Повне дслідження функції

Область визначення ф-ції, неперервність, парність(непарність), періодичність ф-ції

Нулі ф-ції. інтервали постійності знаку

Асимптоти графіка ф-ції

Додаткові точки та графік за результатми досліджень

Опуклість, увігнутість та перегини ф-ції

Зростання, спадання та екстремуми ф-ції

Область визначення ф-ції

Неперервність і точки розриву

З дробом

З коренем

З логаритмом

З тангенсом, котангенсом, арксинусом та арккосинусом

Знаменник не може дорівнювати нулю

Підкореневий вираз мусить бути не від'ємним. Тобто бути більшим або дорівнювати нулю

Логаритм не в знаменнику

Логаритм в знаменнику

Підлогаритмічна ф-ція мусить бути більша за нуль

Крім того, що підлогаритмічна ф-ція мусить бути більша за нуль, вона ще не може дорівнювати одиниці, бо лагритм одиниці дорівнює нулю

Для тангенсів та котангенсів

Для арксинусів та арккосинусів

Якщо у де-яку ф-ції входить tg(Alfa(x)), то виключаються точки:
dropped image link

Якщо у де-яку ф-цію входить ctg(Alfa(x)), то виключаються точки:
dropped image link

Якщо в де-яку ф-ції входить dropped image link або , то на її область визначення накладаються обмежання у вигляді нерівності:

Точка розриву першого роду

Точкак розриву другого роду

Розрив зі скачком

Переборний розрив

Існує за умови що обидваі однобічні границі вони існують і співпадають, тобто виконується друга умова неперервності. Але функція невизначена в даній точці, тобто перша умова неперервності порушена.Такий розрив можна перебороти, якщо знайти значення функції в цій точці

Існує за умови, що однобічні границі кінцеві і не рівні. Виника є у кусочно-заданих функціях. Наприклад: dropped image link

Переважно це нескінченний розрив коли лівобічний або правобічний, а частіше, обидва межі нескінченні.

Парність(непарність)

Парність

Непарність

Ф-ція загального вигляду

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

У всіх інших випадках

Періодичність

Функцію y = f(x) називають періодичною з періодом Т≠0, якщо для будь-якого х з області визначення числа х+Т і х-Т також належать області визначення і виконується рівність: f(x+T) = f(x-T) = f(x)

Вертикальні асимптоти

Похилі асимптоти

Горизонтальні асимптоти

Задаються рівнянням

Задаюьбся рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом

Окремий випадок похилих асимптот задається рівнянням

Коефіцієнт b

Коефіцієнт k

Дорівнює границі

Таким чином, щоб встановити наявність вертикальної асимптоти в точці досить показати, що хоча б одна з однобоких границь нескінченний.

Нулі ф-ції - точки перетину графіком осі абсцис(Ох). Для того, щоб знайти потрібно розв'язати рівняння .

інтервал постійності знаку, інтервал де графік ф-ції набуває тільки від'ємні або тільки додатні значення

Алгоритм знаходження ітервала постійності знака включає в себе 3 пункта:

Знайти нулі ф-ції

Креслимо вісь Ох і відкладаємо на ній точки розриву (якщо вони є), а також нулі функції (якщо вони є). Визначаємо знаки функції на інтервалах, які входять в область визначення.

Знайти область визначення ф-ції

Зростання(спадання) ф-ції

Ф-ція спадає

Ф-ція зростає

Ф-ція спадає

Ф-ція не зростає

Ф-ціія зростає на інтервалі, якщо для будь-яких двох точок вірна нерівність . Тобто більшому значенню аргумента відповідне більше значення ф-ції

Ф-ція не спадає

Ф-ція спадає на інтервалі, якщо для будь-яких двох точок вірна нерівність . Тобто бальшому значенню аргумента відповідне менше значення ф-ції

Ф-ція не зростає, якщо для будь-яких двох точок вірна нерівність . Тобто більшому значенню аргумента відповідне не більше значення ф-ції

Ф-ція не спадає на інтервалі, якщо для буль-яких двох точок вірна нерівність , Тобто більшому значенню аргумента відповідне не менше значення ф-ції

Монотонність

Монотоність

Строга

Монотонною на інтервалі ф-цію називають, якщо вони чи не зростає, чи не спадає на цьому інтервалі

Строго монотонною на інтервалі ф-цію називають, якщо вона чи зростає, чи спадає на цьому інтервалі

Екстремуми ф-ції

Точки екстремуму

Точки максимуму(мінімуму)

Точка строго максимуму

Точка строго мінімуму

Точка називається точкою строгого максимуму, якщо існує її -околиця , для всіх значень якої за винятком самої точки виконано нерівність .

Точка називається точкою строго мінімуму, якщо існує її -околиця, для всіх значень якої за винятком самої точки виконано нерівність .

Точка максимуму

Точка мінімуму

Точка називається точкою максимуму, якщо існує її околиця, така, що для всіх значеннь , виконується нерівність .

Точка називається точкою мінімуму, якщо існує її околиця, така, що для всіх значеннь , виконується нерівність .

Точку f() називають максимумом ф-ції

Точку f() називають мінімумом ф-ції

Якщо похідна , то ф-ція спадає на цьому інтервалі.

Якщо похідна , то ф-ція зростає на цьому інтервалі

Нехай точка належить області визначення функції . Дана точка називається критичною, якщо в ній похідна дорівнює нулю: або значення не існує. Критична точка може бути точкою екстремуму.

Необхідна умова

Якщо в точці є екстремум, то або значення не існує.

1 Достатня умова

Якщо при переході через точку похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс», то в даній точці функція досягає мінімуму.

Якщо при переході через точку похідна змінює знак з «плюса» на «мінус», то в даній точці функція досягає максимуму;

Опуклість(увігнутість)

Графік називається опуклим на інтервалі, якщо він знаходиться не вище будь-якої дотичноїх проведеної до нього на цьому інтервалі

Графік називається увігнутим на інтервалі, якщо він знаходиться не нижче будь-якою дотичної проведеної до нього на цьому інтервалі

Якщо друга похідна на інтервалі, то графік функції є опуклим на даному інтервалі;

Якщо друга похідна на інтервалі, то графік функції є увігнутим на даному інтервалі;

На рахунок знаків другої похідної по просторах навчальних закладів гуляє доісторична асоціація: «-» показує, що «в графік функції не можна налити воду» (опуклість),
А «+» - «дає таку можливість» (увігнутість).

Необхідна умова

Якщо в точці є перегин графіка функції , то:
Або значення не існує

Достатня умова

Якщо друга похідна при переході через точку змінює знак, то в даній точці існує перегин графіка функції .