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Kontaktmechanik und Reibung - Coggle Diagram

- - - - sdV-Abschätzung
        
        Indenter-OFprofil: \(z(r), z(x), z=0\)
        
        eHR-OFverschiebung: \( u_z(d,r) = d-z(r) \)
        
        Kontaktradius: \( a(d): u_z(d,r=a)=0\)
        
        sdV: \(D \approx 2a, A, V\)
        
        Deform.: \(\epsilon(d) = d / D\)
        
        Spg.: \(\sigma(d) = E \epsilon(d)\)
        
        El. Normalkraft: \(F_{N,el}= \sigma(d) A \)
        
        Pl. Normalkraft: \(F_{N,pl}= \sigma_0 A \)
        
        Motivation
        
        Außerhalb sdV: Deform. u. Spg. fallen ab mit 1/r²
        -> sdV liefert größten Beitrag zu allen E.- u. Kraftbez.
        
        Innerhalb sdV: Deform. u. Spg. gleiche Größenordnung
        
        Diskussion
        
        Qual. Zsh. meistens korrekt
        
        Quant. Zsh. oft rel. gut
        
        Äquivalente Behandlung (->)
      - Beispiele
        
        St. Walze || eHR
        El. Normalkraft:
        \(F_{N,el} \approx ELd\)
        -> \(\neq f(R)\)
        
        St. Kugel || eHR
        El. Normalkraft:
        \( F_{N,el} \approx \pi / \sqrt{2} \cdot E R^{0.5} d^{1.5} \)
        Pl. Normalkraft:
        \( F_{N,pl} \approx 2 \pi \sigma_0 R d \)
        
        St. Zylinder || eHR
        Kontaktradius:
        \(a=konst.\)
        El. Kontaktkraft:
        \( F_{N,el} \approx 2Ead \)
        -> Universelle Kontaktsteifigkeit
        
        Vergleiche mit rigoroser Betrachtung
        
        St. Kegel || eHR
        Spannung:
        \(\sigma\approx E\tan\theta /2 = konst.\)
        -> Elastizität/Plastizität nur abh. von Geometrie und Material -> Vorteilhaft für Härtetest
    - - Methode
        
        Indenter-OFprofil: \(z=\{z(r), z(x), 0\}\)
        
        eHR-OFverschiebung: \( u_z(d,r) = d-z(r) \)
        
        Kontaktradius: \( a(d): u_z(d,r=a)=0\)
        
        Kontaktgeometrie: \(D = 2a, A\)
        
        Deform.:\(\epsilon(d,r) = u(d,r) / l \)
        
        Spg.: \(\sigma(d,r) = \{E, \tilde E\} \epsilon(d,r)\)
        
        El. Normalkraft:
        \(F_{N,el} = \int_0^a \sigma(d,r) 2 \pi r dr\)
        \(F_{N,el} =2L \int_0^a \sigma(d,r) dx\)
        
        Pl. Normalkraft:
        \(F_{N,pl} = \sigma_0 A\)
      - Beispiele
        a) El. sphärischer Aufkleber auf st. Unterlage (\(z(r)\)) || sHR
        b) El. Schicht auf Walze (\(z(x)\)) || sHR
        c) El. Quader (\(z=0\)) || sHR
        \(\qquad F_{N,el} = \frac{EA}{l}d\)
        \(\qquad F_{N,el} = \frac{\tilde EA}{l}d\)
- - - - \(\frac{U_\text{HR-HR}}{A} = -\frac{Q}{h^2}\)
        
        Trennungsarbeit pro Fläche
        \(\frac{W}{A} = -\frac{Q}{h^2}\big|_{h=\infty} +\frac{Q}{h^2}\big|_{h=r_0} = \frac{Q}{r_0^2}\)
        
        Oberflächenenergie
        \(\gamma = \frac{1}{2}\frac{W}{A} = \frac{Q}{2 r_0^2}\)
        
        Relative/effektive OFE
        Abschätzung mit geom. Mittel
        \(\gamma_{12}, \gamma^* \approx \sqrt{\gamma_{11} \gamma_{22}} = 2\sqrt{\gamma_1 \gamma_2}\)
        
        Char. Anziehungsspg. im atomaren Kontakt
        \( \sigma(h=r_0) = -\frac{\partial \frac{U_\text{HR-HR}}{A} }{\partial h}|_{h=r_0} = -\frac{4\gamma}{r_0} \)
        
        Für Metalle
        \( \sigma(r_0) = 100 \) GPa
        aber ->
      - \(U_\text{At-At}\sim -\frac{1}{r^6}\)
      - \(U_\text{At-HR}\sim- \frac{1}{h^3}\)
    - - Anziehend für
        \(\epsilon_m<\epsilon_1,\epsilon_2\) oder \(\epsilon_m>\epsilon_1,\epsilon_2\)
        -> Immer für Vakuum (\(\epsilon_m=1 \))
      - -> Abstoßend für
        \(\epsilon_1<\epsilon_m<\epsilon_2\) oder \(\epsilon_2<\epsilon_m<\epsilon_1\)
  - - - Untersuchung für: El. Körper || Rauher sHR
        
        Char. Wellenlänge d. Rauigkeit \(l\)
        
        Char. Höhe d. Rauigkeit \(h\)
        
        sdV eines Maximums
        \( sdV = l^3 \)
        
        Maximale Deformation
        \(\epsilon \approx h/l\)
        
        Kriterium für spontanes Kleben
        \( \frac{1}{2}E\epsilon^2 l^3 = U_{el} < U_{adh} = 2\gamma l^2\)
  - - - GGW mit PdvA
        \(0=\Delta W = Fs - \gamma^*L\Delta l\)
        
        Geometrie
        \(s=\Delta l (1-\cos)\)
    - - Regel für Klebeverbindungen
        Je dünner, desto fester.
        \(l_0 \downarrow : \sigma_c \uparrow \)
      - Theoretische Festigkeit
        \(E,\gamma \uparrow: \sigma_c \uparrow\)
        -> Tatsächliche Festigkeit nimmt ab mit E, da Rauheiten den atomaren Kontakt erschweren
      - Kriterium für spontanen Bruch
        \(U_{adh} < U_{el} \)
        
        El. Energie
        \(U_{el} = \frac{\sigma^2}{2E} l_0 A \)
        
        Adhäsionsenergie
        \(U_{adh}= 2\gamma A \)
  - - - Falls Halbraum-Näherung vertretbar (z.B. bei Kugel-Indenter) Potentielle Energie pro Fläche
        \(\frac{U_{sol-sol}}{A} = -\frac{Q}{h^2}\)
        
        Abstand zwischen Indenter und sHR
        bei Kugel-Indenter: \( z = h + r^2/2R \)
        
