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TEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA - Coggle Diagram
TEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
La parabola
Parabola con vectice en (0,0)
La ubicacion del punto F sea (0,c)
La distacion desde un punto P(x,y) a la directriz es:
c>0
y-(-c)=y+c
Sistema de coordenadas rectangulares donde la directriz es una recta horizontal y= -c
La gráfica de cualquier parábola con la forma normal,es simétrica con respecto al eje x
Parabola con vertice en(h,k)
El vèctice esta en el punto(h,k), y su eje es la recta vertical
x=h
La forma normal de la ecuación de la parábola es:
(x-h)^2=4c(y-k)
y=k
(y-k)^2=4c(x-h)
Rotación de ejes
Ecuaciones de las secciones cónicas son casos especiales de la ecuación general de segundo grado
(1) Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
Cuando B=0
(2) Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0
A≠0 o C≠0 en (2)
cada forma estándar es una ecuación de segundo grado,debemos tener que
Cuando B≠0
Es posible eliminar el término x y de la ecuación (1) por medio de una rotación de ejes
ángulo de rotación θ pueda transformarse en una ecuación en x ́y y ́ sin término x ́y
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Ecuaciones Paramétricas :
Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta rse obtienen por medio de la siguiente expresión:
x=a1+λ⋅v1 y=a2+λ⋅v2 Donde
λ∈R
Donde:
x e y son las coordenadas de cualquier puntoP(x,y) de la recta
a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2)
v1 y v2 son las componentes de un vectordirector v→=(v1,v2) de r.
λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que se le asigne.
Parametrización de un círculo
Uno de los ejemplos más importantes, es la parametrización del círculo
Ecuación del Círculo
Ecuación del Círculo : x²+y²=a²
El círculo tiene centro en el origen y su radio es a. Si t representa el ángulo central, es decir, el ángulo con vértice en el origen y lado inicial coincidente con el eje x positivo,entonces
x=acost y y=asent, 0≤t≤2π
Para terminar teniendo la fórmula : x²+y²=a²
Debemos dejar a la ecuación en términos de (en este caso) "x" y "y" osea eliminando de la ecuación "T"
Eliminación del parámetro
Elipse
EJES
MAYOR
Es el segmento de recta que pasa por el centro dela elipse, que contiene a los focos y cuyos extremos están en la elipse
Los dos extremos del eje mayor se llaman Vértices
MENO
Es el segmento de recta que pasa por el centro, es perpendicular al eje mayor, y cuyos extremos están en la elipse
Definición:
Es el conjunto de puntos P(x,y) en un plano.La suma de las distancias de P a dos puntos fijos F1y F2 es constante.El punto medio del segmento que une los se llama centro.
F1 y F2 se llaman focos
Si P es un punto en la elipse y d1=d(F1,P) yd2=d(F2,P) son las distancias de los focos a P.Entonces: d1+d2=k En donde k>o es una constante
Suponemos que k=2a y los focos son F1(-c,0) y
F2(c,0). Reemplazar en la ecuación.
En el siguiente gráfico se forma un triángulo con los focos
La suma de las longitudes de dos lados cuales quiera en un triángulo es mayor que la longitud del otro lado, se debe cumplir que 2a>2c, o
a>c.
Por lo tanto, a^2-c^2>0.
Se iguala b^2=a^2-c^2
La ecuación 3 se transforma en: b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
Se divide entre a^2b^2 y se obtiene
Hipérbola
Hipérbole con centro (0,0). se coloca los focos en el eje x, en F1(-c,0) y F2(c,0). y la constante k , sea igual a 2a que sera la modalidad algebraica.
asintota
oblicuas
excentricidad
e=c/a
l d1-d2 l= K
d1= d(F 1, P) y d2 = d(F2, P)
Conjuntos de los puntos P( x, y ) en el plano, tal que ladiferencia de las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2sean. constantes
El punto medio del segmento de la recta que une os puntosF1 y F2 se llama Centro
Ejes transversal y conjugado del segmento de recta con losextremos en la hipérbola.
