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Aplicaciones de las derivadas - Coggle Diagram
Aplicaciones de las derivadas
Rectas tangente y normal a una curva
Tangente
Recta que toca una curva en un punto.
Fórmula
Normal
Recta perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia
Fórmula
T
: recta tangente
N
:recta normal
Otras aplicaciones
Teorema de Roelle
Sea f(x) una función que satisface las siguientes condiciones:
Es continua en el intervalo [a, b].
Es derivable en el intervalo (a, b).
f(a) = f(b) = 0
Entonces existe c e(a, b) tal que
f" (c) = 0
Teorema de valor medio
Dada una función f(x) tal que:
f(x) es continua en el intervalo [a, b]
f(x) es diferenciable en el intervalo (a, b)
Entonces existe un número c € (a, b) tal que
f'(c) =(f(b)-f(a))/b-a
Regla de l'Hôpital
El límite de un cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de la derivadas de dichas funciones.
Regla valida para
Límites laterales
(
x→a+
o
x→a-
)
Límites al infinito
(
x→∞
o
x→-∞
)
Máximos y mínimos de una función
Se dice que una funcion
f(x)
tiene un máximo local M en
x0, si f(x0)>=f(x)
para toda x en un intervalo *(a,b) tal que x0 pertenezca a dicho intevalo.
Primera derivada
Valor máximo si
f'(x)>0 y f(x)<0
Segunda derivada
Valor máximo si
f(x)<0
Se dice que una funcion
f(x)
tiene un mínimo local m en
x0, si f(x0)>=f(x)
para toda x en un intervalo *(a,b) tal que x0 pertenezca a dicho intevalo.
Segunda derivada
Valor mínimo si
f(x)>0
Primera derivada
Valor mínimo si
f'(x)<0 y f(x)>0
Concavidad
La función f(x) es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva.
La función f(x) es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están por arriba de la curva.
Punto de inflexión
Sea F(x) una función dos veces derivable en x=x1 entonces en x=x1hay un punto de inflexión cuando la función cambia su curvatura, es decir, cuando: f'xi=0 y f'xi≠0
Optimización
Se recomienda la simplificación de los métodos para obtener los puntos máximos y mínimos, debido a que estos pueden llegar a ser complejos.
EconomÍa
Se puede calcular
Costo marginal
Fórmula
También se puede calcular otro datos con formulas a partir de una derivación.
Ingresos
Utilidad
Curvatura
Radio de curvatura
Esta dado por la fórmula
Fórmula de derivación
En coordenadas paramétricas
En coordenadas polares
Círculo de curvatura
Es una curva dada en un punto de tagencia a la circunferencia, también se le conoce como circunferencia osculatriz o circulo osculador.
Centro de curvatura
C(a,β ):
centro de curvatura
Q (x,y):
punto de la curva
r:
radio de curvatura
Movimiento rectilíneo uniforme
Aplicación de la primera derivada para calcular velocidad por su fórmula
Aplicación de la segunda derivada para calcular la aceleración media por su fórmula
Razón de cambio
Si una cantidad x esta en función del timepo t, la razón de cambio de x con respecto a t esta dada por dx/dt.
Ángulo entre dos curvas
Sea P(X0,Y0) el punto de intersección entre lass curvas f(x) y g(x), entonces el ángulo entre las curvas se obtiene con:
Donde f'(x0) es la pendiente de la recta L2 y g'(x0) es la pendiente de la recta L1
Diferenciales
Es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente.