        Potentielle Energie
        bei Kugel-Indenter: \( U_{Ebene-Kugel} = -\int_0^\infty \frac{Q}{(h + r^2/2R)^2} 2\pi r dr = -\frac{2\pi RQ}{h} \)
        
        Adhäsionskraft
        \( F = -\frac{\partial U}{\partial h}|_{h=r_0} \)
        
        St. Kugel || sHR
        \( F_{adh} \approx -4\pi\gamma R \)
        
        Adhäsionskräfte zwischen el. und st. Körpern haben die gleiche Größenordung
    - - Gesamtenergie aufstellen
        \(U_{tot} = U_{el}+ U_{adh}\)
        
        El. Energie mit sdV-Methode
        \( U_{el} \approx \frac{1}{2} E\epsilon^2 D^3 \)
        
        Oberflächenenergie
        \( U_{adh} = - \gamma^* D^2\)
        
        Adhäsionskraft
        \( F_{adh} \approx \min \frac{\partial U_{tot}}{\partial d} \)
        
        St. Kugel || eHR
        \( F_{adh} \approx -4\pi\gamma R \)
        
        St. Kegel || eHR
- - - - Flüssigkeit auf Gitter aus Stäben
        
        geg.: \(L,a,\gamma_l\)
        
        Zu überwindender maximaler Überdruck in Fluid
        \(\Delta p_\text{max} = \frac{\gamma_l}{R_\text{min}}\)
        
        -> \( \Delta p_\text{max} = \begin{cases} \frac{2\gamma_l}{L-2a}, &\theta = \pi \\ \frac{2\gamma_l \sin\theta}{L}, & \theta \le \pi/2 \end{cases} \)
        
        Minimaler Radius bei Benetzbarkeit (\(\theta \le \pi/2 \))
        
        \(R_\text{min} = \frac{L}{2\sin\theta}\)
        
        Minimaler Radius bei vollständiger Unbenetzbarkeit (\(\theta = \pi \))
        
        \(R_\text{min} = \frac{L-2a}{2}\)
    - - Steighöhe in Kapillare
        \(h = \frac{2\gamma_{12}\cos\theta}{\rho g r}\)
        
        Kapillare
        
        \( r, \gamma_{12}, \theta, g, \rho\)
        Potentielle Energie oberhalb \(h\) vernachlässigbar
        \(r\) so klein, dass Fl.OF Kugelkalotte mit Radius \(R\)
        
        Young-Laplace-Gl.
        -> Druckdifferenz an Fl.OF
        \(\Delta p = p_F - p_0 = \gamma_{12} (1/R_1 + 1/R_2)\)
        
        Fl.OF ist Kugelkalotte mit Radius \(R\)
        \(R_1 = R_2 = R\)
        
        Geometrie
        \(r = R\cos\theta\)
        
        Hydrostatisches Grundgesetz,
        Potentielle Energie oberhalb \(h\) vernachlässigbar
        -> Innendruck der Fl.OF
        \(p_F = p_0 -\rho gh\)
        
        1 more item...
      - Flüssigkeit in Kapillaren mit veränderlichem Durchmesser/Spaltbreite
        
        Anwendungen
        Lebensdauerschmierung
        Passiver Ölfluss
        Passive Trocknung
        
        Innendruck der Flüssigkeit konstant
        bei Vernachlässigung der Gravitation
        
        Vertikales Kräfteungleichgewicht
        Bewegungsrichtung abh. ob benetzbar/unbenetzbar
        
        OF der Fl. links größer als rechts
    - - In Richtung kleinerer Krümmung
        
        Kontaktwinkel im GGW
        ist thermodyn. (von Geometrie unabh.) Konstante
        
        Je krummer die feste OF,
        -> desto größer die OF des Tropfens
        -> desto größer die Oberflächenenergie des Tropfens
        
        Tropfen werden von Bereichen höherer Krümmung (Kanten, Spitzen, ...) abgestoßen
        
        Spontane Bewegung
        nur möglich in Richtung kleinerer Energie**
      - In Richtung größerer OFE
        
        Je größer die OFE,
        desto mehr Energie wird abgedeckt.
  - - - St. Kugel || Fl. || sHR
        
        \(R, r, \gamma_l\)
        Vollständige Benetzung
        \(|r_0|\ll|r|\)
        
        Höhe der Kapillarbrücke
        \(h\approx r^2/2R\)
        
        Vollst. Benetzung
        -> Kleiner Krümmungsradius
        \(h/2\)
        
        \(|r_0|\ll|r|\)
        -> Druckdifferenz
        \(\Delta p = -\gamma_l / r_0\)
        
        Fläche der Kapillarbrücke
        \(A=\pi r^2\)
        
        Kapillarkraft
        \(F_K = A\Delta p\)
      - Unabhängig von Flüssigkeitsmenge
        Untere Grenze: sobald Rauheit relevant
        Obere Grenze: ganzes System in Flüssigkeit
        -> BSP Sand: (sehr trocken/feucht) nicht fest, (dazwischen) Festigkeit unabh. von Feuchtigkeit
      - Möglichkeit zur Messung von
        \(\gamma_l\) für vollst. benetz. OF
      - Gleicht der Berechnungsformel für Adhäsionskraft einer Kugel
        -> Da \(\gamma_{Elastomer} \approx \gamma_{Flüssigkeit}\) ist es schwer festzustellen, ob Kapillar- oder Adhäsionskraft wirkt.
  - - - Seifenhaut auf Drahtkonstruktion
        
        geg.: \(F,l,\gamma\)
        Erhöhung der OFE bei Verschiebung
        \(\Delta U = 2\gamma l \Delta x\)
        Arbeit der äußeren Kraft bei Verschiebung
        \(W = F\Delta x\)
        Energieänderung = geleistete Arbeit
        \(\Delta U = W\)
        -> Streckenlast auf Begrenzung der Schicht pro OF
        \(f = \frac{1}{2}\frac{F}{l} = \gamma \)
        -> Jede freie Oberfläche ist „gespannt“ mit einer Streckenlast, die gleich ihrer Oberflächenenergie ist.
      - Druckdifferenz an OF
        eines kugelförmigen Flüssigkeitstropfen
        \( \Delta p = p_1 -p_2 = \frac{2\gamma_l}{R} \)
        
        Gegen Druck geleistete Arbeit
        \(\text dW_p = (p_1 -p_2) \cdot \text dV\)
        
        Änderung des Kugel-Vol.
        in Abh. der Änderung des Radius
        \( \text dV =4\pi R^2 \text dR \)
        
        Geometrie einer Kugel
        \(D = 2R\)
        \(A = 4\pi R^2\)
        \(V = \frac{4}{3} \pi R^3\)
        
        Änderung der OFE
        \( \text dU_\text{OF} = \gamma_{lv} \cdot \text dA\)
        
