Situationskontext (z.B. Mrchen, Denk und Knobelaufgaben, Kapitänsaufgaben, Sachaufgaben in Kinderbüchern)
      - nach mathematischem Inhalt
        
        mit arithmetischem Inhalt
        
        mit geometrischem Inhalt
        
        zu funktionalen Zusammenhängen
        
        Zum Umgang mit Größen
        
        Mit Stochastischem Inhalt
        
        Klassifikation nach dem mathematischen Gehalt
        
        Arithmetischer Inhalt
        
        Arithmetische Struktur
        
        Simplex (einfache Rechenoperation)
        
        Anke hat 23 € gespart. Sie kauft ihrem Vater eine Flasche Weinbrand als Geburstagsgeschenk. Jetzt hat sie noch 12€
        Simplexstruktur: 23-x=12
        
        Komplexaufgabe (mindestens zwei Rechenoperationen, die abhängig sind)
        
        Ein Verkäufer wird erwischt, als er Kindern Alkohol verkauf. Die Strafe beträgt 20 Tagessätze zu 50 € sowie die Gerichtskosten in Höhe von 740 €.
        Komplex: 20+50 +740 =x
        
        Mehrfachsimplex (mehrere unabhängige Rechenoperationen)
        
        Ankes Brüder suchen auch ein Geschenk. S. hat 25€ u. kauft eine Zigarette; St. bezahlt mit einem 10€ Schein eine Flasche Wein und erhält 3,50€ zurück.
        Mehrfachsimplex: 25-7=x und 10-y=3,50
        
        Semantische Struktur
        
        Tabelle Seite 6
        
        3 more items...
        
        Beziehung zwischen den in der Aufgabe behandelten Größen
        Zum Beispiel:
        Vereinigen
        Verändern
        Vergleich
        Ausgleich
        
        Geometrischer Inhalt
        
        beinhalten nicht selten arithmetische Inhalte (vor allem, wenn in Plänen o.ä. Streckenlängen angegeben sind, sodass Rechnungen durchzuführen sind
        
        Aufgaben zur Raumvorstellung sind meist nur geometriebezogen
        
        z.B. Plan/Grundriss vom Schullandheim; Orientierung im Raum
        
        Funktionale Zusammenhänge
        
        Einfache proportionale Zuordnung (Anzahl - Preis, Gewicht - Preis)
        
        Funktionale Beziehungen in Sachsituationen erkennen
        
        Tabellarische Darstellung
        
        Einfache Aufgaben zu funktionalen Zusammenhängen lösen
        
        Umgang mit Größen
        
        Leitidee: Größen u. Messen
        Sachaufgaben sollen die Kinder unterstützen, eine Vorstellung von Größenbereichen und den vorkommenden Maßeinheiten aufzubauen
        Ziel ist hier vor allem das Schätzen, Vergleichen, Ordnen, Messen und/oder Umwandeln von Daten, die in den Aufgaben gegeben sind
        
        Stochastischer Inhalt
        
        Aufgaben zur Kombinatorik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie
      - nach der Präsentationsform von Aufgaben
        
        reale Phänomene Projekte
        
        authentische Materialien & Imitationen: Ökologisch valide; Rollenspiele; Werbung; Fahrpläne
        
        Bildaufgaben; Klasse 1,2 mit wenig Text
        
        Bild-Text-Aufgaben; Kombination aus Bild und Text
        
        Textaufgaben; mit und ohne Fragen -> Problem muss erkannt werden
        
        Sachtexte
        
        Projekte
        
        Textaufgaben ohne Frage
        
        Nachteile:
        -als Testaufgaben nur bedingt geeignet
        
        wird von Kindern individuell bearbeitet
        
        Vorteile
        
        Bei Aufgaben ohne Frage müssen Kinder sich näher mit der Sachsituation beschäftigen, bevor sie rechnen können. Das einfache Losrechnen wird verhindert.
        
        ∙Es findet eine vertiefte, aktive Auseinandersetzung mit der Aufgabe statt∙Herausfiltern der relvanten Informationen notwendig∙kritisches Hinterfragen der Aufgabe wird gefördert∙Kreativität wird gefördert
        
        Individualisierung und Differenzierungsmöglichkeiten durch das Finden eigener Fragen und Antworten
        
        Verschiedene Interpretationsmöglichkeitenundviele Lösungsmöglichkeiten sowie Entscheidungsfreiräume(Stichwort: soziomathematischen Normen!)
        
