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MSuMD - Coggle Diagram

- - - - Lin. Koord.trafo
        \( \tilde y =y + y_s \)
        
        Betrachtung um statische Ruhelage
  - - - \( y_h(t) = e^{-D\omega_0 t} [A_1 \cos (\omega_d t) + A_2 \sin (\omega_d t) ] \)
        \(=e^{-D\omega_0 t} C \cos(\omega_d t + \phi) \)
      - Bestimmung von \(D,\omega_0\) über Abklingverhalten
        
        Abklingverhalten
        \( y_h(t) =e^{-D\omega_0 t} C \cos(\omega_d t + \phi) \)
        
        Extrema
        \(\dot y_h(t_e) = 0\)
        \( \Rightarrow (\omega_d t_e + \phi) = \arctan\frac{D}{\sqrt{1-D^2}}\)
        
        \( y_h(t_e) =e^{-D\omega_0 t_e} C \underbrace{\cos \arctan\frac{D}{\sqrt{1-D^2}}}_{=K\in]0,1[} \)
        
        \( y_h(t_0) =e^{-D\omega_0 t_0} C K \)
        ...
        \( y_h(t_n) =e^{-D\omega_0 (t_0+nT_d)} C K \)
        
        Dekrement
        \( \frac{y_h(t_{n-1})}{y_h(t_{n})} = e^{\frac{2\pi D}{\sqrt{1-D^2}}} \)
        
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        Messung von \(y_0, y_n, n, T_d\)
        
        \(\delta = \frac{1}{n} \ln \frac{y_0}{y_n}\)
        
        \(D = \frac{\delta}{\sqrt{4\pi^2 + \delta^2}}\)
        
        \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T_d\sqrt{1-D^2}}\)
    - - \( y_h(t) = e^{-\omega_0 t} [A_1 + A_2 t ] \)
    - - \( y_h(t) = A_1 e^{(-D\omega_0 + \omega_0 \sqrt{D^2 -1})t} + A_2 e^{(-D\omega_0 - \omega_0 \sqrt{D^2 -1})t} \)
    - - \( y_h(t) = A_1 \cos (\omega_0 t) + A_2 \sin (\omega_0 t) \)
        
        Für freihe Schwingungen mit
        \( y(0) =y_0 , \dot y(0) = \dot y_0 \)
        
        \( y_h(t) = y_0 \cos (\omega_0 t) + \frac{\dot y_0}{\omega_0} \sin (\omega_0 t) \)
        \( \dot y_h(t) = - y_0 \omega_0 \sin (\omega_0 t) + \dot y_0 \cos (\omega_0 t) \)
        
        Kreis im Phasenraum
  - - - Kraftanregung
        \(x(t) = F(t)\)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t)\)
        
        Komplexer Frequenzgang
        \( Y(\Omega) = \underbrace{\frac{1}{(i\Omega)^2 + 2D\omega_0 i \Omega + \omega_0^2}}_{F(i\Omega)} \frac{1}{m} F(\Omega) \)
        
        Für harmonische Anregung
        \( F(t) = F\cos(\Omega t)\)
        \(\Rightarrow y_p(t) = C \cos(\Omega t + \phi)\)
        
        \( C = |F(i\Omega)| \frac{F}{m} \)
        
        \(|F(i\Omega)| = \frac{1/\omega_0^2}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+4D^2\eta^2}} \)
        
        \( \phi = arg(F(i\Omega)) \)
        
        Für \(1-\eta^2=0\):
        \(\phi = \pi/2\)
        
        Für \(1-\eta^2<0\):
        \(\phi = - \pi - \arctan \frac{2D\eta}{1-\eta^2}\)
        
        Für \(1-\eta^2>0\):
        \(\phi = - \arctan \frac{2D\eta}{1-\eta^2}\)
        
        Dimensionslose und normierte Darstellung
        \( y_p(t) = \underbrace{ \kappa \alpha(\eta) F}_{=C} \cos(\Omega t - \rho(\eta) ) \)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa = \frac{1}{\omega_0^2 m} =\frac{1}{c}\)
        
        Amplitudenfrequenzgang
        \(\alpha(\eta) = \frac{1}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+4D^2\eta^2}}\)
        -> dimensionslos, normiert
        
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        Phasenfrequenzgang
        \(\rho(\eta) = - \phi(\eta)\)
        
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        \(\eta = \Omega/\omega_0\)
        
        Komplexe Übertragungsfunktion
        \( Y(\Omega) = \underbrace{\frac{1}{c} \frac{1}{(1-\eta^2) + i2D\eta }}_{H(i\Omega)} F(\Omega) \)
        
        Dynamische Nachgiebigkeit
        \( H(i\omega) \)
        Dynamische Steifigkeit
        \( H^{-1}(i\omega) \)
        
        Ausgang:
        \(\dot y_p(t)\)
        
        \(F[\dot y(t) ] = i\Omega F[ y(t) ] \)
        
        \(i\Omega = i \eta \omega_0\)
        
        \(F[\dot y(t) ] = \underbrace{i \eta \omega_0\cdot \frac{1}{c} \frac{1}{(1-\eta^2) + i2D\eta }}_{\dot H(i\Omega)} F(\Omega) \)
        
        Für harmonische Anregung
        
        \( y_p(t) = \underbrace{ \kappa \alpha(\eta) }_{= |\dot H (i\Omega)|} F \cos(\Omega t - \underbrace{\rho(\eta)}_{arg(\dot H (i\Omega))} ) \)
        
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        Ausgang:
        \(\ddot y_p(t)\)
        
        ...
        
