Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Разложения матриц, Матрицы - Coggle Diagram
Разложения матриц
SVD-разложение
\( A = U \Sigma V^T \)
\(U, V\) - унитарные
\( \Sigma \) - диагональная
\( \Sigma \) из модулей собственных значений \(AA^*\)
Существует всегда
\(U, V\) - не единственные
np.linalg.svd за \(O(nm \min(n,m))\)
Рандомизированный алгоритм за \(O(nmr + r^2(n + m))\)
Разложение Шура
\( A = UTU^* \)
На диагонали \(T\) собственные значения \(A\)
Существует всегда
\(U\) - унитарная
\(T\) - верхнетреугольная
Скелетное разложение
\(A = BC\)
\(B \in \mathbb{R}^{n \times r}\)
\(C \in \mathbb{R}^{r \times m}\)
\(r\) - ранг
Эквивалентное определение ранга
Существует всегда
QR-разложение
A=QR
\(Q\) - унитарная
\(R\) - верхнетреугольная
\( O(nm \min(n,m) \)
Грамм-Шмидт и модификации
ЖНФ
\( A = PJP^{-1} \)
Собственное разложение
\(A = S \Lambda S^{-1} \)
Матрицы
Эрмитовы
\(A=A^*\)
Косоэрмитовы
\(A=-A^*\)
Нормальные
\(AA^* = A^*A\)
Унитарные
\(AA^*=A^*A = E\)