        Änderung der Kugel-OF
        in Abh. der Änderung des Radius
        \(\text dA = 8\pi R \text dR\)
        
        GGW (ohne Dissipation)
        \(\text dU_\text{OF}=\text dW_p\)
      - Druckdifferenz an nichtsphärisch-gekrümmten flüssigen Oberflächen
        \(\Delta p = p_\text{innen} - p_\text{außen}=\gamma_l \left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\)
        
        Hauptkrümmungsradien der Oberfläche
        \(R_1, R_2\)
        
        Negativ, falls außerhalb der Fl.
    - - s-l-v-Grenzlinie im thermodyn. GGW
        
        l-l-v- oder s-s-v-Grenzlinie
        
        Zwei charakteristische Kontaktwinkel
        \( \gamma_{12} = \gamma_{13}\cos\theta_1 + \gamma_{23}\cos\theta_2 \)
        \(\gamma_{13}\sin\theta_1 = \gamma_{23} \sin\theta_2\)
        
        Vertikales GGW ex.
        durch Reaktionskraft des sHR hergestellt
        Horizontales GGW ex., wenn
        \( \gamma_{sv} = \gamma_{sl} + \gamma_{lv}\cos\theta \)
        ex. nicht, wenn
        \( \gamma_{lv} < \gamma_{sv} - \gamma_{sl} \)
        -> Flüssigkeit kriecht
        
        Kontaktwinkelhysterese
        \( \gamma_{sv} = \gamma_{sl} + \gamma_{lv}\cos\theta \pm f_R \)
        mit
        Reibungskraft pro Längeneinheit \(f_R\)
        
        Ursachen
        Rauhigkeit der festen OF
        Chemische Heterogenität der festen OF
        Atomare Struktur des Festkörpers
        
        Tatsächlicher Kontaktwinkel
        abh. von Bewegungsrichtung des Tropfens
        
        Bestimmung der Reibkraft
        aus der Hysterese des Kontaktwinkels möglich
        
        Tropfen können haften
        auf makroskopisch glatten geneigten Flächen
        
        Kriechen von Fl.
        Ausbreitung einer Flüssigkeit bis sie eine Schicht mit der Dicke von wenigen molekularen Durchmessern bildet.
        
        Resultierende Streckenlast in s-l-v-Grenzlinie
        \(\gamma_K = \gamma_{sv}- \gamma_{sl} -\gamma_{lv}\)
      - Thermodyn. Größe
        -> Abh. von Stoffen im Kontakt
        -> Unabh. von Geometrie (Pfütze/Mikrotropfen)
      - Klassifikation
        1) Vollst. Benetzbarkeit \(\theta=0\)
        Tropen läuft vollständig bis zur molekularen Dicke auseinander.
        2) Benetzbarkeit \(\theta \in [0,\pi/2]\)
        3) Unbenetzbarkeit \(\theta \in [\pi/2, \pi]\)
        4) Vollst. Unbenetzbarkeit: \(\theta=\pi\)
        
        Bei Wasser
        Hydrophilie/-phobie
- - - - Satz von Maxwell und Betti
        \(\int p_F u_H \text dA = \int p_H u_F \text dA\)
        
        Symbolische Integration von 0 bis \(a_H\)
        \(F_H = 2E^* (\delta_H a_H - \frac{a_H^3}{3R})\)
        
        Universalität der Kontaktsteifigkeit
        \( 2a_HE^* \stackrel{!}{=} \frac{\text dF_H}{\text d\delta_H} = \underbrace{\frac{\partial F_H}{\partial\delta_H}}_{=2a_HE^*}+ \underbrace{\frac{\partial F_H}{\partial a_H}}_{ \stackrel{!}{=} 0} \cdot \underbrace{\frac{\partial a_H}{\partial\delta_H}}_{\neq 0}\)
        
        Kontaktradius
        \( \Rightarrow a_H = \sqrt{R\delta_H}\)
        
        Normalkraft-Indentierungstiefe-Relation
        \(F_H(\delta_H) = \frac{4}{3} E^* R^{1/2} \delta_H^{3/2}\)
    - - 2 El. Körper
        \(\frac{1}{E^*} = \frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}\)
      - 2 gekrümmte Körper
        
        \(\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\)
      - Ellipsoider Körper
        
        Für \(R_1, R_2\) gleiche Größenordnung:
        \(R\approx\sqrt{R_1R_2}\)
      - Gekreuzte Zylinder
        
        Da Abstand der OF (ohne Deformation) Ellipsoid entspricht,
        \(R\approx\sqrt{R_1R_2}\)
        
        Anwendung
        Rad-Schiene-Kontakt
    - - Spannungsverteilung
        
        \(p(r) = p_0 \left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2} \) mit \(r = x'^2 + y'^2\)
        
        Analyt. Integration -> z-Verschiebung
        \(u_{z,I}(r) = \frac{1}{2} \frac{\pi p_0 a}{E^*}(1-\frac{r^2}{2a^2})\)
      - z-Verschiebung eines parabolischen Indenters
        \(u_{z,II}(r) = d - \frac{r^2}{2R}\)
        
        Aus \(u_{z,I}(r) = u_{z,II}(r)\):
        Kontaktradius
        \(a(d) = \sqrt{Rd}\)
        Druckmaximum
        \(p_0(d) = \frac{2}{\pi}E^* \left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}\)
        
        Normalkraft
        \(F_N = \int_0^a p(r)2\pi r \text dr \\= \frac{2}{3} p_0 \cdot \pi a^2 \\ =\frac{4}{3}E^*R^{1/2} d^{3/2}\)
  - - - ...
        
        Kontaktradius
        \(a_K = \frac{2}{\pi\tan\theta}\delta_K\)
        
        Normalkraft-Indentierungstiefe-Relation
        \(F_K(\delta_K) = \frac{2E^*}{\pi\tan\theta} \delta_K^2\)
  - - - Vertikale Spannungsverteilung (Superposition)
        \(u_z(x,y) = \frac{1}{\pi E^*} \int_A \frac{p(x',y')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}} \text dx' \text dy'\)
        
        Für gegebenes \(p(x',y')\) ist Integral ohne Probleme numerisch lösbar
  - - - Spannungsverteilung
        
        \(p(r) = p_0 \left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2} \) mit \(r = x'^2 + y'^2\)
        
        Analyt. Integration -> z-Verschiebung
        \( u_{z,I}(r < a) = \frac{\pi p_0 a}{E^*} = konst. \)
        
        Aus \(u_{z,I}(r) = u_{z,II}(r)\):
        Druckminimum
        \(p_0(d) = \frac{E^* }{\pi a} d\)
        
        Normalkraft
        \(F_N = \int_0^a p(r)2\pi r \text dr \\= 2 p_0 \cdot \pi a^2 \\ = 2 a E^*d\)
        