        Amplitudenfrequenzgang
        \(\alpha(\eta) = \frac{\eta^2}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+4D^2\eta^2}}\)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =\frac{1}{m}\)
        
        Quellenisolation
        
        Ausgang: Fußpunktkraft
        \(P_F = cy + d\dot y\)
        
        \( F[y(t)] = H_1 F[F(t)] \)
        
        \( F[P_F(t)] = \underbrace{(c + i\Omega d)}_{=H_2} F[y(t)] \)
        
        \(H_2 = c(1+i2\eta D) \)
        
        \( F[P_F(t)] = \underbrace{ \frac{1+i2\eta D}{(1-\eta^2) + i2D\eta } }_{=H_2 H_1 = H} F[F(t)] \)
        
        Für harmonische Anregung
        
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      - Massenkraftanregung
        \(x(t) = \cos \Omega t\)
        
        DGL
        \( \ddot y + 2D\omega_0 \dot y + \omega_0^2 y =\frac{ m r}{M+m} \Omega^2 \cos \Omega t \)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t)\)
        
        Amplitudenfrequenzgang
        \(\alpha(\eta) = \frac{\eta^2}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+4D^2\eta^2}}\)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =\frac{mr}{M+m}\)
      - Empfängerisolation
        \( x(t) = z_0 \cos \Omega t \)
        
        DGL
        \( \ddot y + 2D\omega_0 \dot y + \omega_0^2 y =2D\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x \)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t)\)
        
        \(H(i\Omega)\)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =1\)
        
        Amplitudenfrequenzgang
        \(\alpha(\eta) = \sqrt{\frac{1+4D^2 \eta^2}{(1-\eta^2)^2+4D^2\eta^2}}\)
        
        Phasenfrequenzgang
        \(\rho(\eta) = \arctan \frac{2D \eta^3}{(1-\eta^2)+4D^2\eta^2}\)
      - Federkrafterregung
        \( x(t) = z_0 \cos \Omega t \)
        
        DGL
        \( \ddot y + 2D\omega_0 \dot y + \omega_0^2 y = \frac{c}{m} x \)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) z_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta)) \)
        
        Amplitudenfrequenzgang \(\alpha(\eta) \) wie bei Kraftanregung
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =1\)
      - Dämpferkraftanregung
        \( x(t) = z_0 \cos \Omega t \)
        
        DGL
        \( \ddot y + 2D\omega_0 \dot y + \omega_0^2 y = 2D\omega_0 \dot x \)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) z_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta)) \)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =1\)
        
        Amplitudenfrequenzgang \(\alpha(\eta) \) wie bei Kraftanregung und Geschwindigkeit als Ausgang
      - Rahmenerregung
        \( x(t) = z_0 \cos \Omega t \)
        
        DGL
        \( \ddot y + 2D\omega_0 \dot y + \omega_0^2 y = - \ddot x \)
        
        Ausgang:
        \(y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) z_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta)) \)
        
        Übertragungskoeffizienten
        \(\kappa =1\)
        
        Amplitudenfrequenzgang \(\alpha(\eta) \) wie bei Kraftanregung und Beschleunigung als Ausgang
    - - Amplitudenfrequenzgang in diesem Fall singulär.
        
        Alternativer Ansatz
        \( y_p(t) = Ct\sin(\omega_0 t) \)
        \( \dot y_p(t) = C\sin(\omega_0 t) + Ct\omega_0\cos(\omega_0 t) \)
        \( \ddot y_p(t) = C\omega_0\cos(\omega_0 t) + C\omega_0\cos(\omega_0 t) - Ct\omega_0^2\sin(\omega_0 t) \)
        \( = 2C\omega_0\cos(\omega_0 t) - Ct\omega_0^2\sin(\omega_0 t) \)
        in DGL einsetzen
        \( C = \frac{F}{2m\omega_0}\)
        
        Gesamtlösung
        \( y(t) = y_h (t) + y_p(t) \)
        \( = A_1 \cos (\omega_0 t) + A_2 \sin (\omega_0 t) + \frac{F}{2m\omega_0} t \sin (\omega_0 t)\)
        
        Amplitude wächst mit der Zeit an
  - - - Relativmessprinzip
        mit Festpunkt
        
        Wegmessung
        \( y(t) = z(t) \) - verzerrungsfrei
        
        Kraftmessung
        \( y(t) \neq F(t) \)
        
        Für \( F(t) = F_0 \cos \Omega t \):
        \( y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) F_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta) ) \)
        mit Amplitudenfrequenzgang der Kraftanregung
        
        Keine Verzerrungsfreiheit
        aber für \(\eta<<1: \alpha(\eta) \approx 1\)
        
        Maßnahme
        Hohe Abstimmung
        \(\eta\downarrow \to \omega_0 \uparrow \to c\uparrow,m\downarrow \)
        -> technisch leicht umsetzbar
      - Absolutmessprinzip
        ohne Festpunkt
        
        Wegmessung
        \(y(t) \neq z(t)\)
        
        Für \( z(t) = z_0 \cos \Omega t \):
        \( y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) z_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta) ) \)
        
        mit Amplitudenfrequenzgang der Massenkraftanregung
        
        Keine Verzerrungsfreiheit
        aber für \(\eta>>1: \alpha(\eta) \approx 1\)
        
