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I LIMITI, Il loro calcolo ci permette di studiare il comportamento di una…
I LIMITI
Spesso facciamo uso dei limiti, senza neanche accorgercene. Oltre ad essere fondamentali per risolvere diversi punti interrogativi all'interno della matematica, vengono applicati quotidianamente nelle nostra vite.
Ad esempio quando dobbiamo uscire con qualcuno, dicendo " Ci vediamo intorno le ore 17:00", sostituendo all'orario la x, possiamo affermare che in questo caso, non per forza viene inteso l'orario preciso, ma anche un valore vicino.
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Mentre si cucina, non si rispettano quasi mai i valori degli ingredienti dati dalla ricetta, ad esempio se c'è scritto "100 grammi di burro", noi utilizzeremo un intorno, come 100,01 o 100,001 etc..
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Il loro calcolo ci permette di studiare il comportamento di una funzione nell'intorno di un punto o all'infinito. Seguendo il grafico è possibile stabilire che più viene scelto x vicino al valore x0, più la sua immagine, ovvero f(x) si avvicina ad un valore l.
Il limite si distingue secondo diverse caratteristiche differenti. Il limite finito per x che tende a x0 ha per limite il numero reale " l ".
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Per eseguire la verifica del limite bisogna seguire diversi passaggi, utilizzando diverse regole della matematica, come quella del trasporto.
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Il limite destro di una funzione viene indicato con il segno "+" sul limite, mentre il limite sinistro viene indicato con il simbolo "-" sul limite. Le operazioni da fare sono simili a quelle precedenti, soltanto che dovranno essere verificati entrambi i limiti, sia quello destro che quello sinistro.
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Il limite può inoltre essere +∞ o -∞ per x che tende a x0, quando per ogni numero reale positivo è possibile determinare un intorno completo di l di x0.
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Quando x tende a +∞ è possibile superare i valori di qualsiasi numero reale positivo, ottenendo infatti dei valori di x sempre maggiori.
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All'interno della matematica Greca la definizione di limite era già presente, dato che diversi calcoli, come quelli realizzati da Eudosso ed Archimede si basavano principalmente sul limite.
Una definizione dettagliata si ottenne soltanto con L. Eulero nel 1755, nonostante quest'ultimo non la utilizzo.
D'Alembert ne discusse all'interno di un articolo scritto per "Encyclopédie". Prendeva in esempio due quantità di limite, di cui una detta "variabile", di conseguenza chiamava una quantità di limite di una seconda quantità, nel caso in cui quest'ultima si avvicinava alla prima tanto che la differenza fosse inferiore a qualsiasi quantità data. Tuttavia questa definizione, essendo molto confusionaria fu bocciata dagli autori dei manuali matematici di quei tempi.
A.L. Cauchy approfondì maggiormente la definizione, utilizzando un linguaggio più appropriato alla matematica: "Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri"
Weistrass invece definì il limite della funzione basandosi sul punto x0: "Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una h0, tale che per 0<h<h0 la differenza f(x0±h)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x0" Utilizzando in maniera diretta il linguaggio matematico. La "h" presente all'interno della sua definizione oggi viene spesso sostituita da una lettera greca "d"
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