Distrbusi Probabilitas Diskrit

Distribusi Benoulli

Percobaan Bernoulli

syarat

  1. outcame yang mungkin hanya salah satu dari sukses atau gagal
  1. Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1-p

Distribusi Bernoulli

dengan syarat kedua percobaan bernoulli, jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:
Pb (x;p) = p^x (1-p)^1-x
dengan
x= 0,1
0 </= p </= 1

Statistik Deskriptif Distribusi Bernoulli

Mean = E(X) = p

Varians = p(1-p) = pq

skewness = q/p + p/q - 2

kurtosis = [(1-6pq)/pq] + 3

Distribusi Binomial

Eksperimen binomal

memiliki hubungan yang erat dengan pengendalian kualitas (quality control)

Kondisi yang harus dipenuhi

Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya

Setiap pengulangan eksperimen (trial), hanya dapat menghasilkan satu dai dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas q = 1-p,selalu konstan tiap percobaan

Setiap percobaan saling bebas secara statistik, yang berarti outcame suatu percobaan tidak berpengaruh pada outcame perobaan lainnya

distribusi probabilitas Binomial

dengan kondisi 3, Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x sukses yang terjadi pada percobaan tersebut, dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas binomial dengan fungsi:
Pb(x;n,p) = ncx p^x q^n-x
dengan
x = 1,2,3,...,n
n = 1,2,3,...
0</= p </= 1

Statistik Deskriptif Distribusi Binomial

mean = E(X) = np

Varians = npq

skewness = q/np + p/nq - 2/n

kurtosis = [(1 - 6pq)/npq] + 3

Distribusi Binomial Negatif

Eksperimen binomal Negatif

Kondisi yang harus dipenuhi

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saing bebas

Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan sutu dari dua outcame yang mungkin, sukses atau gagal

Probabilitas sukses p dan, demikian pula, gagal q= 1-p selalu konstan dalam setiap percobaan

Eksperimen terus berlanjut sampai sejumlah total r sukses diperoleh, di mana r berupa bilangan bulat tertentu

distribusi probabilitas Binomial Negatif

dengan kondisi 3, Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x yang gagal sebelum r sukses tercapai pada percobaan tersebut, dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas binomial negatif dengan fungsi:
Pb(x;n,p) = (x+r-1)c(r-1) p^r q^x
dengan
x = 0,1,2,...
r > 0, r adalah bilangan riil
0</= p </= 1

Statistik Deskriptif Distribusi Binomial Negatif

Mean = E(X) = r(1-p)/p

Varians = r(1-p)/p^2

skewness = (2-p)^2/r(1-p)

Kurtosis = [3r(1-p) + p^2 + 6(1-p)]/r(1-p)

Distribusi Geometrik

Eksperimen Geometrik

Jika eksperimen binomial negatif terus dilakukan hingga diperoleh sukses pertama (hanya satu sukses, r = 1), maka eksperimen disebut eksperimen geometrik

Distribusi Probabilitas Geometrik

Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah sukses tercapai, maka dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas geometrik, dengan menetapka harga r = 1 pada distribusi binomial negatif, sehingga fungsinya menjadi
Pg(x;p) = p(1-p)^x = pq^x
dengan
x= 0,1,2,...
0</= p </= 1

Statistik Deskriptif Distribusi Geometrik

Mean = E(X) = 1-p/p

Varians = (1-p)/p^2

Skewness = (2-p)^2/(1-p)

Kurtosis = [ p^2/(1-p)] + 9

Distribusi Hipergeometrik

Eksperimen Hipergeometrik

Kondisi yang harus dipenuhi

Populasi berukuran N (anggotanya terdiri dari N objek)

Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal dan terdapat M buah sukses, jadi p = M/N

Suatu sampel berukuran n (anggotanya terdiri dari n objek) dipilih dari s populasi tanpa pergantian di mana setiap himpunan bagian bernggota n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilihnya menjadi sampel

Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Jika variabel acak X menyatakan jumlah x sukses dalam suatu sampel berukuran n yang dipilih secara acak dari populasi berukuran N yang memiliki M sukses dan N-M gagal, maka dapat dibentuk suatu fungsi:
Pn(x;n,M,N) = [(MCx)(N-M)C(n-x)]/NCn
dengan
x = 0,1,2,3,...,n

Statistik Deskriptif Distribusi Hipergeometrik

Mean = E(X) = nM/N

Varians = (nM/N) - (1- M/N) - [(N-n)/(N-1)]

Skewness = [(N-2M)^2 (N-2n)^2 (N-1)] /[nM (N-M) (N-n) (N-2)^2

Kurtosis = a4

Distribusi Poisson

Eksperimen Poisson

Kondisi yang harus terpenuhi

Suatu eksperimen meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam setiap satuan unit yang ditentukan. Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit ruang atau waktu

Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap unit

Banyaknya probabilitas yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit lainnya

Probabilitas Poisson

fungsinya adalah Pp(x;lamda) = lamda^x e^-lamda/ x!
dengan
x = 0,1,2,...
lamda = laju kejadian
e = konstanta dasar logaritma natural

Statistik Deskriptif

Mean = E(X) = lamda

Varians = lamda

Skewness = 1/lamda

Kurtosis = (1/lamda) + 3