        Maßnahme
        Tiefe Abstimmung
        \(\eta\uparrow \to \omega_0 \downarrow \to c\downarrow,m\uparrow \)
        -> technisch schwer umsetzbar
        
        Beschleunigungssensor
        \(y(t) \neq \ddot z(t)\)
        
        Für \( \ddot z(t) = a_0 \cos \Omega t \):
        \( y_p(t) = \kappa \alpha(\eta) a_0 \cos(\Omega t - \rho(\eta) ) \)
        mit Amplitudenfrequenzgang
        
        Keine Verzerrungsfreiheit
        aber für \(\eta<<1: \alpha(\eta) \approx 1\)
        
        Technische Ausführungen
        
        -> eher tiefe Abstimmung
        
        -> hohe Abstimmung
- - - - Exponentialansatz
        \( y_h(t) = C \exp(\lambda t) \)
        
        Charakteristisches Polynom
        \(a_n \lambda^n +...+ a_0 = 0 \)
        
        i.A. für n>=3 nur numerisch lösbar
        
        Eigenwerte
        
        Homogene Teillösung des i-ten EW mit aVFH=j
        \(y_{h,i}(t) = ( A_{i,1} +...+ A_{i,j} t^{j-1 } ) e^{\lambda t } \)
        
        Für komplexen EW
        \( y_{h,i}(t) = e^{Real(\lambda) t} [ ( B_{i,1} +...+ B_{i,j} t^{j-1} ) \cos (Imag(\lambda) t) + ( D_{i,1} +...+ D_{i,j} t^{j-1} ) \sin (Imag(\lambda) t) ] \)
        
        Eulersche Formel
        \(e^{i\phi} = \cos \phi + i \sin \phi \) :
        
        \(\cos\phi = 0.5 (e^{i\phi}+ e^{-i\phi})\)
        
        \(\sin\phi = -i 0.5 (e^{i\phi}- e^{-i\phi})\)
        
        Homogene Gesamtlösung
        \( y_h(t) = \sum_i y_{h,i}(t) \)
        
        Gesamtlösung
        \(y(t) = y_h(t) + y_p(t)\)
        
        1 more item...
        
        Gesamte aVFH=n
    - - Anregung
        \(x(t)\)
        
        Periodisch
        \(x(t) = x(t+T)\)
        
        Reelle Fourierreihe
        \(x(t) = a_0/2 + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos (k\Omega t ) +b_k \sin (k\Omega t ) \)
        mit
        \(\Omega = 2\pi / T\)
        \(a_k = 2/T \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) \cos(k\Omega t ) dt \)
        \(b_k = 2/T \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) \sin(k\Omega t ) dt\)
        
        Komplexe Fourierreihe
        \(x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ik\Omega t}\)
        mit
        \(\Omega = 2\pi / T\)
        \(c_k = 1/T \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) e^{-ik\Omega t} dt \)
        
        Falls Superpositionsprinzip, equivalent mit \(u_k, y_{p,k}\)
        
        T: Periodendauer
        
        Harmonisch
        \( x(t) = A \cos \Omega t + B \sin \Omega t\)
        \( = C \cos (\Omega t + \varphi)\)
        
        \(\Omega\): Erregerkreisfrequenz (vorgegeben)
        
        \( A = C \cos\varphi. B=C\sin\varphi \)
        
        Ansatz vom Typ der rechten Seite
        \(y_p(t) = Y\cos (\Omega t - \phi)\)
        
        Antwort phasenversetzt mit gleicher Frequenz
        
        \( \sin(\Omega t - \phi) = \sin\Omega t \cos \phi - \cos\Omega t \sin \phi\)
        \( \cos(\Omega t - \phi) = \cos\Omega t \cos \phi - \sin\Omega t \sin \phi\)
        
        Koeffizientenvergleich
        
        Auflösen
        nach Y und \(\phi\)
        
        Kreisfrequenzverhältnis
        einführen \( \eta = \Omega/\omega_0 \)
        
        1 more item...
        
        Mit komplexem Frequenzgang
        \( y_p(t) = F(i\Omega) X e^{i\Omega t} \)
        
        Komplexe Anregung
        \( x(t) =X e^{i\Omega t} \)
        
        Nach einsetzen
        \( F(i\Omega) = \frac{b_m (i\Omega)^m + ... + b_0}{a_n (i\Omega)^n + ... + a_0} \)
        
        \(F(i\Omega) = P+ i Q = |F(i\Omega)| e^{i\phi} \)
        
        \(P = |F(i\Omega)| \cos\phi \)
        \(Q = |F(i\Omega)| \sin\phi \)
        
        \(Y=|F(i\Omega)| = \sqrt{P^2+Q^2}\)
        \(\tan\phi = Q/P\)
        
        1 more item...
        
