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Funciones, Definición, Es, Es, Ejemplo, Está conformada por, Función…

- - - - Una variable cuyo valor no está sujeto al de otra variable
      - Es representada por x (eje de las abscisas)
      - El conjunto de valores definidos en la variable independiente recibe el nombre de "Dominio"
    - - Es representada por y (eje de las ordenadas)
      - Una variable cuyo valor está sujeto a la variable independiente
      - Al conjunto de valores definidos en la variable dependiente se le denomina "Rango"
  - - - Expresión algebraica racional entera
        
        Variables no determinadas/indefinidas
        
        Constantes
        
        Ejemplo de un polinomio
      - Función definida por una expresión con polinomios
        
        Características generales
        
        Cortan el eje X máximo un número de veces igual al grado de la función.
        
        Al eje Y lo intercepta en el punto (0, a0)
        
        el dominio de definición es el conjunto de los números reales.
        
        el # de max. y min. relativos = al grado menos uno de la función
    - - Función constante
        
        f(x)=k
        
        Función lineal en donde el rango (y) no cambia
        
        f(x) = 3
      - Función cuadrática
        
        f(x) = ax^2
        
        Función polinomial de grado 2
        
        f(x) = 3x^2
        
        f(x) = 3(-2)^2
        
        f(x) = 3 x 4
        
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      - Función identidad
        
        f(x)= x
        
        Función polinomial donde para cada valor de la variable independiente corresponde un valor igual de la variable dependiente
        
        f(x)= x
      - Función cúbica
        
        f(x)=x^3
        
        Función polinomial de grado 3
        
        f(x) = x^3 + 3
        
        f(x) = (2)^3 + 3
        
        f(x) = 8 + 3
        
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      - función de 4° grado.
        
        f(x)=x^4
        
        Función polinomial de grado 4
        
        f(x) = x^4 - 5
        
        f(x) = (-1)^4 - 5
        
        f(x) = 1 - 5
        
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      - Función lineal
        
        f(x)=mx
        
        Función polinómica de grado 1
        
        f(x) = 2x + 6
        
        f(x) = 2(-4) + 6
        
        f(x) = -8 + 6
        
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    - - Factorización
        
        La ecuación 6a^2 + 18a = 0 es una ecuación
        cuadrática equivalente a la forma:
        ax^2 + bx + c = 0, con c = 0.
        
        Empezamos por factorizar el lado izquierdo de la ecuación: 6a^2 + 18a = 0
        
        6 es el factor común de 6a^2 y 18a:
        6(a^2+3a)=0
        
        "a" es factor común de a^2 y 3a:
        6a(a+3a)=0
        
        El factorizar un polinomio, es a grosso modo descomponerlo en un producto de polinomios primos.
        
        Los polinomios irreducibles son aquellos de grado cero (números), grado 1 y grado 2 o mayor que no cuente con raíces reales.
        
        Factor común.
        
        Igualdades notables
        
        recordemos que las igualdades o productos notables son identidades que permiten simplificar cálculos.
        
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        Regla de Ruffini.
        
        solucionar la ecuación de segundo grado.
        
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      - Una función cuadrática se puede solucionar mediante
        
        Una tabla de valores
        
        Formando parejas ordenadas
        
        Mediante el método grafico, para resolver de esta manera se necesita conocer cualquiera de los otros dos métodos.
      - Una función lineal se puede solucionar mediante
        
        Una tabla de valores
        
        Formando parejas ordenadas
        
        Mediante el método grafico, para resolver de esta manera se necesita conocer cualquiera de los otros dos métodos
    - - se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
        
        Como notamos en la imagen, se repiten muchos términos en el proceso, se pueden retirar los términos 2x^4,-2x^3, -4x^2, x, los cuales fueron restados.
        
        De igual manera
        
        No necesitamos najar los términos 0x^2, 9x, 10
        
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      - Pasos para realizarla.
        
        Ordenamos los coeficientes de los términos de mayos a menor de las potencias de x hasta llegar al exponente cero, rellenamos con coeficientes cero donde hace falta.
        
        Escribimos "C" en la parte derecha del renglón
        
        Bajamos el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.
        
        Ese último coeficiente lo multiplicamos por "C" para encontrar el primer número del segundo renglón.
        
        Se simplifica de manera vertical para encontrar el segundo número del tercer renglón.
        
