RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES Y FUNCIONES

REALIZADO POR: JOSUÉ DAVID FLORES ALEJANDRO

1. PRODUCTO CARTESIANO

5. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

2. FUNCIÓN BIYECTIVA Y FUNCIÓN INVERSA

4. MONOTONÍA DE FUNCIONES Y ÁLGEBRA DE FUNCIONES

3. TIPOS DE FUNCIONES

Regla de Correspondencia

Dominio

Es el conjunto de todas las combinaciones de pares ordenados de dos conjuntos dados tal que la primera componente pertenece a uno de los conjuntos y la segunda componente al siguiente conjunto

Recorrido

Propiedades del producto cartesiano

Captura4

Establece la forma en que los elementos del primer conjunto se relacionan con el elemento del segundo conjunto, puede representarse de diversas maneras.

Se define como el conjunto de valores de la variable independiente para los que se puede calcular el valor de la variable y.

Dominio de una función racional

Dominio de una función polinómica

Dominio de una función irracional

La x puede aparecer sumando, restando, multiplicando o elevada a
algún exponente

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Las funciones racionales existen para todo R, menos para los valores que hacen 0 el denominador. Para calcular el dominio se deben encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R.

Dominio de una función logarítmica

Dominio de una función exponencial

Las funciones irracionales son aquellas en las que aparece una raíz. Las de índice impar existen siempre. Las de índice par, existen siempre que su contenido sea igual o mayor que cero.

Las funciones logarítmicas con aquellas que la x está dentro de un
logaritmo. Existen siempre y cuando el contenido del logaritmo no sea 0 o un número negativo, es decir, existirán siempre y cuando el contenido del logaritmo sea mayor que 0.

El dominio de una función exponencial, es decir, un número elevado a una función o el número e elevado a una función, es todo el conjunto de los números reales.

Es el conjunto de valores que
toma la función cuando se aplica sobre los elementos del dominio. En una función real de variable real estos valores son números reales, es decir, el conjunto de valores que se obtienen como salida al aplicar la función sobre los elementos del dominio

Función Sobreyectiva

Función Biyectiva

Función Inyectiva

Cada elemento del conjunto de llegada corresponde como
máximo a un elemento del conjunto de partida (1 a 1).

Cada elemento del conjunto de llegada le
corresponde por lo menos un elemento del conjunto de partida.

Esta función también es conocida con el nombre de función uno-a uno, y es importante hacer la distinción de que nunca asigna dos
elementos en su dominio al mismo elemento en su rango.

Propiedades de la función biyectiva

Cardinalidad

Biyectividad

Función Inversa

Cuando dos conjuntos poseen la misma cantidad de elementos, al menos una forma de asociar cada elemento del primer conjunto don un elemento del segundo. De esta forma, no sobra ningún elemento en ninguno de los conjuntos.

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: Una función f: A→B es biyectiva y también puede ser sobreyectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto B (sobreyectividad) tienen que estar relacionados con uno y solo un elemento del conjunto A (inyectividad).

Si f es una función que asigna elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la función f ⁻¹ que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ⁻¹ es la función inversa de f.

Funciones Cuadráticas

Función Cúbica

Función Valor Absoluto

Función Logarítmica

Funciones lineales

Función Racional

Es una función cuyo dominio son todos los números reales y su rango también son los número reales.
Su expresión analítica está representada por un polinomio de primer grado.
y= mx+b

Es un número expresado entre dos barras.
F(x) = |x|
Es la dimensión existente entre un número y el cero expresada en la recta de los números reales.

La función cuadrática o de segundo grado es aquella representada gráficamente por una parábola y algebraicamente está representada por el polinomio de segundo grado.

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma
y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1.

La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
“a”, “b”, “c” y “d” son los coeficientes y son números reales. y a ≠ 0.
“a” es el coeficiente principal; mientras que “d” es el término independiente.

Las funciones racionales son aquellas que se expresan manera de fracción y tanto el numerador como el denominador son polinomios.

Funciones Trigonométricas

Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos.

Función Decreciente

Máximos y mínimos de una función

Función Creciente

Curvatura

Se define Monotonía de una Función al estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

Captura6

Captura7

Máximos mínimos absolutos

Máximos y mínimos relativos

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio. Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio.

Una función es cóncava o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.
Es convexa o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos en la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Álgebra de funciones

Suma de Funciones

Diferencia de Funciones

Igualdad de Funciones

Producto de Funciones

División de Funciones

Ecuaciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Función de base Euler

Ecuaciones logarítmicas

Función exponencial

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La función exponencial es aquella que a cada valor real {x} le asigna la potencia {a^x} con {a > 0} y {a \neq 1}. Esta función se expresa

{f(x) = a^x}
el número {a} se denomina base.

Características de la función exponencial

-Dominio: R
-Recorrido: {(0, \infinito)}.
-Es continua.
-Los puntos {(0,1)} y {(1,a)} pertenecen a la gráfica.
-Creciente si {a > 1}.

Decreciente si {0 < a < 1}.
-La función inversa de la función exponencial {f(x) = a^x} es {f^{-1}(x) = \log_a x }. La función inversa de la exponencial natural es {f^{-1} = \ln x }.
Las curvas {f(x) = a^x} y {g(x) = \displaystyle \left( \frac{1}{a} \right)^x } son simétricas respecto al eje {y}.

Para resolver ecuaciones logarítmicas debemos tomar en cuenta:
-Aplicar las propiedades de logaritmo necesaria para expresar la ecuación en un solo logaritmo.
-Simplificar si es necesario.
-Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos.
-Despejar para la variable.
-Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.

¨e¨ es un número irracional donde e = 2.71828.
Para un número real x, la ecuación f(ex) = ex define a la función exponencial de base e.

Propiedades de la función exponencial de base e

-Dominio: R
-Imagen: R+
-Es continua
-Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica
-Es inyectiva " a ≠ 1
-Creciente si a >1
-Decreciente si a < 1

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece, únicamente, en los exponentes de potencias de bases constantes.
Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, la radicación de los logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
f(x)=\log_{a}x
a> 0 , a\neq 1

Propiedades de las funciones logarítmicas

-Dominio: R
-Recorrido: R
-Es continua
-Los puntos (1,0) y (1,0) pertenecen a la gráfica.
-Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
-Creciente si a>1
-Decreciente si 0<a<1

REALIZADO POR: JOSUÉ DAVID FLORES ALEJANDRO