        Zusammenfassung: Präsenzform hat Einfuss auf die Bearbeitung der Sachaufgaben z.B. bei
        
        der Zeit der Aufgabenbearbetung
        
        der Handlungsebene zum Lösen
        
        der Motivation und dem Interesse
        
        der Offenheit
    - - Kapitänsaufgaben
        
        Übung 2. Aufgabe 3.
        
        "Sachaufgaben", die nicht sinnvoll gelöst werden können, aber oberflächlich eine mat. Lösung suggerieren
        
        zwischen 50% und 70% der Dritt- und Viertklässler beantworten derartige Aufgaben auf die provozierte Weise
        
        Lösen von "Kapitänsaufgaben" rief bei Lehrkräften u. Didaktikern Erstaunen hervor.
        
        Kinder ziehen oft Informationen hinzu, die nicht gegeben sind
        
        Kapitänsaufgaben sollten insbesondere theamtisiert sowie ein kritischer Umgang damit erlernt werden, um problematischen sozio- mathematischen Normen vorzubeugen.
    - - Welche Ziele verfolgen Sie mit der Aufgabe?
        
        Welche Aufgabenmerkmale sind dadurch festgelegt? Welche sind variabel?
        
        Nutzen Sie die Klassifikationen, um Aufgaben zu variieren und Aufgaben zu charakterisieren! -> viele verschiedene Aufgabentypen benutzen
        
        Welche Aufgaben haben Sie bisher eingesetzt? Haben Sie Aufgabenmerkmale variiert?
      - Welchen Sinn hat der Antwortsatz bei ihren Aufgaben? -> Ritual oder Sinn?
        
        Haben die Aufgaben mehrere Lösungen?
        
        Kann man die Lösungen diskutieren?
        
        Denken sie bei pseudorealistischen Aufgaben daran, die Realitätsferne zu diskutieren - bei unrealistischen Aufgaben muss klar sein, dass kein Realitätsanspruch vorhanden ist
        
        Provozieren sie die Kinder ggf. um falsche Vorstellungen aufzubrechen
  - - - reflektiv, symerisch und transitiv
      - liefert Aqüivalenzklassen
        
        300 cent = 3 euro
      - =
    - - ≤
    - - ≥
    - - Je größer die Maßzahl einer Größe, desto kleine die Maßeinheit: 1m = 10dm = 100cm = 1000mm
    - - Die Kinder sollen:
        
        das Äquivalenzklassen-prinzip und die Ordnung erfassen
        
        das Konzept der Größen verstehen (u.a. Invarianz)
        
        Größenvorstellungen aufbauen (Maßeinheiten)
      - Didaktische Sufenfolge zur EInführung von Größen:
        
        Erfahrungen in Sach und Spielsituationen schaffen
        
        Direkter Vergleich von Repräsentaten
        
        a.) Indirekter Verglecih mit Vergleichsobjekt
        b.) Indirekter Vergleich (Messen) mit selbstgewählten Maßeiheiten
        
        Indirektes Vergleichen (Messen) mit standartisierten Maßeinheiten
        
        Verfeinern und/ oder Vergröbern der Maßeinheiten
        
        Schaffung von Größenvorstellungen (u.a. Maßeinheit)
        
        Rechnen mit Größen
      - Didaktische Stufenreihenfolge zur EInführung von Größen: Auf welche Stufen kann verzichtet werden? 2. Direkter Vergleich von Repräsentanten, 3a.) Indirekter Vergleich (Messen) mit selbstgewählten Maßeinheiten
        
        Da Kinder schon Erfahrungen mit Geld und vor allem mit den Maßeinheiten Euro und Cent haben und da Geldwerte als Größenbreich spezifische Probleme aufweist (ökonomische Größe, keine physikalische), werden von der didaktischen Stufenfolge nur die Stufen 1 und 4 bis 7 behandelt. Auf das direkte und indirekte Vergleichen mit willkürlichen Maßeinheiten wird daher in der Regel verzichtet.
  - - - Ziel: Wie viel bekommt jedes Kind?
        
