FUNCIONES
¿QUÉ ES?
Una función es un conjunto de tres objetos (x,y y f), donde x y y son dos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de un x un único elemento de Y. La función se define como y=f(x). A “x” se le llama variable independiente o pre-imagen de "y" y a “y” se le llama variable dependiente o imagen de x. Una función debe cumplir con:
Operaciones con funciones.
Dada las funciones reales f y g, y x∈R
Se definen:
Tipos de Funciones
Función Constante
Función Cuadrática
Función Identidad
Función Cubica
Función Lineal
Función Racional
Función Algebraica
Función Transcendente
a) todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y
b) a cada elemento x X le corresponde un único elemento y Y A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente
Se define como f(x)=ax+b, donde a y b son constantes y distinto de 0 su grafica es una recta pendiente a e intersección con y en b
Se define como f(x)=x, y gráficamente es una recta que pasa por el origen (0,0)
Se define como f(x)=C, donde C∈R. Su grafica es un recta horizontal que pasa por y=C, su rango es {C}
Se define como f(x)=ax^2+bx+c, es una parábola con eje vertical paralelo al eje x
Se define como f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, cuya grafica es una curva llamada parábola cubica
Se definen como f(x)=p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y su dominio es el conjunto R- {x∈R/q(x)=0}
Todas las anteriores y las definidas mediante ecuaciones como: f(x)=√(ax+b)
Se definen como exponenciales, logarítmicas,
trigonométricas, …
Función Exponencial
Función Logarítmica
Sea a > 0 y a≠1. Se llama función logaritmo de base a, y se denota por 〖log〗_a, a la función inversa de la función exponencial. f: R→R^+, f(x)= 〖log〗_a x. Se cumple logaritmo: a^(〖Log〗_a x)=x 〖Log〗_a (a^x )=x 〖Log〗_a x=y a^y=x
Propiedades
〖 Log〗_a (a)=1
Log〗_a (x^n )=n〖Log〗_a x
Log〗_a (x/y)=〖Log〗_a x-〖Log〗_a y
Log〗_a (1)=0
Log〗_a (x,y)=〖Log〗_a x+ 〖Log〗_a y
Sea un número real tal que a > 0 y a≠1. La función exponencial con base a es la función f: R→R^+, f(x)=a^x. Por ejemplo: y=2^x función exponencial de base 2
Propiedades
La función exponencial es creciente si a>1 y decreciente si 0>a>1
Dominio:R y el rago es R^+=(0,∞)
a^x.a^y=a^(x+y)
a^0=1; a^1=a
a^x/a^y =a^(x-y)
(a^x )^y=a^(x.y)
a^(-x)=1/a
(a.b)^x=a^x.b^x
a^x/b^y =a^x.b^(-y)
(a/b)^x=a^x/b^x
Función Inversa
Sea f:A→B una función inyectiva cuyo dominio es el conjunto A y rango es el conjunto B. Se llama función inversa de f a la función: f^(-1):B→A tal que x=f^(-1) (y) y=f(x)
Para hallar la inversa de una función:
Sustituir x en f(x) para verificar
Despejamos la variable x y la expresamos en termino de y: x=f^(-1) (y)
En x=f^(-1) (y), podemos intercambiar x por y para obtener, finalmente, y=f^(-1) (
Función Trigonométrica
Se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente.
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto.
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.
La Función esta compuesta por:
Rango: Es el conjunto formado por los valores que pueden llegar a formar la función
Dominio: Es el conjunto de existencia de la función misma, es decir, los valores para cuales la función esta definida
Valoración de funciones: Dada una función real de variable real y=f(x), valorar una función es encontrar el valor de f(x) o de y en el conjunto de llegada (rango) correspondiente a cada x del conjunto de partida (dominio).
(f + g)(x)= f(x) + g(x), Dom(f + g)= Domf ∩ Domg
(f- g)(x)= f(x)- g(x), Dom(f- g)= Domf ∩ Domg
(f.g)(x)= f(x).g(x),Domf(f.g)= Domf ∩ Domg
(rf)(x)=rf(x), Dom(rf)=Domf,r∈R
(f/g)(x)=f(x)/g(x) , Dom(f/g)= [Domf ∩ Domg]-{x ∈R/g(x) =0}