        Allgemeine Anregung
        \(x(t)=\)beliebig
        
        Partikuläre Lösung mit Faltungsintegral
        \(y_p(t) = g(t)*b(t) =\int_{a=0}^{b=t} g(t-\tau)b(\tau) d\tau\)
        
        Herleitung für 1-Massen-Schwinger
        \(m\ddot y + d\dot y + cy = b(t)\)
        
        Ableitung mit Leibnizscher Diff.regel
        \( \dot y_p = \int_0^t \frac{\partial}{\partial t} g(t-\tau) b(\tau) d\tau + g(0)b(t) \)
        \( \ddot y_p = \int_0^t \frac{\partial^2}{\partial t^2} g(t-\tau) b(\tau) d\tau + \frac{\partial}{\partial t} g(0)b(t) + g(0)\dot b(t) \)
        
        Leibnizsche Diff.regel
        \( \frac{d}{dt} \int_{a(t)}^{e(t)} K(\tau,t) d\tau = \int_{a(t)}^{e(t)} \frac{\partial}{\partial t} K(\tau,t) d\tau + K(\tau=e(t), t) \dot e(t) - K(\tau=a(t), t) \dot a(t) \)
        
        Einsetzen in DGL, sortieren
        \( \int_0^t [(mg''(t-\tau) + dg'(t-\tau) + cg(t-\tau))b(\tau)] d\tau + mg'(0) b(t) + mg(0)\dot b(t) + dg(0) \dot b (t) = b(t) \)
        
        2 more items...
        
        Gewichtsfunktion g(t)
        
        Anregung b(t)
        
        Partikuläre Lösung
        \(y_p(t) = \int_{0}^{t} g(t-\tau)b(\tau) d\tau\)
        
        \(g(t-\tau)\) ist Lsg. der homogenen DGL
        
        \(\frac{\partial^j}{\partial t^j} g(t-\tau) = 0\) für \(j=0,...,n-2\)
        
        \(\frac{\partial^{n-1}}{\partial t^{n-1}} g(t-\tau) = 1/a_n\)
        
        Für homogene AB:
        \( y(t) = y_p(t) \)
        
        Für inhomogene AB
        
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        Idealisierte spezielle Anregungsfunktionen
        
        Heaviside-Funktion
        \( \sigma(t) = \begin{cases}0, t<0;\quad 1,t\ge 0 \end{cases} \)
        
        Idealisierung von
        
        Dirac-Funktion
        \( \delta(t) = \begin{cases}0, t\ne 0;\quad \infty,t= 0 \end{cases} \)
        mit
        \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t) dt = 1\)
        
        Idealisierung von
        
        Ausblendeigenschaft
        
        Partikuläre Lösung mit Fourier-Transformation
        
        Fourier-Transformation
        
        = Fourier-Reihe einer Funktion mit \(T\to\infty\)
        
        Kontinuierliches Spektrum \(\Omega\to 0\)
        
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        \( x(t) = F^{-1}[X(\Omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty X(\Omega) e^{i\Omega t} d\Omega \)
        \( X(\Omega) = F[x(t)] = \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i\Omega t} dt \)
        
        Spektralfunktion \(X(\Omega)\)
        
        Hinreichende Bedingung für Berechenbarkeit der Integrale
        
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        \( X(\Omega) = Re(X(\Omega)) + i Im(X(\Omega)) = |X(\Omega) | e^{i\phi(\Omega)} \)
        
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        Eigenschaften der F-Trafo
        
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        Problem: Oft gelingt die Rücktrafo nicht
        
        Anwendung auf allg. DGL
        
        Umstellen nach komplexen Frequenzgang
        \( F(i\Omega) = \frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)} = \frac{b_m (i\Omega)^m + ... + b_0}{a_n (i\Omega)^n + ... + a_0} \)
  - - - Freischnitt
        
        Differentialgleichung
        \(m\ddot y(t) + d \dot y(t) + c y(t) = F\cos(\Omega t) \)
        
        Linear gedämpfter Oszillator
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = \frac{F}{m}\cos(\Omega t) \)
        
        Dämpfungsgrad
        \(D = d/ (2m\omega_0)\)
        ungedämpfte Eigenkreisfrequenz
        \(\omega_0 = \sqrt{c/m}\)
        
        Homogen
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = 0\)
        
        Exponentialansatz
        \( y_h(t) = C \exp(\lambda t) \)
        
        Charakteistische Gleichung
        \(\lambda² + 2D\omega_0\lambda + \omega_0^2 = 0\)
        
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        Inhomogen
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = \frac{F}{m}\cos(\Omega t) \)
        
        Ansatz vom Typ der rechten Seite
        \(y_p(t) = Y \cos (\Omega t - \phi)\)
        
        Koeffizientenvergleich
        \( (...) \cos\Omega t + (...) \sin\Omega t = \frac{F}{m}\cos\Omega(t) \)
        
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        Abwandlung
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = \frac{F}{m} e^{i\Omega t} \)
        
        Mit komplexem Frequenzgang
        \( y_p(t) = F(i\Omega) \frac{F}{m} e^{i\Omega t} \)
        
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        Mit Faltungsintegral
        \(y_p(t) = \int_{0}^{t} g(t-\tau)b(\tau) d\tau\)
        
        Numerische/Symbolische Integration
        
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        Sprungantwort
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = \alpha \sigma(t) \)
        
        Mit Faltungsintegral
        \(y_p(t) = \alpha \int_{0}^{t} g(t-\tau) d\tau\)
        
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        Impulsantwort
        \( \ddot y(t) + 2D\omega_0 \dot y(t) + \omega_0^2 y(t) = \alpha \delta(t) \)
        
        Mit Ausblendeigenschaft im Faltungsintegral
        \(y_p(t) = \alpha g(t) \)
        
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- - - - Matrix-DGL
        \( M \ddot{ \vec y} + K \vec y = \vec 0 \)
        
        Ansatz
        \( \vec y = \begin{bmatrix} r_1\\r_2 \end{bmatrix} e^{i\omega t}\)
        in Matrix-DGL einsetzen
        
        Homogenes lineares algebraisches Gl.sys.
        \( \underbrace{ \begin{bmatrix} -m_1\omega^2+c_1+c_2 &-c_2 \\ -c_2 & -m_2\omega^2 +c_2+c_3 \end{bmatrix} }_{A} \begin{bmatrix} r_1\\ r_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
        
        Nichttriviale Lösung ex., wenn
        \(det(A) = 0\)
        -> Biquadratische Gl.
        \(\omega_{1/2}^2 = ...\)
        
        Für
        \(m_1,_2,c_1,c_2,c_3 >0\):
        reelle und positive Lösungen
        \( \omega_1^2, \omega_2^2 \)
        -> 4 reelle Lösungen
        \( \omega_{11} = - \omega_{12}, \omega_{21} = - \omega_{22} \)
        einsetzen in homog. lin. alg. Gl.sys.
        
