圆
圆的基本性质
与圆有关的概念及性质
概念
确定圆的条件
半径：决定圆的大小
圆心：决定圆的位置
圆心角：顶点在圆心的角，如图①中的∠BOC,∠AOC
圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角
弦：圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦；过圆心的弦叫做这个圆的直径，直径是圆中最长的弦
圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫做劣弧
等弧：能够完全重合的两条弧叫做等弧
等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆
性质
对称性:圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心
旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
垂径定理及其推论
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
这条弦所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧
弧、弦、圆心角之间的关系
定理
推论
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等
圆周角定理及其推论
推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
同弧或等弧所对的圆周角相等
定理： 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
与圆有关的位置关系
直线与圆的位置关系
(设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d)
相切
相交
相离
d>r
d=r
d<r
有且只有一个公共点
没有公共点
有2个公共点
三角形的外接圆与内切圆
外接圆
内切圆
经过三角形的三个顶点的圆
圆心是三角形的外心，三条边垂直平分线的交点
与三角形各边都相切的圆
圆心是三角形的内心，三个内角的角平分线的交点
三角形的外心到三个顶点的距离相等
∠BOC=2∠A,∠OBC=∠OCB
∠BOC=90°+ ∠A
三角形的内心到三条边的距离相等
与切线有关的证明和计算
切线
切线长定理
性质：圆的切线垂直于过切点的半径
判定
概念：当直线与圆有唯一一个公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线
已知切点：连接圆心与切点，证垂直
未知切点：作垂线，证半径
过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，那么PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝2/∠APB
弧长、扇形的面积计算
扇形的相关计算
圆的周长：若圆的半径为r，则圆的周长C＝2πr
弧长公式：l=180/nπr(其中l为弧长，n为弧所对圆心角的度数，r为弧所在圆的半径)
扇形的面积公式：S扇形=360/nπr²=2/rl(其中n为扇形的圆心角度数，r为扇形的半径，l为扇形的弧长)
弓形的面积：S弓形＝S扇形AOB-S△AOB
圆锥的相关计算
r为圆锥底面圆的半径，α为圆锥侧面展开图的扇形的圆心角，l为母线长，则α=l/360r
h为圆锥的高，l为圆锥的母线长，r为圆锥底面圆的半径，则r2+h²=l2
r为圆锥底面圆的半径，则底面圆的面积S=πr²，周长C=2πr