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Fundamentos Matemáticos de Algebra Vectorial - Mecánica del medio…
Fundamentos Matemáticos de Algebra Vectorial - Mecánica del medio continuo
conceptos de aplicaciones
Operaciones con tensores
Un tensor se define como una transformación lineal entre espacios vectoriales, de tal forma que si T es un tensor que transforma al vector a en c y al vector b en d.
se divide en:
sustracción
adición
Conmutatividad
Asociatividad con respecto a la adición
producto
Teorema de Green y Stokes
Teorema de Stokes
postula que si F --> es un campo vectorial continuo y diferenciable en R^3, la integral de circulación de F --> a lo largo de la curva cerrada C es igual al flujo del rotacional del campo vectorial sobre una superficie orientada cualquiera S, cuya frontera es la curva C.
nos permite cambiar integrales de línea por integrales de superficie utilizando el rotacional del campo vectorial
Teorema de Green
postula que si F --> es un campo vectorial continuo y diferenciable en R^2, la integral de circulación de F --> en sentido contrario al de las agujas de un reloj a lo largo de la curva simple cerrada C en el plano, es igual a la integral de superficie de la componente k del rotacional del campo vectorial sobre la región S encerrada por la curva C.
Este teorema se aplica solo con curvas cerradas
Notación indicial
La notación indicial consiste en que todo índice repetido en un monomio de una expresión algebraica supone la sumatoria con respecto a ese índice.
Ejemplo
En M. M. Continuos los objetos matemáticos más empleados son los
escalares, vectores y tensores.
se aplica:
En especial a los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física
, el uso de la notación índice permite una presentación simple y funcional de los conceptos
Métodos para el cálculo de valores y vectores propios
Se denominan valores propios o raíces características de una matriz cuadrada A, a los valores de λ tales que:
Valores propios
es el factor de escala por el que ha sido multiplicado
Métodos para el cálculo
EL POLINOMIO CARACTERÍSTICO
Dada una matriz cuadrada A de dimensión n
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Vectores propios
son vectores que son, o no, afectados por la transformación y solo resultan multiplicados por un escalar; y, por tanto, no varían su dirección
Gradiente, Divergencia y Rotacional
Gradiente
es un vector que indica en qué dirección aumentan, en mayor grado, los valores del campo.
Rotacional
es un vector que indica que tanto están curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto
Muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto.
La dirección normal a Δ S y orientada según la regla de la mano derecha.
Divergencia
. Es un vector que indica en qué dirección las líneas de campo se encuentran más separadas entre sí
El módulo de la divergencia indica cuánto disminuye dicha densidad.