        Universelle Kontaktsteifigkeit
        Wenn die Eindrucktiefe ein wenig um verändert wird, entspricht dies in erster Ordnung der Indentierung eines Flachstempels mit gleichem Kontaktgebiet.
        \( \frac{\text dF_N}{\text d\delta} = 2 a E^*\)
        
        Kontakt entspricht lin. Feder
      - z-Verschiebung eines Flachstempel-Indenters
        \(u_{z,II} = d \)
- - - - Adh. Energie
        \(U_{adh} = -\pi\gamma^* a^2 \)
        
        \(U_{tot} = U_{el} + U_{adh}\)
        
        Äußere Normalkraft
        \(F_N = \frac{dU_{tot}}{d(d)} = \underbrace{\frac{\partial U_{tot}}{\partial(d)}}_{=E^*[2da - \frac{2a^3}{3R}]} + \underbrace{\frac{\partial U_{tot}}{\partial a}}_{=0} \frac{da}{d(d)} \)
        
        Normalkraft
        \(F_N = E^*[ \frac{4}{3} \frac{a^3}{R} - (\frac{8\gamma_{12} \pi a^3}{E^*})^{1/2} ]\)
        
        Kritischer Kontaktradius
        \( 0 = \frac{\partial F_N}{\partial a}|_{a=a_c} \Rightarrow a_c = (\frac{9\gamma_{12} \pi R^2}{8 E^*})^{1/3}\)
        
        Adhäsionskraft
        \(F_A = F_N(a_c) = - \frac{3}{2} \gamma_{12} \pi R\)
        
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        \(d_c(a_c)\)
        
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        d-a-Relation
        Bei \(d=konst.\) nimmt \(a\) Wert an, sodass \(U_{tot}\) minimal
        \( 0 = \frac{\partial U_{tot}}{\partial a} \)
        \(\Rightarrow d(a) = \frac{a^2}{R} \pm \sqrt{\frac{2\gamma_{12}\pi a}{E^*}}\)
        
        Auflösen nach a(d) nicht ohne Weiteres möglich
        
        Stabiles GGW nur für
        \(d(a) = \frac{a^2}{R} -\sqrt{\frac{2\gamma_{12}\pi a}{E^*}}\)
        
        Quantitativ: kleineres \(U_{tot}\)
        Qualitativ: Beí d=konst. wächst a durch Adhäsion
      - z-Verschiebung aus Kontaktgeometrie
        \(u_z = d- r^2/2R\)
        
        Koeffizientenvgl.- Spg.extrema
        \(p_0 = \frac{E^*}{\pi}(\frac{d}{a} - \frac{a}{R})\)
        \(p_1 = \frac{E^*}{\pi}\frac{2a}{R}\)
        
        Resultierende Druckverteilung im adhäsiven Kontakt
        \(p = p_0(1-r^2/a^2)^{-1/2}+ p_1(1-r^2/a^2)^{1/2}\)
        Spg.maximum
        \(p_0 = - \sqrt{\frac{2\gamma_{12} E^*}{\pi a}}<0, p_1 = \frac{E^* 2a}{\pi R}>0 \Rightarrow p(r=0) \stackrel{<}{>} 0\)
        
        An Kontaktgebieträndern
        Spg. nicht null, wie beim n.a. Kontakt,
        sondern:
        Unendlich -> Sehr große Werte (von der Größenordnung der „theoretischen Festigkeit“ der van-der-Waals-Kontakte)
        
        Erhöhter Verschleiß am Rand möglich
      - Spannungsverteilung (Superposition)
        \(p = p_0(1-r^2/a^2)^{-1/2}+ p_1(1-r^2/a^2)^{1/2}\)
        
        Resultierende z-Verschiebung
        \(u_z = \frac{\pi p_0 a}{E^*} + \frac{\pi p_1}{4 E^* a} (2a^2 -r^2)\)
        
        Elastische Energie
        \(U_{el} = \frac{1}{2} \int_0^a p(r) u_z(r) 2\pi r dr\)
        \(= E^*[d^2a - \frac{2da^3}{3R} + \frac{a^5}{5R^2}]\)
    - - Adhäsionskraft
        \(F_A = \sqrt{8\pi E^*\gamma^* a^3}\)
        
        Probleme mit Ventilen aus Elastomer
        Elastomer: \(E^* = f^+(-T)\)
        Wenn Maschine bei geschlossenem Ventil abkühlt, öffnet es sich u.U. nicht mehr
  - - - In Verformung gespeicherte El. Energie
        \( U_{el} = \frac{EI}{2} \int_0^s [w''(x)]^2 dx \)
        
        Flächenträgheitsmoment Balken
        \(I=at^3/12\)
        
        Gesamtenergie
        \(U_{tot} = U_{el} + U_{adh}\)
        GGW
        \( \frac{\partial U_{tot}}{\partial s}|_{s=s_c} = 0 \)
        
        Balken kann nicht an Unterlage kleben, wenn
        \(l < s_c\)
- - - - Anpresskraft bei Eindruck bis \(h_0\)
        \(F_N = N \int_{h_0}^\infty c(z-h_0) \phi(z) dz \)
        
        Anheben der Ebene auf \(h_1\)
        
        Für \(h_1-h_0 > d_c\) bleiben alle Federn im Kontakt, deren unausgelenkte Lage größer als \(h_1-d_c\) war
        \(F_N = N \int_{h_1-d_c}^\infty c(z-h_1) \phi(z) dz \)
        
        Für \(h_1-h_0 \le d_c\) bleiben alle Federn im Kontakt
        \(F_N = N \int_{h_0}^\infty c(z-h_1) \phi(z) dz \)
      - Makroskopische Adhäsion nur für
        \(d_c >l\)
        mit \(l:\) Rauigkeit
        
        Max. Adhäsionskraft bei
        \( h_1 = h_0 +d_c\)
    - - Größen aller Mikrokontakte
        Anzahl der Mikrokontakte
        \( N = \int_{z=h_0}^\infty 1 \cdot N_0 \Phi(z)\text dz \)
        Kontaktfläche
        \(A = \int_{z=h_0}^\infty \pi R (z-h_0) \cdot N_0 \Phi(z)\text dz\)
        Normalkraft
        \(F_N = \int_{z=h_0}^\infty \frac{4}{3} E^* R^{1/2} (z-h_0)^{3/2}\cdot N_0 \Phi(z)\text dz\)
        Kontaktlänge
        \(L=\int_{z=h_0}^\infty 2\sqrt{R (z-h_0)}\cdot N_0 \Phi(z)\text dz\)
        
        Mittlere Größen des makroskopischen Kontakts
        Mittlere Kontaktfläche eines Asperiten
        \( \langle \Delta A\rangle = \frac{A}{N}\)
        Mittlerer Druck in realen Kontaktfläche
        \( \langle \sigma\rangle = \frac{F_N}{A}\)
        Quotient Kontaktlänge / Normalkraft
        \( \frac{L}{F_N} \)
        