        Matrix A ist singulär
        -> Nur Verhältnis bestimmbar
        \(v_i = \frac{r_{i1}}{r_{i2}},\quad i=1,...,4\)
        
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        Entkopplung mit Koord.-Trafo
        \( \vec y = \underbrace{\begin{bmatrix} \vec r_1 & \vec r_2 \end{bmatrix}}_{R} \vec q \)
        
        Entkoppelte Matrix-DGL
        \( \underbrace{R^T M R \ddot{ \vec q}}_{\text{Diagonalmatrix}} + \underbrace{R^T K R}_{\text{Diagonalmatrix}} \vec q = \vec 0 \)
        -> 2 entkoppelte DGLs für
        \(q_1,q_2\)
        
        \( 2m \ddot q_1 + 2c q_1 = 0 \)
        \( 2m \ddot q_2 + 6c q_2 = 0 \)
    - - Matrix-DGL
        \( M \ddot{ \vec y} + D \dot{ \vec y}+ K \vec y = \vec 0 \)
        
        Ansatz
        \( \vec y = \vec r e^{\lambda t}\)
        in Matrix-DGL einsetzen
        
        Homogenes lineares algebraisches Gl.sys.
        \( \underbrace{(M \lambda^2 + D \lambda+ K)}_{A} \vec r e^{\lambda t} = \vec 0 \)
        
        Nichttriviale Lösung ex., wenn
        \(det(A) = 0\)
        -> Charakteristische Gl.
        
        4 Lösungen der char. Gl
        \(\lambda_i\)
        
        i.A. komplex
        
        falls komplex, Auftreten in komplex-konj. Paaren
        
        \(\lambda_i\) einsetzen in homog. lin. alg. Gl.sys.
        
        \( \vec r_i, \quad i=1,...,4\)
        
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        Entkopplung mit Koord.-Trafo
        \( \vec y = \underbrace{\begin{bmatrix} \vec r_1 & \vec r_2 \end{bmatrix}}_{R} \vec q \)
        nicht möglich für beliebige Systeme mit Dämpfung
        
        Keine Diagonalmatrix
        \(R^T D R\)
  - - - Für AB
        \( y_1(0)=1, \dot y_1(0)=0, y_2(0)=1,\dot y_2(0)=0 \)
        
        Gesamtlösung
        \( \vec y(t) = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \cos \sqrt{c/m}t \)
        -> gleichphasige Bew. mit 1. Eigenkreisfrqu.
      - Für AB
        \( y_1(0)=1, \dot y_1(0)=0, y_2(0)=-1,\dot y_2(0)=0 \)
        
        Gesamtlösung
        \( \vec y(t) = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix} \cos \sqrt{3c/m}t \)
        -> gegenphasige Bew. mit 2. Eigenkreisfrqu.
  - - - Harmonische Anregung
        \( \vec F(t) = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2\end{bmatrix} \cos \Omega t\)
        
        Matrix-DGL
        \( M \ddot{ \vec y} + K \vec y = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2\end{bmatrix} \cos \Omega t\)
        
        Ansatz v.T.d.r.S.
        \( \vec y_p = \vec q \cos \Omega t\)
        (nur cos da keine Dämpfung)
        in Matrix-DGL einsetzen
        
        \( q_1 = \frac{1}{c} \frac{(2-\eta^2)f_1 + f_2}{(\eta^2-1)(\eta^2-3)} \)
        \( q_2 = \frac{1}{c} \frac{f_1 + (2-\eta^2) f_2}{(\eta^2-1)(\eta^2-3)} \)
        mit
        \( \eta = \Omega / \sqrt{\frac{c}{m}} \)
        
        Für
        \(f_1=f, f_2 =0\)
        
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    - - Harmonische Anregung
        \( \vec F(t) = \begin{bmatrix} F_1 \\ F_2\end{bmatrix} e^{ i\Omega t}\)
        
        Matrix-DGL
        \( M \ddot{ \vec y} + D \dot{ \vec y} + K \vec y = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2\end{bmatrix} e^{ i\Omega t}\)
        
        Ansatz v.T.d.r.S.
        \( \vec y_p = \vec q e^{i\Omega t}\)
        in Matrix-DGL einsetzen
        
        \( q_1 = ... \)
        \( q_2 = ... \)
        mit
        \(\omega_0^2 = c/m\)
        \(2D\omega_0 = d/m\)
        \(\eta = \Omega/\omega_0\)
        
        Für
        \(f_1=f, f_2 =0\)
        
        Amplitude von Masse 1
        \(|q_1|\)
        
        Amplitude von Masse 2
        \(|q_2|\)
    - - Für
        \(d=0, d_T =0\)
        
