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l equilibrio dei fluidi l equilibrio dei fluidi - Coggle Diagram
l equilibrio dei fluidi 
Un fluido è in equilibrio se è in quiete nel suo complesso, cioè se i moti microscopici delle sue molecole non determinano un movimento d'insieme dell'intera massa del fluido. Mentre un gas riempie tutto il recipiente che lo contiene, un liquido può occuparne anche solo una parte.
Per un volume di un fluido che non è in movimento o è in movimento costante, le leggi di Newton dichiarano che deve trovarsi in equilibrio di forze. Questo equilibrio è denominato equilibrio idrostatico.
Dividendo il volume del fluido in parti e considerandone una, ci sono 3 forze che agiscono: la prima è la forza verso il basso generata dalla pressione del fluido sovrastante
{\displaystyle F{\mathrm {superiore} }=P{\mathrm {superiore} }\cdot A}{\displaystyle F{\mathrm {superiore} }=P{\mathrm {superiore} }\cdot A}
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{\displaystyle F{\mathrm {inferiore} }=-P{\mathrm {inferiore} }\cdot A}{\displaystyle F{\mathrm {inferiore} }=-P{\mathrm {inferiore} }\cdot A}
dove il segno meno indica il verso di azione, contrario alla precedente.
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{\displaystyle F{\mathrm {peso} }=m\cdot a=G\cdot {\frac {M(r)\cdot m}{r^{2}}}=G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)m}{\displaystyle F{\mathrm {peso} }=m\cdot a=G\cdot {\frac {M(r)\cdot m}{r^{2}}}=G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)m}
dove ρ è la densità, a è l'accelerazione di gravità (a = g sulla superficie terrestre) e {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} è il volume.
Nell'ultima equazione possiamo sostituire m, essendo
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{\displaystyle F{totale}=F{\mathrm {superiore} }+F{\mathrm {inferiore} }+F{\mathrm {peso} }=P{\mathrm {superiore} }\cdot A-P{\mathrm {inferiore} }\cdot A+G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h\cdot A}{\displaystyle F{totale}=F{\mathrm {superiore} }+F{\mathrm {inferiore} }+F{\mathrm {peso} }=P{\mathrm {superiore} }\cdot A-P{\mathrm {inferiore} }\cdot A+G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h\cdot A}
Se come detto le forze sono in equilibrio {\displaystyle F{\mathrm {totale} }=0}{\displaystyle F{\mathrm {totale} }=0}; è quindi possibile dividere per A
{\displaystyle 0=P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }+G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h}{\displaystyle 0=P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }+G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h}
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{\displaystyle P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }=-G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h}{\displaystyle P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }=-G{\frac {4}{3}}\pi r\rho (r)^{2}h}
{\displaystyle P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }}{\displaystyle P{\mathrm {superiore} }-P{\mathrm {inferiore} }} è la differenza di pressione nei due estremi dell'elemento di altezza h. Immaginiamo che il volume che stiamo studiando sia infinitesimale, cioè {\displaystyle h=dr}{\displaystyle h=dr} e {\displaystyle dm=\rho dV=\rho Adr}{\displaystyle dm=\rho dV=\rho Adr}, possiamo allora scrivere l'equazione in forma differenziale:
{\displaystyle dP=-G{\frac {4}{3}}\pi \rho (r)^{2}rdr}{\displaystyle dP=-G{\frac {4}{3}}\pi \rho (r)^{2}rdr}
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{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-G{\frac {4}{3}}\pi \rho (r)^{2}r}{\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-G{\frac {4}{3}}\pi \rho (r)^{2}r}
La pressione è minore verso l'alto per cui il segno di dP/dr è negativo e la densità decresce con l'altezza.