        Länge entdimensionalisieren mit charakteristischer Länge l
        \(\xi = \frac{z}{l}, \quad\xi_0 = \frac{h_0}{l}\)
        \(z|_{h_0}^\infty \to \xi|_{\xi_0}^\infty\)
        \(\text dz = l \text d\xi\)
        Typischer Bereich für \(\xi_0\)
        Sehr starkes Zusammendrücken:
        \(\xi_0 = 0\Rightarrow A \approx \frac{A_0}{2}\)
        Höchstens einzelne Mikrokontakte:
        \(\xi_0 > 4\)
        Typischer Bereich von mittleren Normalkräften:
        \(\xi_0 \in [2.5, 3.5]\Rightarrow A\stackrel{\sim}{\in} [A_0\cdot 10^{-4}, A_0\cdot 10^{-2}]\)
        
        Mittlere Größen im typischen Bereich von mittleren Normalkräften
        Mittlere Kontaktfläche eines Asperiten
        \(\langle \Delta A\rangle = \frac{A}{N} \approx Rl\)
        Mittlerer Druck in realen Kontaktfläche
        \(\langle \sigma\rangle = \frac{F_N}{A} \approx 0.3 \cdot E^* \left(\frac{l}{R}\right)^{1/2}\)
        Quotient Kontaktlänge / Normalkraft
        \(\frac{L}{F_N} \approx \frac{3.7}{E^* l}\)
        
        Kontaktlänge-Normalkraft-Relation
        \(\frac{L}{F_N}\approx \frac{3.7}{E^*l}\)
        
        Beim Zusammendrücken der Körper (Verkleinerung von h_0):
        Anzahl der Mikrokontakte steigt
        Mittlere Größen ändern sich relativ schwach und bleiben praktisch konstant (im Gegensatz zu den einfachen Größen).
        
        Mittlerer Druck in der realen Kontaktfläche auch
        \( \langle \sigma\rangle = \frac{F_N}{A} \approx \frac{1}{2} E^* \nabla z \)
        mit Standardabweichung des Gradienten des OFprofils
        \(\nabla z = \sqrt{\langle z'^2 \rangle} \approx \left(\frac{l}{R}\right)^{1/2}\)
        
        Kriterium für das Auftreten von makroskopischer Adhäsion bei rauhen OF
        Rauigkeit spielt keine Rolle für Adhäsion
        \(|d_c| \gg l\)
        Adhäsionskraft verschwindet praktisch vollständig
        \(|d_c| \ll l\)
        
        Plastizitätsindex (\(\langle \sigma\rangle = \sigma_0 \))
        \(\Psi = \frac{E^* \nabla z}{\sigma_0}\)
        Mikrorauigkeiten vollständig im plastischen Zustand
        \(\Psi > 2\)
        OF beim Kontakt elastisch
        \(\Psi < 2/3\)
        
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        Einfache Größen wachsen beim Zusammendrücken der Körper (Verkleinerung von h_0) exponentiell schnell an
  - - - Mittlerer Druck d. Perkolationsgrenze
        
        Scheinbarer Druck d. Perkolationsgrenze
        \(\sigma_\text{Dicht}= \frac{F_0}{A_0} \approx \frac{1}{4}E^* \nabla z\)
        
        Durchsickergeschw. wird nie null, sondern nimmt mit Anpresskraft exp. ab, da OFGradient skalenabh.
      - \(A=A_0/2\)
  - - - Charakterisierung
        Widerstand
        \( R_E = \Delta U \cdot I^{-1} \)
        \( R_W = \Delta T\cdot \dot Q^{-1}\)
        \( 1/k = \Delta x \cdot F^{-1}\)
        Leitfähigkeit
        \(\Lambda_E = R_E^{-1} \)
        \( \Lambda_W = R_W^{-1}\)
        \( k\)
        
        Widerstand (/Nachgiebigkeit) eines Stabes (Länge L, Querschnittsfläche S)
        \( R_E = L S^{-1}\cdot \rho \) mit \( \rho\): Spezifischer Widerstand des Materials
        \( R_W = L S^{-1}\cdot\lambda^{-1} \) mit \( \lambda \): Spezifische Wärmeleitfähigkeit des Materials
        \( 1/k = L S^{-1}\cdot E^{-1}\) mit \( E\): Elastizitätsmodul des Materials
        
        Leitfähigkeit eines Mikrokontakts (Enge-Leitfähigkeit)
        
        \( \Lambda_E = 2a \cdot \rho^{-1} \)
        \( \Lambda_W = 2a \cdot\lambda \)
        \( k_N = 2a \cdot E^* \) (bei Normalbew.)
        \( k_T = 2a \cdot \frac{4G}{2-\nu}\) (bei Tangentialbew.)
        
        Gesamtleitfähigkeit des Kontakts proportional zur Kontaktlänge \(L := \sum 2a_i\)
        \( \Lambda_{E,ges} = L \cdot \rho^{-1}\)
        \( \Lambda_{W,ges} = L \cdot \lambda\)
        \( k_{N,ges} = L \cdot E^*\)
        \( k_{T,ges} = L \cdot \frac{4G}{2-\nu} \)
        
        Gesamtleitfähigkeit des Kontakts in abh. von der Normalkraft
        \( \Lambda_{E,ges} \approx \frac{3.7 F_N}{E^* l} \cdot \rho^{-1} \)
        \(\Lambda_{W,ges} \approx \frac{3.7 F_N}{E^* l} \cdot \lambda \)
        \( k_{N,ges} \approx \frac{3.7 F_N}{E^* l} \cdot E^* = \frac{3.7 F_N}{l} \)
        \( k_{T,ges} \approx \frac{3.7 F_N}{E^* l} \cdot \frac{4G}{2-\nu} \approx \frac{3 F_N}{l} \)
        
        Propotiional zur Normalkraft
        Unabh. von der scheinbaren Kontaktfläche (wie Reibungskraft)
        Nur Abh. von Höhenverteilung der rauhen OF, nicht abh. von R und dem OFGradienten
        
        Idealer Kontakt für Größen, die proportional zur Kontaktlänge sind
        Sättigung der Leitfähigkeit, wenn Kontaktlänge ca. gleich dem Durchmesser der scheinbaren Kontaktfläche,
        da Mikrokontakte nicht mehr als unabhängig betracht werden können.
        -> Kritische Normalkraft für idealen Kontakt
        \(F_{N,c} \approx \frac{DE^* l}{3.7}\)
        
        Vgl. mit idealem Materialkontakt
        Kriterium für idealen Materialkontakt (OF-Rauigkeit bis zur
        Hälfte „zerquetscht“)
        \(A = A_0/2\approx D^2/2\)
        -> Kritische Normalkraft
        \(F_0 \approx \frac{D^2}{4}E^* \nabla z\)
        
        Für \(D_0>l/\nabla z\) wird schneller ein idealer Linienkontakt erreicht. Das ist bei den meisten Kontakten mit Abmessungen größer als 0,1 mm der Fall.
        