        DGL
        \( m\ddot y + (c+c_T) y - c_T y_T = Fe^{i\Omega t} \)
        \( m_T\ddot y_T + c_T y_T - c_T y = 0 \)
        
        Ansatz
        \( \vec y_p = \begin{bmatrix} \hat y \\ \hat y_T\end{bmatrix}e^{i\Omega t}\)
        
        Tilger funktioniert, wenn
        \(\hat y = 0\)
        -> einsetzen
        
        Tilgerauslegung auf Anregungskreisfrequenz
        \( \Omega = \sqrt \frac{c_T}{m_T} \)
        
        Tilgeramplitude
        \(\hat y_T = -\frac{F}{c_T}\)
      - Schwingungsamplitude ohne Tilger
        
        Schwingungsamplitude mit Tilger
        Vergleich mit/ohne Tilgerdämpfung
        
        -> bei monofrequenter Anregung Tilger ohne Dämpfung
        -> bei breitbandiger Anregung Tilger mit Dämpfung
      - Motivation
        Schwingungen können reduziert werden, indem Dämpfung im System erhöht wird.
        Das Anbringen eines Dämpfers ist oft technisch schwer umzusetzen, z.B. bei Brücken oder Hochhäusern.
        
        Dann kann ein Tilger sinnvoll sein.
- - - - \(y(t), \dot y(t), \ddot y(t)\)
      - F(t)
    - - i(t)
      - u(t)
  - - - periodisch
        
        harmonisch
        
        \(y(t) = A \sin (\omega t) + B \cos (\omega t) = C \sin (\omega t + \phi) \)
        mit
        C: Amplitude
        \(\omega\): Kreisfrequenz
        \(\phi\): Phase
        
        \(T = 2 \pi / \omega \)
        
        allg. periodisch
        
        moduliert
        
        Schwebung
        
        \(y(t) = A (\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) = 2A[ \cos ( 0.5(\omega_1+\omega_2) )\cos ( 0.5(\omega_1-\omega_2)) ] \)
        Für \(\omega_1 \approx \omega_2\):
        
        Nur periodisch, wenn \(\omega_1/\omega_2\) rational
        
        amplitudenmoduliert
        
        phasenmoduliert
        
        y(t+T) = y(t)
        mit
        T: Periodendauer
      - nichtperiodisch
        
        transient
        
        allg. nichtperiodisch
      - vorherbestimmt
    - - stationär
        
        statistische Kenngrößen \(\neq f(t)\)
      - nichtstationär
        
        statistische Kenngrößen \(= f(t)\)
      - zufällig regellos
- - - - Für beliebige Matrix
        \( A = \underbrace{0.5 (A+A^T)}_{symm.} + \underbrace{0.5 (A-A^T)}_{schiefsymm.} \)
        
        Matrix symm.
        \(A=A^T\)
        Matrix schiefsymm.
        \(A=-A^T\)
      - Matrix pos. def.
        \( \vec q A \vec q > 0 \)
        Matrix pos. semidef.
        \( \vec q A \vec q \ge 0 \)
      - M kann durch Umformung immer symmetrisch gemacht werden.
        G typisch für Bewegungen in bewegten Bezugssys. (z.B. Rotordynamik)
        N Zeichen für Selbsterregung (z.B. Reibung, Strömungen)
        D, K können sogar pos. def. sein
      - M-K-Systeme
        \(M\ddot{\vec y}+ K \vec y = \vec F(t)\)
        
        Exponentialansatz
        \( \vec y = \vec r e^{\lambda t}\)
        
        Konkreten EW einsetzen
        \(\lambda=\lambda_i\)
        Zugehörige EV l. u. r. dranmultiplizieren
        \(\vec r_i^{*T} \cdot\)
        \(\cdot \vec r_i\)
        Umstellen nach EW
        
        Wegen Definitheit von M und K
        \( \lambda_i^2 = - \frac{\vec r_i^{*T} K \vec r_i}{\vec r_i^{*T} M \vec r_i} \ge 0\)
        -> EW rein imaginär
        -> EV rein reell
        
        Eigenvektoren sind orthogonal zu M und K
        \( \vec r_j^T M \vec r_i = 0,\quad i\neq j \)
        \( \vec r_j^T K \vec r_i = 0,\quad i\neq j \)
        
        Modaltransformation durchführbar
        (für einfache EW)
        Modalmatrix
        \( R = [\vec r_1, .., \vec r_n] \)
        Koord.trafo
        \(\vec y = R \vec q\)
        -> Matrix-DGL
        \( \underbrace{R^TMR}_{diag. wegen Orthogonalität}\ddot{\vec q} + \underbrace{R^TKR}_{diag. wegen Orthogonalität} \vec q = \vec 0 \)
        
        Tilger an k-ter Stelle
        
        \( \begin{bmatrix}\begin{bmatrix} M\end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}0 & \dots &0 \end{bmatrix} & m_T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot y_1 \\ \vdots \\ \ddot y_n \\ \ddot y_T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} K \end{bmatrix} +c_T \text{ an k-ter Zeile,Spalte} & \begin{bmatrix} 0\\ \vdots \\ -c_T \\ \vdots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0& \dots & -c_T & \dots \end{bmatrix} & c_T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_k \\ \vdots \\ y_T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_n \\ 0 \end{bmatrix} \)
        
