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TRIGONOMETRIA Riccardo Barrese - Coggle Diagram
TRIGONOMETRIA Riccardo Barrese
Riduzione al primo ottante
Applicando le regole sugli angoli associati scopriamo che la misura di un qualunque angolo può essere ridotta ad un numero compreso tra 0° e 45°. [o°-45°] ottante
Angoli associati: sono angoli che hanno le stesse funzioni goniometriche, in valore assoluto.
-alfa
π+alfa
π/2+alfa
3/2 π-alfa
π-alfa
π/2- alfa
3/2 π+alfa
Funzioni goniometriche
La funzione è una relazione che associa ad ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
Il coseno di angolo alfa è il rapporto tra cateto adiacente e l'ipotenusa del triangolo rettangolo ottenuto proiettando un qualunque punto P sull'altro lato.
La tangente di un angolo alfa è il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa proiettando un qualunque punto P sull'altro lato.
In queste 3 definizioni il P si può prendere in qualche posizione sull'ipotenusa perché i triangoli ottenuti sono tra loro simili e quindi hanno i lati in proporzione.
Si definisce seno di un numero alfa il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa del triangolo rettangolo ottenuto proiettando un qualunque punto P sull'altro lato.
Th della corda
In una circonferenza la misura della corda si ottiene moltiplicando il diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sulla corda. AB= 2r *sen alfa
Dimostrazione
!) Traccio il diametro che parte dal vertice B
2) ottengo il punto C
3) Unisco C con A ottengo un triangolo rettangolo A= 90°
4) A insiste sul diametro quindi è retto! 5) Applico Th del triangolo rettangolo AB=BC
sen alfa=2r
senalfa
Cotg alfa= 1/tg alfa
cotg 270°= 0
cotg non esiste in A
cotg 90°= 0
0° e 180°
Circonferenza goniometrica
E' una circonferenza avente il centro nell'origine degli assi cartesiani.
Il coseno di alfa è l'ascissa del punto P
Sono compresi tra -1 e 1 e sono periodici di 360°, cioè si ripetono ogni angolo giro.
Il seno di alfa è l'ordinata del punto P
La tangente di alfa è l'ordinata del punto R ottenuto prolungando il raggio OP fino ad incontrare la retta tangente. La tg esiste a 90° e a 270° perché le rette sono parallele. La tg è positiva nel primo e terzo quadrante, negativa nel 2° e nel 4°. La tg ha valori compresi tra +infinito e -infinito.
1° rel. fondamentale: sen^2+cos^2= 1
sen alfa = +- radice di (1- cos2alfa )
cos alfa =+- radice di (1- sen2alfa )
2° rel. fondamentale: tg alfa= senalfa/cos alfa
tg alfa= TR/OR =HP/ OH= sen alfa/ cos alfa
Funzioni goniometriche inverse
Hanno nel dominio dei numeri reali e nel codominio degli angoli. arcsen: [-1; +1] → [-π/2; +π/2]
arcosen: [-1; +1] → [0; π]
arctg alfa= tg-1 alfa
tg-1 alfa è la funzione arctg alfa cioè la funzione inversa
cotg alfa= 1/tg alfa
Th triangolo rettangolo
La misura di un cateto si ottiene moltiplicando l'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente
La misura di un cateto si ottiene moltiplicando l'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo
La misura di un cateto si ottiene moltiplicando l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.
Th dei seni
In un triangolo qualsiasi il rapporto tra ciascun lato e il seno dell'angolo opposto è costante
a/sen alfa= b/senbeta= c/sendelta
Th di carnot
In un triangolo rettangolo la misura del quadrato di un lato si ottiene sommando il quadrato degli altri 2 lati meno il doppio prodotto dei 2 lati per il coseno dell'angolo compreso.
a^2= b^2+c^2-2bc*cos alfa
b^2= a^2+c^2-2ac*cos beta
c^2= a^2+b^2-2ab*cos gamma
Questo th si può applicare quando conosciamo 2 lati e l'angolo compreso. Possiamo anche ricavare la formula per trovare gli angoli se conosciamo i 3 lati (carnot inverso)
cos alfa= b^2+c^2-a^2/2bc
cos beta= a^2+c^2-b^2/2ac
cos gamma= a^2+b^2-c^2/ 2ab