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        Robustheit von elektrischen und thermischen Kontakten
        
        \(L^2 = A_0\) obwohl \(A\ll A_0\)
        \(L/F_N =f(l) \neq f(R)\)
        Kontaktlänge nur abh. von Rauheit nicht von Wellenlänge
        -> gut messbar, hängt nicht von Genauigkeit der Messung ab
      - Schaltung
        Reihe
        \( R_\text{ges} = \sum R_i \)
        Parallel
        \( \Lambda_\text{ges} = \sum \Lambda_i \)
- - - - Entkoppelter Tangential- und Normalkontakt
        z-Verschiebung spielt keine Rolle für Tangentialkontakt, falls Wölbungen der Kontaktkörper zueinanderpassen. Dies ist der Fall, wenn Körper el. ähnlich:
        \(\frac{1-2\nu_1}{G_1} = \frac{1-2\nu_2}{G_2}\)
        
        Beispiele
        Zwei gleiche Körper
        Starrer Körper (\(G_1\to\infty\)) || Elastomer (\(1-2\nu_2 \to 0\))
      - Querkontraktion hierfür nicht ursächlich
        (z.B. für inkompressible Medien gibt es keine Wölbung)
  - - - x-Verschiebung durch Integration
        \(u_x = \frac{\tau_1 \pi}{32Ga} [4(2-\nu)a^2 - (4-3\nu)x^2 - (4-\nu)y^2] \\ -\frac{\tau_2 \pi}{32Gc} [4(2-\nu)c^2 - (4-3\nu)x^2 - (4-\nu)y^2]\)
        \(u_y = 0\) (Symmetrie)
        \(u_z \neq 0\) aber Ann. Kontakt entkoppelt
        
        Anpassen an Kontaktbedingungen -> Spg.extrema
        Gleiten für \(r\in[c,a]\)
        \(\tau(r) = \mu p(r) \\ \Rightarrow \tau_1 = \mu p_0 \)
        Haften für \(r\in[0,c]\)
        \(u_x(r) = konst. \\ \Rightarrow \tau_2 = \mu p_0 \frac{c}{a}\)
        
        Tangentialkraft
        \(F_x = \frac{2}{3} \pi (\tau_1 a^2 - \tau_2 c^2) \\ = \frac{2\pi}{3a}\mu p_0 (a^3-c^3)\\ = \mu F_N (1-(c/a)^3)\)
        
        Verhältnis von Haft- und Gleitradius
        \( \frac{c}{a} = (1-\frac{F_x}{\mu F_N})^{1/3} \)
        
        Übergang vom part. zum vollst. Gleiten bei
        \(F_x = \mu F_N\)
        
        Verschiebung
        \(u_x = \frac{(2-\nu)\pi \mu p_0}{8Ga}(a^2 -c^2)\)
        
        Max. Verschiebung für c=0
      - Fretting
        Am Rande des Kontaktes ein ringförmiger Gleitbereich
        -> Bei periodischer Beanspruchung wird Material dementsprechend nur in diesem Gebiet verschlissen
        
        Fretting vs. Ermüdung
        Spg am Rand vergrößern durch Verwendung eines Flschstempels -> Höhere Spg.konzentration, schnellere Ermüdung
  - - - Verschiebung durch Integration
        \(u_x = \frac{\pi (2-\nu)}{4G}\tau_0 a = konst. \\ \Rightarrow \tau_0 = \frac{4G}{\pi(2-\nu)a} u_x\)
        \(u_y = 0\) (Symmetrie)
        \(u_z \neq 0\) aber Ann. Kontakt entkoppelt
        
        Integration der Spannungsvert.
        -> Tangentialkraft
        \(F_x = \int_0^a \tau(r) 2\pi r dr \\ = 2\pi\tau_0 a^2\\ = \underbrace{\frac{8Ga}{2-\nu}}_{=k_T} u_x\)
      - Kein Schlupf für
        \(\tau<\mu p\)
- - - - Spannungsverteilung im stationären Rollkontakt
        
        Lage des Haftgebiets/Gleitgebiets immer gleich.
        Tangential-Spannungsverteilung ändert sich
        -> Gleitrichtung ändert sich
        -> Schlupf ändert sich
        
        Rad Angetrieben
        Spg.vert. und Geschw. entgegengesetzt
        -> Gleiten nach außen
        -> Schlupf negativ
        
        Rad lateral mit Kraft belastet
        Spg.vert. und Geschw. senkrecht
        -> Gleiten quer
        -> Schlupf = Winkel(Orientierung Rad - Fahrtrichtung)
        
        Rad Gebremst
        Spg.vert. und Geschw. gleichgerichtet
        -> Gleiten nach innen
        -> Schlupf positiv
        
        Rad mit Torsionsmoment um vert. Achse belastet
        Spg.vert. nicht homogen, entspricht Torsion
        -> Gleiten: nicht homogen, entspricht Torsion
        -> Schlupf: nicht homogen, entspricht Torsion
      - Tangentialkraft
        \(F_x^{(1)} = \frac{2}{3}\pi a^2 \tau_1\)
        \(F_x^{(2)} = -\frac{2}{3}\pi c^2 \tau_2\)
      - Verschiebung der OF
        \(u_x^{(1)}(x,y) = \frac{\pi}{32G} \left\{ \frac{\tau_1}{a} \left[ 4(2-\nu)a^2 - (4-3\nu)x^2 - (4-\nu)y^2 \right] \right\}\)
        \(u_x^{(2)}(x,y) = \frac{\pi}{32G}\left\{ -\frac{\tau_2}{c} \left[ 4(2-\nu)c^2 - (4-3\nu)(x-d)^2 - (4-\nu)y^2 \right] \right\}\)
        
        Deformation
        \(\epsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = \frac{\pi (4-3\nu)}{16G} \left[ -\frac{\tau_1}{a}x + \frac{\tau_2}{c}x -\frac{\tau_2}{c}d\right]\)
        
        Konstante Deformation im Haftgebiet -> Haftbedingung für Rollkontakt
        \(\epsilon_{xx}=\text{konst.} \Rightarrow \tau_2 = \frac{c}{a}\tau_1\)
        
        Tangentialkraft
        \(F_x = \mu F_N \left( 1- \left(\frac{c}{a}\right)^3 \right)\)
        
        Verhältnis von Haft- und Gleitradius
        \(\frac{c}{a} = \left(1-\frac{F_x}{\mu F_N}\right)^{1/3}\)
        