        Ansatz
        \( \vec y_p(t) = \begin{bmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n\\ a_T \end{bmatrix} e^{i\Omega t} \)
        Auswertung der n+1. Zeile
        \( (-\Omega^2 m_T + c_T) a_T - c_T a_k = 0 \)
        Damit \(a_k = 0\), muss Tilger abgestimmt werden mit
        \(\Omega^2 = c_t / m_T\)
      - M-D-K-Systeme
        \(M\ddot{\vec y}+ D\dot{\vec y}+ K \vec y = \vec F(t)\)
        
        Exponentialansatz
        \( \vec y = \vec r e^{\lambda t}\)
        
        Konkreten EW einsetzen
        \(\lambda=\lambda_i\)
        Zugehörige EV l. u. r. dranmultiplizieren
        \(\vec r_i^{*T} \cdot\)
        \(\cdot \vec r_i\)
        Umstellen nach EW
        
        Wegen Definitheit von M, D und K
        \(\lambda_{j,1/2} = \frac{-\vec r_i^{*T} D \vec r_i \pm \sqrt{(\vec r_i^{*T} D \vec r_i)^2 - 4(\vec r_i^{*T} M \vec r_i \vec r_i^{*T} K \vec r_i)}}{2 \vec r_i^{*T} M \vec r_i} \)
        -> EW reell oder paarweise komplex konj., Realteil nicht positiv (Stabilität)
        -> EV reell oder paarweise komplex konj.
        
        Für kleine Dämpfung:
        \( \vec r_i^{*T} D \vec r_i < 2 \sqrt{\vec r_i^{*T} M \vec r_i \vec r_i^{*T} K \vec r_i} \)
        EW auschließlich konj. komplex
        -> Ablingende Schwingung
        
        Optimale Dämpfung
        -> EW mit größtem Realteil, Realteil min.
        
        Durchdringende Dämpfung
        -> Alle \(Re(\lambda_i)<0\)
        
        Gegenbeweis
        Es ex. eine Lösung
        \( \vec y_h = \vec r e^{i\omega t} \)
        mit
        \(\omega\) - reell
        
        Kriterium
        \( Rang ( -\omega_i^2 M + K, D) < n \)
        Falls D vollen Rang -> Sys. vollst. gedämpft
        Falls D nur pos. semidef. -> M und K entscheiden, ob Sys. durchdringend gedämpft
        
        Bsp. durchdingend gedämpft
        
        Bsp. nicht durchdingend gedämpft
        
        Modale Dämpfung
        -> M-D-K-Sys. ist modal entkoppelbar
        \( \text{diag}(m_1,...,m_n)\ddot{\vec q} + \text{diag}(d_1,...,d_n)\dot{\vec q} + \text{diag}(c_1,...,c_n)\vec q = \vec 0 \)
        
        Methode der experimentellen Modalanalyse
        -> M und K häufig aus Messungen bestimmbar, D nicht
        Annahme: Sys. mit modaler Dämpfung
        
        Homogene Lösung
        \( \vec y_h (t) = \sum_{i=1}^n e^{Re(\lambda_i)t} (A_i \vec r_{re,i} \cos (Im(\lambda_i)t) - B_i \vec r_{im, 2m} \sin(Im(\lambda_i)t))\)
        ABen einstellen
        \(A_i=B_i=0,\ A_j,B_j\neq 0\),
        dass Lösung wie bei System mit 1 FHG
        -> Bestimmung der Parameter
        \(m_j, d_j, c_j\)
        Rücktransformation
        \(\vec q = R^{-1} \vec y\)
        
        Liegt vor beim Ansatz
        \( D = \underbrace{\alpha M}_{\text{äußere Dämpfung (z.B. Luftwiderstand)}} + \underbrace{\beta K}_\text{innere Dämpfung (z.B. Werkstoff)} \)
      - M-G-K-Systeme
        \(M\ddot{\vec y}+ G\dot{\vec y}+ K \vec y = \vec F(t)\)
        
        Wegen
        \( \det(A)=\det(A^T) \)
        und
        \( G=-G^T \)
        Ch. Gl.
        \(0 = \det(\lambda^2 M + \lambda G + K)\)
        \( = \det((-\lambda)^2 M^T -\lambda G + K^T) \)
        
        Wenn \(\lambda_i\) Lösung, dann auch \(-\lambda_i\),
        EW treten i.A. in komplex konj. Paaren auf:
        -> EW treten hier in Quadrupeln auf
        
        Projektion auf EV
        \( \lambda_i^2 \underbrace{\vec r_i^H M \vec r_i}_{\tilde m >0} + \lambda_i \underbrace{\vec r_i^H G \vec r_i}_{\tilde g - \text{rein imaginär}} + \underbrace{\vec r_i^H K \vec r_i}_{\tilde k} = 0 \)
        
        Umstellung nach EW
        \( \lambda_{i,1/2} = \underbrace{\frac{\tilde g}{2\tilde m}}_\text{rein im.} \pm \sqrt{ \underbrace{(\frac{\tilde g}{2\tilde m})^2}_{\le 0} - \underbrace{\frac{\tilde k}{\tilde m}}_{\ge 0} }\)
        -> EW immer rein imaginär oder null
        
        Quadrupel reduzieren sich wieder zu Paare
      - M-K-N-Systeme
        \(M\ddot{\vec y}+(K+N) \vec y = \vec F(t)\)
        
        Ch. Gl.
        \(0 = \det(\lambda^2 M + K+ N)\)
        
