METEMÁTICAS
DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS
OPERACIONES CON MONOMIOS
POLINOMIOS
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
es el nombre que le damos a la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles.
La esencia de la matemática está en la relación entre cantidades y cualidades.
La matemática no sólo trata de la cantidad, sino también de las cualidades y de las relaciones entre ambas. Como afirma María Moliner, la matemática es la “ciencia que trata de las relaciones entre las cantidades y magnitudes y de las operaciones que permiten hallar alguna que se busca, conociendo otras”.
El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras. Se dice que las matemáticas abarcan tres ámbitos
Aritmética
Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones Cónicas
Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría y el cálculo
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EL ÁLGEBRA
POLINOMIOS COMPLETOS, ORDENADOS, HOMOGÉNEOS
es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas
El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que siempre se cumplen (a + b = c).
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos (en vez de números específicos) y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos.
La aritmética sólo da casos particulares de relaciones (2 + 2 = 4).
El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas
Por ejemplo, la expresión 8a3 b2 c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3 b2 c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal
Profundizando un poco más en lo mencionado líneas arriba, existen básicamente dos tipos de expresiones algebraicas, y son
Expresiones algebraicas son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal.
Monomios
Polinomios
Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando
Es una sola expresión algebraica
Polinomios Completos
es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto al más bajo
Polinomios Ordenados
Polinomios Homogéneos
6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5 como vemos los exponentes entre el 5 y el 0 los números están consecutivos afirmamos que es un polinomio completo
En el ejemplo anterior hemos visto los exponentes del polinomio están todos los números consecutivos entre el 0 y el 5, pero están en completo desorden
Recordemos que un polinomio esta formado por dos o más términos que se están sumando o restando.
5a2 +3a3 -a5 +a8 vemos que los exponentes van subiendo cuando vemos esto se trata de un polinomio ordenado
3a2 b + 5ab2 -3abc
SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS
TÉRMINOS SEMEJANTES
Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con monomios, conviene ver este concepto, el de los términos semejantes
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x2 y3 b) 2x2 y3
Cuando la parte literal en dos monomios sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes
Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x 2, así mismo, en ambos monomios hay y3
Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes
5x4 y3 -x4 y3
3m2 n + 6m2 n
el monomio respuesta será 9m2 n
pero solamente sumaremos la parte numérica, es decir 3 + 6, lo que nos da 9 3m2 n + 6m2 n = 9m2 n
el monomio respuesta será 4x4 y3
ahora restaremos solamente la parte numérica, es decir 5 – 1, lo que dos 4 5x4 y3 - 1x4 y3 = 4x4 y3
División de Monomio
Multiplicación de Monomios
Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos multiplicar entre ellos a cualquier monomio.
a) 5x2 y 5 b) 2x3 y2 z
(5x2 y5) (2x3 y2 z) ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5 + 2 = 7
(5x2 y3) (2x3 y2 z) la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como está
(5x2 y5) (2x3 y2 z) primero para la letra x, sumamos los exponentes 2 + 3 = 5
La respuesta es 10x5 y7 z
Para dividir polinomios tampoco es necesario que sean términos semejantes
81a2 b3 c4 d5 entre el monomio 3b2 c2
para la letra b restamos 3 - 2 = 1
para la letra c restamos 4 - 2 = 2
81a2 b3 c4 d5 ÷ 3b2 c2
Primero dividiremos la parte numérica como tradicionalmente lo hacemos, es decir: 81÷3= 27
Entonces la respuesta será: 27a2 bc2 d5
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE MONOMIOS
Radicación de Monomios
Potenciación de Monomios
Primero trabajaremos la parte numérica como siempre lo hemos hecho, es decir, aplicando la definición de potencia. Luego trabajaremos con la parte literal, en la cual multiplicaremos el exponente de cada letra por el exponente de la potencia dada.
(3x2 y)4
Primero haremos la parte numérica: 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Se nos pide elevar el monomio 3x2 y a la 4ta potencia
Finalmente, la respuesta será: 81x8 y4
Al igual que en la potenciación, en el caso de la radicación debemos trabajar por separado la parte numérica y la parte literal. A la parte numérica le obtendremos la raíz correspondiente; y en la parte numérica dividiremos el exponente de cada letra entre el grado del radical.
