FUNCIONES
Una función es un conjunto de tres objetos (x,y y f), donde x y y son dos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de un x un único elemento de Y. La función se define como y=f(x). A “x” se le llama variable independiente o pre imagen de "y" y a “y” se le llama variable dependiente o imagen de x. Una función debe cumplir con:
Una función está compuesta por
Dominio: conjunto X, también llamado conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Rango, codominio o imagen: Al conjunto Y, también se le conoce como rango, se le denota por o codomf Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen
Valoración de funciones: Dada una función real de variable real y=f(x), valorar una función es encontrar el valor de f(x) o de y en el conjunto de llegada (rango) correspondiente a cada x del conjunto de partida (dominio).
Tipos de funciones
• Función Racional
• Función algebraica
• Función Cubica
• Funciones Trascendentes
• Función Cuadrática
• Función constante
• Función Identidad
• Función Lineal
Se define como f(x)=ax+b, donde a y b son constantes y distinto de 0 su grafica es una recta pendiente a e intersección con y en b
Se define como f(x)=x, y gráficamente es una recta que pasa por el origen (0,0)
Se define como f(x)=C, donde C∈R. Su grafica es un recta horizontal que pasa por y=C, su rango es {C}
Se define como f(x)=ax^2+bx+c, es una parábola con eje vertical paralelo al eje x
Se define como f(x)=ax^3+bx^2+cx+d, cuya grafica es una curva llamada parábola cubica
Se definen como f(x)=p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y su dominio es el conjunto R-{x∈R/q(x)=0}
Todas las anteriores y las definidas mediante ecuaciones como: f(x)=√(ax+b)
Se definen como exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, …
Función Exponencial
Función Logarítmica
Función Inversa
Sea f:A→B una función inyectiva cuyo dominio es el conjunto A y rango es el conjunto B. Se llama función inversa de f a la función: f^(-1):B→A tal que x=f^(-1) (y)↔y=f(x)
Para hallar la inversa de una función:
Sustituir x en f(x) para verificar
En x=f^(-1) (y), podemos intercambiar x por y para obtener, finalmente, y=f^(-1) (x)
Sea un número real tal que a > 0 y a≠1. La función exponencial con base a es la función f: R→R^+, f(x)=a^x. Por ejemplo: y=2^x función exponencial de base 2.
Propiedades.
Dominio:R y el rago es R^+=(0,∞)
a^0=1; a^1=a
a^x.a^y=a^(x+y)
a^x/a^y =a^(x-y)
(a^x )^y=a^(x.y)
a^(-x)=1/a
a^x/b^y =a^x.b^(-y)
(a.b)^x=a^x.b^x
(a/b)^x=a^x/b^x
Sea a > 0 y a≠1. Se llama función logaritmo de base a, y se denota por 〖log〗_a, a la función inversa de la función exponencial. f: R→R^+, f(x)= 〖log〗_a x.
Se cumple logaritmo: a^(〖Log〗_a x)=x 〖Log〗_a (a^x )=x 〖Log〗_a x=y↔a^y=x
Propiedades
〖Log〗_a (a)=1
〖Log〗_a (1)=0
〖Log〗_a (x,y)=〖Log〗_a x+ 〖Log〗_a y
〖Log〗_a (x/y)=〖Log〗_a x-〖Log〗_a y
〖Log〗_a (x^n )=n〖Log〗_a x
Para Graficar: La representación gráfica de una función real f, es el conjunto de todos los puntos (x,y) en R^2 para los cuales (x,y) es un par de f. f={(x,y)∈R^2/f(x)=y}. Luego de comprobar si la funcion es bien definida por medio del domino, el procedimiento para graficar consiste en asignarle un valor a x, y resolver la f(x) para obtener los valores de las y, hallando un punto de referencia (x,y) en el plano cartesiano y graficando cada punto para representar la función. El rango se encuentra a través de los valores de y.
b) a cada elemento x X le corresponde un único elemento y Y A la variable x se le llama variable independiente, mientras que a la variable y se le denomina variable dependiente
a) todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y
Operaciones con funciones. Dada las funciones reales f y g, y x∈R
Se definen
(f + g)(x)= f(x) + g(x), Dom(f + g)= Domf ∩ Domg
(f- g)(x)= f(x)- g(x), Dom(f- g)= Domf ∩ Domg
(f.g)(x)= f(x).g(x),Domf(f.g)= Domf ∩ Domg
(rf)(x)=rf(x), Dom(rf)=Domf,r∈R
(f/g)(x)=f(x)/g(x) , Dom(f/g)= [Domf ∩ Domg]-{x ∈R/g(x) =0}
Despejamos la variable x y la expresamos en termino de y: x=f^(-1) (y)
La función exponencial es creciente si a>1 y decreciente si 0>a>1
Composición de funciones.
Dadas dos funciones reales f y g, se define la función compuesta de f y g a la función (fog)(x)=f(g(x)) tal que x∈Domg y g(x)∈Domf.
Un ejemplo de una función es: f(x)=x+1, donde al asignar un valor a x le corresponde un único valor a y=f(x)
Función trigonométrica
se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa.
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente.
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto.
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente.
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.
Alexandra Delgado
C.I. 28220654