        ... gerecht teilen
    - - Problemlösen
        
        Problemlösen nach Polya
        
        Verstehen der Aufgabe
        
        Ausdenken eines Plans
        
        Ausführen eines Plans
        
        Rückschau auf den Lösungsweg
      - 4 Dimensionen nach Siegler
        
        Repertoire: Kenntnis von Strategietypen
        Distribution (Wissen um Nurtzungshäufigkeit)
        Efficiency (Sicher & Schnell ausführen können)
        Selection (Fähigkeit zur flexiblen Strategiewahl)
- - - - Propädeutik: Vorberietung auf die Mathemathik in Sek 1 und 2
    - - Der Aufbau geometrischer Kompetenzen dient nicht allein der Propädeutik im Hinblick auf den Geometrieunterricht der Sekundarstufe
        
        wesentliche Aspekte:
        
        Entwickling räumlicher Kompetenzen
        
        Kompetenz zur Umwelterschleißung
        
        Entwicklung von Freude & Interesse an Mathematik
      - Ziele des Geometrieunterrichts:
        
        das Sammeln von geometrischen Erfahrungen zum Erschließen des Anschauungsraumes
        
        die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens
        
        den Erwerb von Wissen über geometrische Begriffe
        
        die Ausbildung von Problemlösefähigkeiren
        
        die Betrachtung und Erklärung von Inhalten anderer Fachgebiete aus geometrischer Perspektive (v.a. Arithmetik, Kunst, Sachunterricht, Sport)
      - Entwicklungsstufen des geometrischen Denkens (nach van Hiele)
        
        Niveau 0
        Anschauungsgebundenes Denken
        Niveau 1
        Analysieren geometrischer Figuren/ Körperformen und Beziehungen
        Niveau 2
        einfaches Ableiten und Schließen
        Niveau 3
        Geometrisches Schließen/ Deduktion
        Niveau 4
        strenge, abstrakte Geometrie
        
        Bsp.: Niveau 0 - Mahmut kann ein Rechteck bennen, weil er schon mal ein Rechteck gesehen hat. Er kann aber nicht begründen, warum es sich um ein Rechteck handelt.
        
        Bsp.: Niveau 1 - Erwin kennt verschiedene Körper, z.B. Quader & Würfel, die haben immer 8 Eckene. Ob jeder Quader ein Würfel ist oder andersherum, kann er nicht sagen.
        
        Bsp. Niveau 2 - Chantal sagt: "Jedes Quadrat ist ein Rechteck!" und "Clara weiß, dass man bei einem gleichschenkligen Dreieck die gleich großen Winkel durch Falten aufeinander lerken kann
        
        Bsp.: Niveau 3 - Gymnasium teilweise Gemeinschatftsschule
        
        Bsp: Niveau 4 - Universitätsniveau
  - - - Konsequenzen für den Unterricht
        Grundsätzlich ist festzuhalten:
        
        Räumliches Vorstellungsvermögen ist eine Intelligenzkomponente
        
        starke Entwicklung des RV im Grundschulalter
        
        Zusammenhang zur allg. Mathemaikleistung
        
        Geschlechterunterschiede beginnen ggf. schon in der Grundschule
        
        Förderung des RV scheint möglich, auf jeden Fall ist die Entwicklung zu stützen
        
        Beispiele
        Computerspiele
        (Würfel bauen)
        Kopfgeometrie, Räumliche Orientierung
        (Ein Objekt aus versch. Blickwinkel)
        Kopfgeometrie, Räumliche Veranschaulichung
        (wie sieht ein Blatt aus wenn ich die Ecke abschneide)
        Räumliche Veranschaulichung (Legespiele: Tangram)
      - In der Forschung wird heute oft von fünf Komponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens ausgegangen
        
        Räumliche Wahrnehmung
        
        Räumliche Beziehung (z.B. welche Würfel sind gleich- zwei oder mehr Objekte; Wo steht der Quader?)
        