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        Ojo, en el primer espacio de la izquierda no se escribe nada.
    - - Un polinomio f(x) tiene un factor x-c (binomio) únicamente si f(c) = 0 (c es una raíz)
        
        (x-2), x^3 + 5x^2 - 2x - 24
        
        f(2) = (2)^3 + 5(2)^2 - 2(2) - 24
        
        f(2) = 8 + 20 - 4 - 24
        
        f(2) = 0
        
        Debido a que el resultado es 0, en base al teorema del factor, el binomio x-2 es factor de f(x)
    - - Nos dice que si divido un polinomio de la forma (x-a) el resto es el valor numerico de dicho polinomio cuando la x=a
        
        (3x^3-2x^2+3x-1) : (x-1)
        
        Si quiero saber el resto de la división anterior no es necesario que lo haga con calcular el valor del polinomio cuando la x vale uno, se puede hacer una comprobación haciendo la división mediante el método de Ruffini
        
        Resto=P(1)=(3)1^3-(2)1^2+3(1)-1=3
    - - Un método que nos permite obtener las raíces de un polinomio de forma simple
        
        Escoger una posible raíz (factor) del polinomio en cuestión y realizar una tabla, si el ultimo producto es 0, significa que el numero en cuestión si corresponde a una raíz del polinomio
        
        x^4 + 7x^3 + 13x^2 -13x -18
        
        1 es raíz del polinomio
        
        -2 es raíz del polinomio
        
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- - - - Dado que su comportamiento hace parecer que son dos funciones las representadas, podría decirse que una función racional también es definida como una razón de dos polinomios
    - - f(2) = 2(2) - 5 / 2 - 3
        
        f(2) = 4 - 5 / -1
        
        f(2) = -1 / -1
        
        f(2) = 1
      - f(4) = 2(4) - 5 / 4 - 3
        
        f(4) = 8 - 5 / 1
        
        f(4) = 3 / 1
        
        f(4) = 3
    - - El dominio de una función racional se escribe en relación a un único digito en el eje X por el cual la función no cruza. O si es que cruza el dominio sería representado por todos los números reales (R)
        
        f(x) = 2x - 5 / x - 3
        
        x - 3 = 0
        
        x = 3
        
        Df : R - {3}
    - - El rango en una función racional es representado con respecto a un numero en el eje Y por el cual el trazo de la función no pasa, o si es que pasa el rango sería representado por todos los números reales (R)
        
        f(x) = 2x - 5 / x - 3
        
        2 / 1
        
        Rf : R - {2}
    - - Recta a la que la curva de una función racional se acerca de manera infinita sin tocarla.
        
        Asíntotas Verticales
        
        Podemos encontrarla a partir del proceso de determinar el dominio de la función.
        
        Tal que F(x) = p(x)/ q(x), donde tanto p y q son polinomios sin factores comunes, determinamos valores de a donde q(a)=0, así que sabemos que x= a así que es una asíntota vertical de la gráfica de la función.
        
        La recta x=a es asíntota vertical de la gráfica de la función f(x) si.
        
        f(x) → ∞ Cuando x → a+
        
        f (x) → -∞ Cuando x → a-
        
        Asíntotas Horizontales
        
        Existen tres casos a conocer.
        
        Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces, la asíntota horizontal es el eje x, es decir y=0.
        
        Si el grado del numerador es igual al grado de denominador, la asíntota es y=coeficiente principal del numerador entre coeficiente principal del denominador.
        
        Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces no hay asíntota horizontal.
        
        Asíntotas oblicuas
        
        La asíntota de una función racional será oblicua si y solo sí.
        
        La función no tiene así asíntota horizontal.
        
        La resta del grado den numerador menos el grado del denominador da como resultado 1 a parte de no tener A.H
        
        Y= mx+ n o y= cociente de la función.
    - - Su dominio está definido por todos los números reales excluyendo las raíces del denominador
      - Tiene asíntotas verticales en las raíces del denominador que no sean raíces del numerador
      - Si el grado del numerador es menor o igual al grado del denominador, la función tiene una asíntota horizontal
      - Si el grado del numerador es superior por una unidad al del denominador, la función tendrá una asíntota oblicua (diagonal)
- - - - f(2) = √2^2 - 4
        
        f(2) = √4 - 4
        
        f(2) = √0
        
        f(2) = 0
      - f(-2) = √-2^2 - 4
        
        f(-2) = √4 - 4
        
        f(-2) = √0
        
        f(-2) = 0
      - Debido a que la variable en la función se encuentra elevada al cuadrado, en la gráfica se trazarán 2 ramas.
    - - El desplazamiento vertical se representa con el parámetro
        b
        h(x)=√x+b
      - El desplazamiento horizontal se presenta con el parámetro h
        g(x)=√x+h
      - Se modifica la abertura de la curva con el parámetro a f(x)=a√x
      - Reflexión con respecto al eje X h(x)= -√x
      - Reflexión con respecto al eje Y h(x)= √-x
- - - - Dominio y Rango
        
        El dominio corresponde al conjunto de números reales y el rango a todos las números reales positivos.
      - Intersecciones con los ejes
        
        A menos que hayan desplazamientos en la función, la intersección con el eje Y se encontrará en 1 (pues todo número elevado a 0 es 1). No hay intersección con el eje X a menos que haya un desplazamiento.
        
