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ECUACIONES E INECUACIONES, Sumar 6x a ambos lados de la ecuación, nos da…
ECUACIONES E INECUACIONES
ECUACIONES
Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros y están separadas por el signo de igualdad “ = ”.
Ejemplo 2. Terminología para las ecuaciones
c.) La ecuación, w = 7-z , es una ecuación con dos incógnitas. Una solución es la pareja de valores w = 2 y z = 5.
Pero existe una infinidad de soluciones.
b.) El número -2 es una raíz de la ecuación, 〖 x〗^2+3x+2 = 0 , porque al sustituir -2 por x hace que la ecuación sea verdadera.
a.) En la ecuación, x+2 = 3 , la variable x es la incógnita. El único valor de x que satisface la ecuación es 1.
Entonces 1 es una raíz de la ecuación; y, el conjunto solución de la ecuación es: { 1 }.
Ecuaciones equivalentes
Para resolver una ecuación, se deben realizar operaciones con dicha ecuación. Luego aplicar cualquiera de tales operaciones se debe obtener otra ecuación con exactamente las mismas soluciones que la ecuación dada. Cuando esto ocurre se dice que las ecuaciones son equivalentes.
Ejemplo:
Sea la ecuación: -5x = 5 – 6x,
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede ser escrita en la forma:
Una ecuación lineal también se denomina ecuación de primer grado o ecuación de grado uno,
ya que la potencia más alta de la variable que aparece en la ecuación es la primera.
Donde, a y b son constantes, y a ≠0
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede ser escrita en la forma:
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Una ecuación cuadrática en la variable x es una ecuación que puede ser escrita en la forma:
Donde, a, b y c son constantes, y a ≠0
Una ecuación cuadrática también se denomina ecuación de segundo grado o ecuación de grado dos,
ya que la potencia de mayor valor que aparece en dicha ecuación es la segunda.
Fórmula Cuadrática
Fórmula Cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática, a x^2 + b x + c = 0 , en donde a , b y c son constantes y a ≠0 , están dadas por,
x = (-b ± √( b^2 - 4 a c ))/(2 a)
INECUACIONES LINEALES
LOS REALES COMO UN CONJUNTO ORDENADO: Todos estos conjuntos son infinitos y puesto que sus elementos representan cantidades,
respecto de cierto número, un elemento puede representar más y otro menos, es decir,
hay una relación de orden entre estos elementos.
LOS REALES COMO UN CONJUNTO CONTINUO: Justamente la unión de los racionales con los irracionales hace que el conjunto de los números reales sea continuo .
Axiomáticamente la continuidad de los números reales se basa en la veracidad de la siguiente proposición:
Propiedades que se deducen de los axiomas de orden. Sea a,b,c números reales
propiedas:
Si a<b ∧b<c ⟹a<c
Si a<b ⟹a+c<b+c
Si a<b ∧c>0 ⟹a∙c<b∙c
Si a<b ∧c<0 ⟹a∙c>b∙c
Si a<0∧b<0 ⟹a∙b>0
Si a<0∧b>0 ⟹a∙b<0
Si a≠0 ⟹a^2>0
Si a>0 →1/a>0
Si 0<a<b →0<b^(-1)<a^(-1)
Si 0≤a≤b →0≤a^2≤b^2
Intervalos:
Un intervalo es un subconjunto continuo de los números reales. A continuación revisemos los tipos de intervalos y su notación:
Intervalo abierto ├]a,b┤[=(a,b)={(x∈R)⁄(a<x<b)}
Intervalo al infinito: [a,+∞┤[=[a,+∞)={x∈R/x≥a }
Intervalo al menos infinito: ]-∞;b[=(-∞;b)={x∈R/ x<b }
Intervalo semi-abierto o semi-cerrado: [a,b[=[a,b)={t∈R/ a≤t<b }
Sumar 6x a ambos lados de la ecuación, nos da la ecuación equivalente,
-5x + 6x = 5 - 6x + 6x
x = 5
a x + b = 0
a x^2 + b x + c = 0
∀x,y∈R ∧ x<y,∃z∈R: x<z<y