        Räumliche Veranschaulichung (z.B. Geobrett)
        
        Räumliche Orierntierung (z.B. Wie sieht eine Szene aus verschiedenen Perspektiven aus)
        
        Mentale Rotation( z.B. ein Objekt wird mental rotiert)
        
        Räumliche Orientierung - Beispiel:
        Kopfgeometrie
        
        Phasen Kopfgeometrie:
        
        Aufgabenstellung
        
        Mentales Operieren (gedankliches Lösen)
        
        Ergebnisdarstellung
        (4. Kontrollphase)
        
        Beispiel:
        In einer zweiten Klasse wird Anke als Roboter in die Ecke gestellt. Die anderen Kinder müssen der Reihe nach Befehle geben, sodass Anke zur Tür des Klassenzimmers gelangt. Anke darf sich dabei nur drehen und eine angegebene Schrittzahl geradeaus gehen.
      - Wie mit dem RV im Unterricht umgehen?
        
        alle Komponenten des RV sollten beachtet werden
        
        Sensibilität gegenüber Geschlechterunterschieden
        
        bei Aufgaben in Geometrie-Problemen/Tests die Abhängigkeit des RV zur Intelligenz beachten
        
        strategischen Input: unterschiedliche Lösungsstrategien vorstellen und diskutieren
        
        Variation bei Übungen: Material und Computer
        
        Kopfgeometrie als regelmäßige Übungen
      - Forschung zum räumlichen Vorstellungsvermögen: Höhere Leistungen bei Jungen
  - - - Verbindliche Themen und Inhalte:
        
        Stadtpläne, Lageskizzen
        
        Bauen und Falten nach Vorgaben
        
        Kopfgeometrische Aufgabenstellung
        
        Draufsichten und Ansichten von räumlichen Objekten
  - - - Voraussetzungen
        
        gute Zeichenfähigkeit
        
        gesicherte Rechenfähigkeit im Multiplizieren/ Dividieren
        
        Grundkenntnisse in der verhältnisrechung
        
        Größenvorstellungen von Längen
        
        Beherrschung der Umwandlungsregeln bei Längeneinheiten
      - Im Unterricht
        
        Zuerst einfache Beispiele: Vergrößern/Verkleinern von Dreiecken/ Buchstaben etc.; Maßstab 1:2/1:3
        
        Beispiele danach:
        Modellautos
        Wohnungsgrundriss (Kombination aus Realbildern schaffen)
        Karten
        
        Ersellen von Plänen auf Karopapier üben
        
        Verhältnisse schaffen (Ameise- Baby,...)
        
        Plänen nach anderen Aspekten (U-Bahn Plan; Muster zeichnen ohne Absetzen)
  - - - Was ist ein Begriff?
        
        Kategorie / Klasse zur Einordung von Objeken / Gegenständen
        
        Objektbegriffe, Eigenschaftsbegriffe, Relationsbegriffe
        
        --> Den Begriffsbildungsprozes muss jedes Kind selbst vollziehen- Hilfreich sind Handlungserfahrungen und die Interaktion mit anderen Kindern, der Lehrkraft
        
        Objektbegriffe: umfassen die ebenen und räumlichen Objekte, die durch konkrete Gegenstände oder Modelle repräsentiert werden. Jeder Objektbegriff steht für eine Klasse von Elementen, die gemeinsame Eigenschaften besitzen
        Beispiel: Würfel, Kugel - Quadrat, Dreieck, Kreis
        
        Eigenschaftsbegriffe: ... werden zum Definieren von weiteren Begriffen –meist Unterbegriffen -benutzt, indem ein Oberbegriff durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt wird. Damit können als Eigenschaftsbegriffe auch Bezeichnungen für Objekte auftreten.
        Beispiel: Ecke, Kante, Seitenfläche - krumm, gerade, rund, viereckig
        
        Relationsbegriffe: .. beschreiben Beziehungen zwischen geometrischen Objekten. Dabei handelt es sich entweder um Relationen in einer bestimmten Figurenmenge oder um Relationen zwischen zwei Figurenmengen.
        Beispiele: steht neben, liegt hiner, schneiden sich, ist parallel zu, ist senkrech zu, ist deckungsgleich zu
      - Aspekte zum Üben/ Umsetzung:
        
        anfängliche Komplexitätsreduktion
        
        Hervorheben relevanter Merkmale (visuell, verbal)
        
        Einbeziehen von Beispielen und Gegenbeispielen
        
        vielfältige Lerngelegenheiten
        
        Anregung zum Verbalisieren
        
        Schnelle Rückmeldung über Erfolg & Misserfolg, konstruktive Fehlerkultur
  - - - Erkennen und Nutzen von Symmetrieeigenschaften
        
        Bsp. WIe viele Ziegen sehen sie?
        
        Erkennen von Analogien
        
        Bsp. Verdoppeln und Halbieren
        
        Aufbau von Begriffswissen