        Wenn \(\lambda_i\) Lösung, dann auch \(-\lambda_i\),
        EW treten i.A. in komplex konj. Paaren auf:
        -> EW treten hier in Quadrupeln auf
        
        Projektion auf EV
        \( \lambda_i^2 \underbrace{\vec r_i^H M \vec r_i}_{\tilde m >0} + + \underbrace{\vec r_i^H (K+N) \vec r_i}_{\tilde k+\tilde n} = 0 \)
        
        Umstellung nach EW
        \( \lambda_{i}^2 = - \underbrace{\frac{\tilde k}{\tilde m}}_{\ge 0} -\underbrace{\frac{\tilde n}{\tilde m}}_\text{rein im. oder null}\)
        -> Falls \(\tilde n = 0\): EW rein imaginär -> Ungedämpfte Schwingung
        -> Falls \(\tilde n \neq 0\): EW komplex -> Instabile selbsterregte Schwingung, da EW in Quadrupeln auftreten
        
        Beispiel
        Vereinfachtes Modell einer Bremse
      - BSP für M-G-Q-Sys.
        Gyroskopische Matrix
        
        Linearisierte DGL
        \(mr^2 \text{diag}(0.75, 1.25) \ddot{\vec q} + mr^2 \text{nebendiag}(1.5\Omega, -1.5\Omega) \dot{\vec q} + \text{diag}(0, -mgr) \vec q =0\)
        System wird instabil, wenn \(\Omega<\Omega_c\)
    - - Exponentialansatz
        \( \vec y = \vec r e^{\lambda t}\)
        
        Charakteristisches Polynom
        \(\det A= 0\)
        mit
        \( A = \lambda^2 M + \lambda P + Q \)
        
        Lösen mit MATLAB, Mathematica, Python, etc.
        -> \(\lambda_i\): Eigenwerte - i.A. komplex
        -> \(\vec r_i\): Eigenvektoren - i.A. komplex, bel. skalierbar
        
        Homogene Lösung für einfache EW
        \(\lambda_i\neq \lambda_j,\quad i\neq j\)
        
        Komplexe Darstellung
        \( \vec y_h (t) = \sum_{i=1}^n A_i \vec r_i e^{i\lambda t} \)
        wobei
        \(A_i\) - i.A. komplex
        
        Integrationskonstanten
        \(A_i\) bzw. \(B_m, D_m, A_j\)
        aus ABen
        \(\vec y (0) = \vec y_0, \dot{\vec y} (0) = \dot{\vec y}_0\)
        
        Reelle Darstellung
        \( \vec y_h (t) = \sum_{m=1}^s e^{\delta_{2m}t} (B_m \vec r_{re,2m} \cos (\omega_{2m}t) - D_m \vec r_{im, 2m} \sin(\omega_{2m}t))+ \sum_{j=2s+1}^n A_j \vec r_j e^{\delta_j t} \)
        für \(s\) Paare komplex konj. EW
        \( \lambda_m = \delta_m + i\omega_m \)
        \( \lambda_{m+1} = \delta_m - i\omega_m \)
        mit zugehörigen komplex konj. EV
        \(\vec r_m = \vec r_{re,m} + i \vec r_{im,m}\)
        \(\vec r_{m+1} = \vec r_{re,m} - i \vec r_{im,m}\)
        sowie \(n-2s\) reelle EW
        \( \lambda_j = \delta_j \)
        
        Normierung
        \(\vec r_i^T\vec r_i = 1\) oder \(\vec r_i^T M\vec r_i = 1\)
        
        Stabilität
        Exp. abklingende Schwingung, wenn alle
        \(\lambda_j<0\)
        Exp. aufklingende Schwingung, wenn min. ein
        \(\lambda_j>0\)
        -> Selbsterregte Schwingungen (z.B. Bremsenquietschen)
    - - M-D-K-Systeme mit modaler Dämpfung
        \(M\ddot{\vec y}+ D\dot{\vec y}+ K\vec y = \vec F(t)\)
        mit Modalmatrix
        \(R=[\vec r_1 ... \vec r_n]\)
        und Transformation
        \( \vec y(t) R \vec q(t) \)
        
        \(I\ddot{\vec q}+ diag(d1, ..., d_n) \dot{\vec q}+ diag(\omega_1^2, ..., \omega_n^2) \vec q = R^T \vec F(t)\)
        Einheitsmatrix möglich über Normierung der EV
        \( \vec r_i^T M \vec r_i = 1 \)
        Auswertung an i-ter Zeile
        \( \ddot q_i + d_i \dot q_i + \omega_i^2 q_i = \vec r_i^T \vec F(t) \)
        -> Lösung wie bei Sys. mit 1 FHG
        
        Für harmonische Anregung
        \(\vec F(t) = \vec F_0 e^{i\Omega t}\)
        mit Ansatz v.T.d.r.S.
        \( q_{i,p}(t) = \frac{\vec r_i^T \vec F_0}{\omega_i^2 - \Omega^2 + i d_i\Omega} e^{i\Omega t}\)
        Rücktrafo
        \( \vec y_p(t) = R\vec q_p(t) \)
        
        Für modal entkoppelbare Sys.:
        Trafo->Lösungstechnik für EinzelDGL (Ansatz v.T.d.r.S. (harmonische Anregung), Faltungsint./Fouriertrafo (bel. Anregung)) -> Rücktrafo
      - Für nicht modal-entkoppelbare Sys.
        Trafo auf Sys. 1. Ordn. -> Lösung numerisch immer möglich