pre calculo
Conjuntos de numeros
Numeros Enteros
Numeros Racionales
Numeros Naturales
Propiedades de la potenciacion
Propiedades de los números Naturales
Numeros Irracionales
Z={0,+-1,+-2,+-3,+-4...}
N={1,2,3,4...}
Q={p/q | p,q E Z y q≠0}
II={e,π,√primo,Φ...}
Clausurativa para suma, resta, multiplicación , pero no para división.
Clausurativa para suma y multiplicación, pero no para división ni resta.
Clausurativa para suma, resta, multiplicación y división.
Propiedad Asociativa: a+b+c=(a+b)+c=N
Propiedad Conmutativa:a+b=b+a
Elemento Neutro:a+0=a a*1=a
Inversos:
✅ Inverso en la sumas : a es -a
✅ Inversos en la multiplicacion : a es 1/a
Propiedad Distributiva: a(b+c)=ab+ac
a^0=1 si a ≠ 0
a^1=1
a^n * a^m =a^n+m
a^n / a^m= a^n-m
(a x b)^n = a^n x b^n
(a/b)^n=a^n / b^n
(a^n)^m= a^n*m
a^-n = 1/ a^n
1/a^-n=a^n
(a/b)^-n = (b/a)^n
n√a = a ^ 1/n
Aritmética
Compuestos
Primos
Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.
Todo aquel numero que solo sea divisble entre si mismo y uno
Teorema Fundamental de la aritmética
Se puede factorizar cualquier numero compuesto en numeros primos
Propiedades
Se puede dividir por 2 , si su último numero es par
Un numero es divisible por 3 , si la suma de sus numeros es divisible por 3
Un numero es divisible en 5 si termina en 0 en 5
Máximo común divisor
El mayor divisor que divide a los números en conjunto
Ejemplo: mcd(12,18)
Div12= 1,2,3,4,6,12
Div 18 = 1,2,3,6,9,18
Minimo comun multiplo
Es el menor de los multiplos comunes diferentes a 0
Ejemplo: mcm(3,5)=12
M 3= 3,6,9,12,15,18,21,24
M4=4,8,12,16,20,24
Numeros Racionales
Todo numero entero es racional si a ∈ Z entonces a/1 = 2a/2 = 3a/a =... ∈ Q
Fracciones Equivalentes
Significa que una fracción es igual a otro solo que tiene un múltiplo p/q y kp/ kq
Suma y Resta
Multiplicacion
Division
Jerarquía de una operacion
si p/q y r/s ∈ Q, entonces p/q = r/s si y solo si ps=qr
No son únicas: 1/3 = 3/9 por que 1(9) = 3 (3) =9
Nota
kp/kq se considera que esta en terminos mayores
p/q esta en términos menores o reducidos
Para encontrar k es necesario encontrar el M.C.D y dividirlo en los numeros enteros de la fracción , esto dura la versión reducida de la fracción.
- Nunca hacer : a(b +c) = a/b + a/c
- (x+y )/ 2 ≠ x/2 + y
- (a+b)/(c+d)= a/(c+d) + b/(c+d)
- (a+b)/c significa (a+b) c
- Fracción heterogénea : Se usa cuando el denominador de las dos fracciones es igual.
- Fracción Homogénea: Se usa cuando el denominador es diferente y es necesario encontrar el M.C.M de los denomidores. Despues para poner el resultado del M.C.M como denominador es necesario multiplicar cada fracción por el multiplo haria que el denominador fuera este numero .Despues revuelve de forma homogenea.