En el ejemplo, √(〖16x〗^4 y^6 ), se nos pide obtener la raíz cuadrada del monomio 16x4 y6En el ejemplo,
Ahora dividimos los exponentes entre 2 (el índice del radical): x4÷2 y 6÷2 = x2 y3
Finalmente, la respuesta será: 4x2y3
Empezaremos por la parte numérica: √16 = 4
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
PRODUCTOS NOTABLES
SUMA DE POLINOMIOS
Productos Notables (El Cubo de un Binomio)
En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual
Sumemos el polinomio 5x2 y +3xy2 y el polinomio 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Operamos los términos con x2y: 5x2 y -2x2y = 3x2y
Operamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Ahora debemos ver si hay términos semejantes y los sumamos entre ellos
Los términos no semejantes se incluirán en la respuesta final tal como están
Entonces la suma será: 5x2 y +3xy2 +3x3 -2x2 y +xy2 - 4y3
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora vamos a restar: 5x2 y +3xy2 -(3x3 -2x2 y +xy2 -4y3)
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones que correspondan: 5x2y +2x2y +3xy2 -xy2 -3x3 +4y3
La respuesta es 7x2y +2xy2 -3x3 +4y3
Se elimina el paréntesis del segundo polinomio, cambiándole el signo a sus términos: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2 y -xy2 +4y3
En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos.
(5x2 y +3xy2) (3x3 -2x2y +xy2 -4y3)
Ahora se junta todos los resultados de ambas multiplicaciones 15x5y -10x4 y2 +5x3 y3 -20x2 y4 +9x4 y2 -6x3 y3 +3x2 y4 +12xy5
Buscamos términos semejantes y los sumamos o restamos: 15x5 y -1x4 y2 -1x3 y3 -17x2 y4 -12xy5
Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio: (3xy2)(3x3 )=9x4 y2; (3xy2 )(-2x2y) =-6x3 y3; (3xy2 )(xy2 )=3x2 y4; (3xy2 )(-4y3)=-12xy5
Ahora multiplicamos el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio (5x2y) (3x3) = 15x5 y; (5x2y) (-2x2y) = -10x4y2 ; (5x2y) (xy2) = 5x3y3 ; (5x2y) (-4y3) = -20x2 y4
Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Son tipos de multiplicaciones cuyos resultados seguirán ciertos patrones identificables
La Suma por la Diferencia de Dos Cantidades
Cuadrado de un Binomio
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término
(5x+7)2 = (5x)2 + 2(5x) (7) + (7)2
El doble producto de ambos términos es: 2(5x) (7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)2 = 49
El cuadrado del primer término es: (5x1)2 = 25x2
Finalmente, la respuesta será: (5x +7)2 = 25x2 + 70x + 49
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos
(4a +7y3) (4a -7y3) = (4a)2 - (7y3)2 = 16a2- 49y6
El cuadrado del segundo término es: (7y3)2= 49y6
Finalmente, la respuesta será: (4a +7y3) (4a -7y3) = 16a2- 49y6
El cuadrado del primer término es: (4a1)2= 16a2
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término
(2a + 4b)3 = (2a)3 +3(2a)2(4b) +3(2a) (4b)2 + (4b)3
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a) (4b1)2 = 3(2a) (16b2) = 96ab2
El cubo del segundo término es: (4b1)3 = 64b3
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a1)2(4b) = 3(4a2) (4b) = 48a2b
Finalmente, la respuesta será: (2a + 4b)3 = 8a3 + 48a2b + 96ab2 + 64b3
El cubo del primer término es: (2a1)3 = 8a3
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PRODUCTOS INDICADOS
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Una ecuación es una igualdad entre dos cantidades o expresiones
Resolver la ecuación 2x - 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=). Para ello trasponemos los términos al miembro (lado) que corresponda. Al trasponer un término, éste pasa con el signo cambiado. Por ejemplo: al trasponer el -3 al otro lado de la igualdad, éste quedará +3. Tendremos entonces 2x = 53 +3
Ahora sumamos y restamos los términos semejantes y los independientes, quedando la ecuación así: 2x = 56
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x. Entonces lo trasponemos (al número 2) al otro lado de la igualdad. Si el “2” estaba multiplicando, pasará dividiendo (la operación inversa). La ecuación quedaría así: X = 56 / 2
Realizamos la división y obtendremos lo siguiente: x = 28. Ésta es la respuesta y nos indica que el valor de x es 28. La respuesta también es una ecuación pues nos dice que la cantidad “x” es igual a la cantidad “28”.
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones
2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)
2x -[x -x +50] = x -800 +3x Primero quitamos los paréntesis.
2x -[50] = 4x -800 Reducimos términos semejantes.
2x -50 = 4x -800 Ahora quitamos los corchetes.
2x -4x = -800 +50 Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
-2x = -750 Nuevamente reducimos términos semejantes
x = -750 / -2 = 375 Despejamos x pasando a dividir a -2, luego simplificamos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos indicados y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).
5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10
5x -15 -x -1 = x +3 -10 Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
5x -x -x = 3 -10 +15 Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
3x = 9 Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
x = 9 / 3 = 3 Despejamos x pasando 3 a dividir, luego simplificamos.
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).