        Deformation/Schlupf
        \(\epsilon_{xx} = s = -\frac{3(4-3\nu)\mu F_N}{32Ga^2}\left[ 1-\left(1-\frac{F_x}{\mu F_N} \right)^{1/3} \right] \\= -\frac{(4-3\nu)\mu a}{4(1-\nu) R}\left[ 1-\left(1-\frac{F_x}{\mu F_N} \right)^{1/3} \right]\)
        
        Elastischer Schlupf
        \(s_\text{el} \approx -\frac{(4-3\nu) F_x}{32Ga^2}\)
        
        Coulombsche Reibung im Gleitgebiet -> Gleitbedingung für Rollkontakt
        \(\tau^{(1)}(x,y)=\mu p(x,y) \Rightarrow \tau_1 = \mu p_0\)
  - - - Kraftschlussdiagramm
      - Elastischer Schlupf
        mit Taylorreihe nach \(\frac{F_x}{\mu F_N}\)
        \(s_\text{el} \approx - \frac{aF_x}{2RF_N},\ F_x<<\mu F_N\)
        für s=1: s_el = 1/2
      - Durch Gleiten verursachter Schlupf
        = Schlupf - el. Schlupf
    - - Verschiebung der OF
        \(u_x^{(1)}(x) = konst. - \tau_1\frac{x^2}{aE^*}\)
        \(u_x^{(2}(x) = - konst. + \tau_2\frac{(x-d)^2}{cE^*}\)
- - - - Kinetischer Reibungskoeffizient
        \(\mu_k\)
        
        Oft
        \(\mu \approx u_k \approx \mu_s\)
        
        Abhängigkeiten
        Material
        Gleitgeschw. (schwach)
        
        Kontaktzeit
        Die Haftreibungskraft steigt logarithmisch mit der Kontaktzeit.
        
        Ursachen
        Kriechprozesse (Metalle)
        Wachstum der wahren Kontaktfläche in Mikrokontakten
        Schnelligkeit des Wachstums, steigt mit Temp., fällt ab mit steigender kontaktfläche.
        Viskoelastizität (Elastomere)
        Zunahme der Kontaktfläche infolge der Viskoelastizität des Materials
        Kapillarkräfte (allg.)
        
        Gleitgeschwindigkeit
        Häufige grobe Annahme:
        keine Abhängigkeit
        Für viele Anwendungen
        Genaue Abhängigkeit der Gleitreibungskraft wichtig
        
        Reibungsinstabilitäten
        Nimmt die Reibungskraft mit der Geschwindigkeit ab, so ist das stationäre Gleiten in der Regel nicht stabil.
        
        Normalkraft
        Lineare Abhängigkeit der Reibungskraft von der Anpresskraft nur in einem bestimmten Kraftbereich.
        Nicht mehr gültig, wenn reale und scheinbare Kontaktfläche vergleichbar.
        Metall
        Mehrere Dezimalgrößenordnungen der Anpresskraft
        Weiche Metalle und Elastomere
        Reale und scheinbare Kontaktfläche sind schnell vergleichbar
        Stahl || Teflon
        Sublineare Abh.\(\mu = f^-(F_N)\)
        
        Temperatur
        
        Schmelztemp. d. Zwischenschicht oder Verbrennung der Fette an OF typischerweise bei 300-400 °C
        
        OFRauheit
        In großen Bereichen der Rauheit von Oberflächen hängt die Reibungskraft nicht bzw. nur sehr gering von der Rauigkeit ab.
        Entgegen der Erwartung kann der Reibungskoeffizient für besonders glatte metallische Oberflächen sogar größer sein als bei rauen Oberflächen.
        Der Einfluss der Rauigkeit auf die Reibung hängt von vielen Faktoren ab, unter anderem von der Anwesenheit von Verunreinigungen oder flüssigen Zwischenschichten im tribologischen Kontakt
        
        Feuchtigkeit der Atmosphäre
        Je feuchter, desto dicker die Flüssigkeitsschichten auf OF.
        
        Superposition der Reibungskoeffizienten von verschiedenen Skalen
        \(\mu = \tan(\theta_0 + \theta_1)\)
        Zur Superposition zwischen den Skalen müssen nur die jeweiligen Reibwinkel addiert werden.
        
        Unabhängig von
        Scheinbarer Kontaktfläche
        Rauigkeit (im Ggs. zu geschmierter Reibung)
        
        Universeller Reibungskoeff. für alle Metalle,
        die so rauh sind, dass Spitzen sich pl. deformieren,
        die aber nicht adhieren, da normal dreckig
        \(\mu\in[0.16,0.2]\)
    - - Statischer Rebungskoeffizient
        \(\mu_s\)
        
        Reibungswinkel
        Einfachste experimentelle Methode zur Bestimmung des Reibungskoeffizienten
        
        Beim Erreichen des Reibungswinkels erreicht die Haftkraft ihren maximalen Wert. Aus Kräftegleichgewicht in diesem kritischen Zustand
        \(\tan\theta = \mu_s\)
        
        Vorstellungen von Coulomb über Ursachen
        
        \(\mu_s = \tan\theta_{max}\)
  - - - \(F_s = \underbrace{\frac{\tau_c}{\sigma_0}}_{\approx 3^{-3/2}\approx\mu} F_N\)
        
        Dünne weiche Zwischenschicht
        
        \(\mu = \frac{\tau_\text{Schicht}}{\sigma_0}\)
        mit \(\tau_\text{Schicht}\ll \tau_c\)
        
        Konstruktiver Ansatz für Materialien in tribologischer Anwendung
        Steife Matrix, deren Poren mit weicherem Material gefüllt sind. -> Material schmiert OF bei Verschleiß
- - - - Bedingung an Potential für Instabilitäten
        
        \(\frac{\partial^2}{\partial x^2} U(x,x_0) = \frac{\partial}{\partial x} U(x,x_0) = 0\)
        
        Anti-Rutsch-Fkt nur bei Instabilitäten
        -> Bedingung für Instabilität
        \(c_\parallel < 2 c_\perp h_0^2 k^2\)
  - - - Minimales Modell für Reibung
        Statische Reibungskraft \(F_s = N\)
        Stat. GGW für \(F < N\) wobei \(N=f^+(F_N)\)
        Aufrechterhaltung der Bew. wegen Trägheit auch für \(F < F_s \)möglich
        Dissipation
        einfachste Art Dissipation zu berücksichtigen \(\eta \dot x\)
      - Übergedämpft:
        Dämpfung so groß, dass Trägheit vernachlässigbar
        -> DGL analytisch lösbar
        \(F = \sqrt{N^2 + (\eta \bar v)^2}\)
      - Untergedämpft
        DGL mit Trägheitsterm nur numerisch lösbar
        
        Umformung auf Sys. mit nur 2 dimensionslosen Parametern mit Koord.Trafo
        \(x = \xi \tilde x\) mit char. Länge \(\xi\)
        \(t = \tau \tilde t\) mit char. Zeit \(\tau\)
        \( \tilde x '' + \underbrace{\frac{\eta}{\sqrt{kmN}}}_{=\kappa_1} \tilde x' + \sin\tilde x = \underbrace{\frac{F}{N}}_{=\kappa_2} \)
        
        Vergleich: F/N im stat. GGW für untergedämpft und untergedämpft
        
        \(\kappa_{1,c} = 1.193\)
  - - - Statisches GGW
        \(\frac{\partial}{\partial x}U = c(x_0-x)\)
        
        Keine el. Instabilitäten, wenn
        Steifigkeit c ausreichend groß, sodass für alle \(x_0\) eindeutige Schnittpunkte ex.
        
