Transformada de Laplace

Definición y propiedades de la transformada de Laplace.

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.

Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace

  1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo [0,+∞)
  1. Ser de orden exponencial α

Transformada Directa

La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales.

Transformada inversa

La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

Transformada de derivadas (teorema)

Este teorema es muy útil ya que es precisamente este el que se usa para transformar ecuaciones diferenciales al espacio S, lo cual permite solucionarlas de forma más ágil siempre y cuando se tenga un problema de valor inicial en t=0

Transformada de integrales (teorema)

,La transformada de Laplace de una integral en un intervalo de cero a t, la cual tiene como resultado entonces a F(s)/s, donde F(s) no es más que la transformada de Laplace de f(t).

Teorema de convulsión

la convolución se define de la siguiente manera: f*g= ∫f(τ)g(t-τ)dτ, evaluada entre cero y t. El teorema de convolución nos dice que la transformada de Laplace para la convolución se halla con la siguiente expresión: L[fg)]=L[f(t)]L[g(t)]= F(s)G(s), además nos dice algo más importante aun acerca de la transformada inversa, nos dice que: L^-1[F(s)G(s)]=f*g, es decir podemos hallar la transformada inversa de la multiplicación entre dos funciones, si tenemos alguna manera de hallar la convolución entre ellas.

Transformada de Laplace de una función periódica

Funciones periódicas
Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc.

solución de ecuaciones diferenciales

Usamos las condiciones iniciales del problema encontramos la solución que satisface esa condición inicial a diferencia de los otros procedimientos en donde las ecuaciones quedaban en términos de unos parámetros que tenían que ser hallados aplicando las condiciones. Recordemos alguna de las fórmulas de las transformadas de las derivadas más comunes y que aparecen en estos tipos de problemas, tenemos que L[y’]=SY(s)-f(0), L[y’’]=(S^2)Y(s)-Sy(0)-y’(0), L[y’’’]=(S^3)Y(s)-(S^2)y(0)-sy’(0)-y’’(0).