PIANO CARTESIANO E RETTA
DISTANZA FRA DUE PUNTI: per calcolare la distanza fra due punti distinguiamo tre casi:
- PUNTI CON LA STESSA ASCISSA: la distanza fra i due punti A e B (estremi del segmento) è il valore assoluto della differenza dello loro ordinate.
- PUNTI CON LA STESSA ORDINATA: la distanza fra due punti A e B con la stessa ordinata è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse
- PUNTI CON ASCISSE E ORDINATE QUALSIASI: dati i punti A e B, chiamiamo C il punto di intersezione fra la parallela all'asse x e la parallela dell'asse y e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettandolo ABC
DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA: per calcolare la distanza d di un punto generico P(x; y) da una retta di equazione ax + by + c=0, bisogna utilizzare la formula:
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RETTA PASSANTE PER L'ORIGINE: una funzione di proporzionalità diretta ha per grafico una retta passante per l'origine e la sua espressione analitica è y=mx, con m appartenete a R e diverso da zero.
PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO: dati i punti A e B, il punto medio M ha coordinate:
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un'equazione della retta può essere scritta in due modi:
FORMA ESPLICITA: y=mx+q
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EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA: una funzione lineare ha espressione lineare y=mx+q, ovvero una retta parallela a quella di equazione y=mx (equazione della retta passante per l'origine)
- m è il COEFFICIENTE ANGOLARE della retta e indica la pendenza della retta rispetto all'asse x, cioè specifica di quanto aumenta o diminuisce l'ordinata se da un punto della retta si passa a un altro punto con ascissa aumentata di 1.
- q è l'ORDINATA ALL'ORIGINE, cioè l'ordinata del punto di intersezione con l'asse y.
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FORMA IMPLICITA: ax+by+c=0
se vogliamo passare dalla forma implicita a quella esplicita deduciamo che m, il coefficiente angolare, è uguale a: m= -a/b
CONDIZIONI DI PARALLELISMO E DI PERPENDICOLARITA':
RETTE PARALLELE: due rette r ed s sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: m=m1
RETTE PERPENDICOLARI: due rette r ed s sono perpendicolari se e solo se il coefficiente angolare dell'uno è l'antireciproco dell'altro: m= -1/m
RETTE PARTICOLARI:
è positivo se e solo se la retta forma un angolo acuto con il semiasse positivo delle ascisse
è negativo se e solo se la retta forma un angolo ottuso con il semiasse positivo delle ascisse
NON PASSANTI PER L'ORIGINE:
- se m=0 otteniamo y=q, equazione di una retta parallela all'asse x
- x=k, equazione della retta parallela all'asse y
PASSANTI PER L'ORIGINE
- nell'equazione y=mx, se m=0, otteniamo: y=0, equazione dell'asse x. Infatti tutti i punti dell'asse x hanno ordinata uguale a 0.
- poiché tutti i punti dell'asse y hanno ascissa uguale a 0, otteniamo: x=0, equazione dell'asse y.
y=x, equazione della bisettrice del primo e del terzo quadrante
y= -x, equazione della bisettrice del secondo e quarto quadrante
COEFFICIENTE ANGOLARE COME RAPPORTO: dati i punti A e B della retta r di equazione y=mx+q, il coefficiente angolare di r è uguale al rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti: