Fundamentos Matemáticos de Algebra Vectorial - Mecánica del medio continuo
Métodos para el cálculo de valores y vectores propios
Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que:
En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares l y los vectores x¹0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple
Ax = lx
Es el factor de escala por el que ha sido multiplicado
Para que λ sea valor propio de la matriz cuadrada A, el sistema homogéneo (∗) ha de tener soluciones no triviales, luego el determinante de la matriz cuadrada A− λ · I ha de ser cero.
Gradiente, Divergencia y Rotacional
Es un vector que indica en qué dirección aumentan, en mayor grado, los valores del campo.
Divergencia
Es un vector que indica en qué dirección las líneas de campo se encuentran más separadas entre sí
Rotacional
Es un vector que indica que tanto están curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto
Muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.
La dirección normal a Δ S y orientada según la regla de la mano derecha.
Teorema de Green
En particular, para un campo vectorial F : Ω → R 2 , diferenciable en un dominio Ω ⊆ R 2 puede ocurrir que el rotacional escalar rotF sea idénticamente nulo en Ω sin que F sea conservativo en Ω.
∮_C F ⃗(dr) ⃗=∬_S (∂N/∂x-∂M/∂y)dA
• TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO.
Una curva es suave por partes si es unión finita de curvas suaves. Una curva está orientada positivamente si se recorre dejando el recinto a su izquierda.
Tenemos en este caso el campo vectorial F ⃗ y las dos funciones que crean la curva cerrada C, mientras que la superficie limitada por la curva es S. Para utilizar la formula primero identificaremos a M y N respectivamente:
M(x,y)=xy y N(x,y)=y^2 por lo cual F ⃗=(M,N)