        La función a menos que sufra un desplazamiento tendrá una asíntota horizontal en el eje x
      - Creciente o decreciente
        
        la función será creciente cuando b> 1 y decreciente cuando 0<b<1
    - - Reflexión con respecto al eje de las ordenadas
        
        La reflexión se presenta cuando la función base es, por ejemplo f(x)= b^x y la reflexión se presenta como f(x)= 1/b^x o como f(-x)= b^-x
      - Reflexión con respecto al eje de las abscisas
        
        De la funcion f(x)=ab^x, el parametro a representa una reflexion, por ejemplo f(x)=-ab^x, la base no es negativa si no esta entre parentesis, por lo que el valor de a es a=-1
    - - Desplazamiento vertical
        
        Para la funcion f(x)=b^x+c, si c>0, la funcion se desplaza en el sentido positivo del eje Y, si c<0 se desplaza en el sentido negativo del eje Y
      - Desplazamiento horizontal
        
        Estos desplazamientos están expresados como un factor, por ejemplo f(x)=b^(x-c), donde se toma el factor, se iguala a 0 x-c=0 y se obtiene el desplazamiento x=c
- - - - La función logarítmica puede presentarse de 2 formas:
        f(x)= log x ó bien f(x)= log a(x)log a(x)= y
        
        Cuando se usa y= log x se refiere al logaritmo en base 10 y se le llama logaritmo común, se denota omitiendo la base 10
        log x = log 10(x)
        
        La notación y= log a(x) indica que se tiene como base una constante llamada base del logaritmo y a≠0, tiene como características
        ser positiva a>0 y diferente de uno a≠1
        
        Dominio y Rango
        
        El dominio de la función logarítmica es de (0,∞) y el rango es de ( -∞,∞)
    - - f(x) = log10(2x) + 2
        
        f(1/2) = log10(2(1/2)) + 2
        
        f(1/2) = log10(1) + 2
        
        f(1/2) = 0 + 2
        
        f(1/2) = 2
  - - - El número e está definido como un irracional y es una constante que se obtiene cuando n→∞ en la expresión (1+1/n)^n
        
        El valor de e que se obtiene con nueve cifras es
        e ≈ 2.718281827
        
        Aunque la función logaritmo natural puede expresarse como: loge, la forma más común de denotarlo es: ln
        
        El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural (ln) y se representa con la función
        ln x = loge x
        
        La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial natural, entonces se tiene que: ln x = y ⇔ e^y = x
    - - f(x) = ln(-x) - 3
        
        f(-1) = ln(1) - 3
        
        f(1) = 0 - 3
        
        f(1) = - 3
- - - - Seno
        
        f(x) = sen(x)
        
        f(2) = sen(2)
        
        f(x) = 0.9092
        
        Grafica
      - Coseno
        
        f(x) = cos(2x)
        
        f(x) = cos(2(3))
        
        f(x) = cos(6)
        
        f(x) = 0.96017
        
        Gráfica
      - Tangente
        
        f(x) = tan(3x) -3
        
        f(1) = tan(3(1)) -3
        
        f(1) = tan(3) -3
        
        f(1) = -0,142547 - 3
        
        f(1) = -3,1425
        
        Gráfica
      - Cotangente
        
        f(x) = cot(x) + 1
        
        f(-2) = cot(-2) + 1
        
        f(-2) = 1/tan(-2) + 1
        
        f(-2) = 0.4576 + 1
        
        f(-2) = 1.4576
        
        Gráfica
      - Secante
        
        f(x) = sec(2x) - 3
        
        f(-3) = sec(2(-3)) - 3
        
        f(-3) = 1/cos(6) - 3
        
        f(-3) = 1.0414 - 3
        
        f(-3) = -1.9585
        
        Gráfica
      - Cosecante
        
        f(x) = csc(x) + 4
        
        f(-5) = csc(-5) + 4
        
        f(-5) = 1/sen(-5) + 4
        
        f(-5) = 1.0428 + 4
        
        f(-5) = 5.0428
        
        Gráfica
    - - Grados → Radianes
        
        180° / π
      - Radianes → Grados
        
        π / 180°
    - - Son aquellas funciones trigonométricas que están definidas en un circulo de radio "1" donde se divide a la circunferencia en π radianes y se obtienen diferentes valores dependiendo del valor que tenga el arco de la división
        
        En estas se divide a π en algún numero y dependiendo del valor que se obtenga del coseno y seno del ángulo obtenido de la conversión, se obtendrá X y Y respectivamente
        
        Ejemplos
        
        π/4 = 45°
        
        π/6 = 30°
        
        π/3 = 60°
    - - Las funciones seno y coseno tienen un dominio definido en todos los números reales
      - Si no ocurre una traslación horizontal, las funciones seno y tangente son simétricas al origen
      - El comportamiento de las funciones trigonométricas en el plano es de tipo periódico
      - La función coseno es siempre simétrica respecto al eje de las abscisas (Y)