        Kontinuierliche Bewegung
        
        Keine makrosk. Reibung
        \(\langle F \rangle = 0\)
        
        El. Instabilitäten, wenn
        Steifigkeit c ausreichend klein, sodass nicht für alle \(x_0\) eindeutige Schnittpunkte ex.
        
        Sprünge in neues GGWa
        
        Makrosk. Reibung
        \(\langle F \rangle \neq 0\)
        
        Für Potential \(U = N\sin kx\)
        ->\(U' = Nk \cos kx\)
        Kritische Steifigkeit
        \(c_c = Nk\)
  - - - Graphitplatten
        
        Reibungskraft bei Verdrehung der Kristall-Orientierung
      - Gewellte Gummisohle auf gewellter Stahlplatte
        Solange die Perioden der Strukturen an beiden Flächen verschieden sind und keine elastischen Instabilitäten auftreten, geben diese Strukturen keinen Beitrag zur Haftreibung
- - - - Stationäre Lsg für \(\ddot x =0, \dot x = v_0\):
        \(x = x_0 +v_0 t\) mit \(x_0 = -F(v_0) / c\)
        
        Stabilität dieser Lösung bezüglich immer vorhandener Störungen
        Ansatz mit schwacher Störung
        \(x = x_0 +v_0 t +\delta x\) mit \(\delta\dot x \ll v_0\)
        in Bew.gl. einsetzen
        
        Linearisierung -> DGL für Störung
        \(m \delta \ddot x + \underbrace{(\eta + \frac{dF(\dot x)}{d\dot x}|_{\dot x = v_0})}_{=\alpha} \delta \dot x + c\delta x = 0 \)
        -> beschreibt die Schwingung eines Körpers mit der Masse m an einer Feder mit der Steifigkeit c in Anwesenheit einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung \(\alpha\)
        
        Stabile Bewegung für
        \(\alpha >0\)
        
        In einem System ohne Dämpfung
        Stabilitätsbedingung nur abh. von Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft
        
        Abhängigkeit der Stabilitätsbedingungen von der Steifigkeit des Systems
        
        Typische Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft
        
        Die betrachtete Art der Instabilität lässt sich beheben, indem im System eine ausreichend große Dämpfung eingeführt wird.
        
        Frequenz der schwach gedämpften Schwingungen
        \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - (\alpha/2)^2}\) mit \(\omega_0^2 = c/m\)
        
        Die charakteristische Frequenz der nach diesem Mechanismus erregten Schwingungen wird praktisch nur durch die Eigenfrequenz des „Resonators“ (des Tribosystems als Ganzes) bestimmt.
        Oft: Relative Geschwindigkeit der Körper und die Rauheit der Oberflächen beeinflusst nur die Intensität der akustischen Emission bei Reibung
        
        Stationäre Bewegung kann nur dann realisiert werden, wenn sie stabil relativ zu kleinen Störungen ist.
        Anderenfalls schaukelt sich das System auf – das Ergebnis ist eine periodische oder chaotische Schwingung.
        
        Stick-Slip-Bewegung
        Ist die Schwingungsamplitude so groß, dass die relative Geschwindigkeit der reibenden Oberflächen zeitweise Null wird, so besteht die Bewegung aus wechselnden Phasen von Ruhe (Stick) und Gleiten (Slip)
        
        Unter bestimmten Bedingungen kann es passieren, dass eine stationäre Bewegung des Tribosystems überhaupt nicht existiert. In diesem Fall ist nur eine oszillierende Bewegung möglich.
        
        Beispiel: Sprag-Slip Bewegung
  - - - Randbedingungen
        \(u(z=-l) = 0\)
        \( G \frac{\partial}{\partial z} u|_{z=0} = \sigma_{Reib}(v_0 - \dot u|_{z=0}) \)
        
        Stationäre Lösung
        \( G \frac{\partial}{\partial z} u|_{z=0} = \sigma_{Reib}(v_0 ) = konst. \)
        \(\Rightarrow u_s(z) = \frac{\sigma_{Reib}(v_0 )}{G} (z +l)\)
        
        Stabilität d. stat. Lös.
        Ansatz
        \(u(z) = u_s(z) + \delta u(z)\)
        in Bew.gl.
        
        Störung entspricht auch tangentialer Schwingung einer Schicht
        \( \frac{\partial^2}{\partial t^2} \delta u = \frac{G}{\rho} \frac{\partial^2}{\partial z^2} \delta u \)
        mit RB
        \(\delta u(-l) = 0\)
        \( G \frac{\partial}{\partial z} u_s|_{z=0} + G \frac{\partial}{\partial z} \delta u|_{z=0} = \sigma_{Reib}(v_0 - \delta \dot u|_{z=0}) \\ \approx \sigma_{Reib}(v_0) - \frac{\partial \sigma_{Reib}(v_0)}{\partial v_0}\delta \dot u|_{z=0})\)
        
        Lösung
        \( G \frac{\partial}{\partial z} \delta u|_{z=0} = - \frac{\partial \sigma_{Reib}(v_0)}{\partial v_0}\delta \dot u|_{z=0})\)
        
        Für reine Coulombsche Reibung
        \(\frac{\partial \sigma_{Reib}(v_0)}{\partial v_0} = 0\)
        Ungedämpfte Schwingung
        
        Instabilität kann durch Einführung einer Dämpfung an einer beliebigen Stelle des Systems bekämpft werden.
        Wichtig ist nur, dass bei gegebener Schwingungsform der Energiezuwachs durch alle negativen Dämpfungen (die sich aus der negativen Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibungskraft ergeben) mittels Energiedissipation über positive Dämpfungen kompensiert wird.
- - - - Quasistatische Strömung -> Trägheitsterm vernachlässigen
        \(\eta \Delta \vec v = \nabla p\)
        
        stationäre Strömung in der x-Richtung
        \(v_x = v(z), v_y = 0\)