Ejemplo
3/12 + 5/8 - 2/9 M.C.M ( 12,18,9) = 36
9/36+10/36 - 8/36 = (9+10-8)/ 36 = 11/36
p/q+r/q=(p+r)/q , si solo si p/q, r/q ∈ Q
ejemplo
1/3 + 5/3 =(1+5)/3 = 6/3 =2/1
Si p/q, r/s ∈ Q , entonces p/q * r/s= pr/qs
ejemplo
-2/3 (4/5)= -8/ 15
Se dice que si el producto de dos números es igual a 1 los números son inversos multiplicativos o recíprocos
el reciproco de a/b es b/a
(a/b)/(c/d) / (e/f) =(a/b)(d/c)(f/e)
ejemplo
(1/3) / 4/5) / (2/3 ) = (1/3)(5/4)(3/2)= 15/24= 5/8
Decimales
Forma Decimal de numeros Racionales:
325,68=3(100)+2(10) + 5(1) +6(1/10) + 8(1/100)
= (300/1) + (20/1) +5/1)+(6/10)+(8/100)= 32568/1000
Redondeo de decimales
- Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es mayor que se 5 o bien si dicho dígito es 5 y los dígitos restantes de tal parte no son todos ceros, se incrementa el ultimo dígito: 8,9753 = 8,98
- Si el dígito a descartar es 5, se suma uno al ultimo dígito retenido si este es impar: de lo contrario, se deja sola la parte retenida: 2,475= 2,48
1.si el primer dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5 , Se eliminan todos los dígitos de la parte descartada. 6,1753= 6,274
Numeros Mixtos
Fracción Propia: Es aquella cuyo numerador es menor que su denominador
Fracción Impropia: Es aquella cuyo numerador es mayor o igual a su denomidar
18/7 =(2) 4/7
Numeros reales
Propiedades
Propiedad Conmutativa:No importa el orden en que se escriban los números en la suma y la multiplicación por que el resultado sera el mismo.
a+b = b+a
Propiedad Asociativa: No importa cual conjunto de números en la operación se opere primero el resultado dará el mismo.
(a+b)+c=a+(b+c)
Propiedad Distributiva: El producto distribuye la suma.
a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ab+ac
Son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.Cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Intervalos
Relacion de intervalos
a>b= a es mayor que b o b es menor que a
a≥b= a mayor o igual que b o b es menor igual o que a
Tipos de intervalos
Intervalo Abierto: (a,b) {x/a<x<b}
Intervalo Cerrado:[a,b] {x/a≤x≤b}
Ejemplo: (2,5) 2∉(2,5) 5∉(2,5) 3∈(2,5)
Ejemplo: [2,5] 2∈[2,5] 5∈[2,5]
Intervalos Semiabierto: (a,b] [a,) {x/a≤ x <b} {x/a<x≤b}
Ejemplo (8,10] 8∉(8,10] 10∈(8,10]
Infintos: (a,∞) [a,∞)
Operaciones entre conjuntos
Union
AUB={x/x ∈ A o x ∈ B}
Intersección
AnB={x/x∈A y x∈B}
Diferencia
A-B={x/x∈Ay x∉B}
Complemento
A c ={x/x ∉ A}
Expresiones algebraicas
Conjunto de numeros y de simbloso ligados entre si por los signos de las operaciones del algebra y que no contiene mas funciones que aquellas que pueden calcularse con las operaciones del algebra (suma , multiplicacion y sus inversas)
Partes de expresiones algebráicas
Monomio: Expresion algebraica de 1 termino
Variable : es una letra que puede representar cualquier numero tomado de un conjunto de numeros dado
Grado de un polinomio: exponente mayor en un polinomio
Binomio: Suma o resta de 2 monomios
Trinomio: suma o resta de tres monomios
Polinomio: suma o resta de mas de tres monomios.
Como operar expresiones algebraicas
Suma y resta
-Se respetan las propiedades de la suma y resta.
-se suman o restan términos semejantes ( variables y mismos exponentes)
Multiplicacion de monomios
-Se multiplican igual que los numeros naturales.
Propiedades
-Ley conmutativa.
-Ley asociativa.
-Ley distributiva
- Ley de signos
-Y se tienen en cuenta las propiedades de los exponentes
Divison de monómios
Se tienen en cuenta las propiedades de los exponentes y de la multiplicación.
Multiplicacion demonomios por polinomios
Solo es necesario aplicar la propiedad distributiva:
a(b+c) = ab+ac
Multiplicación de polinomios
Solo es aplicar la propiedad distributiva en uno de los polinoios hacia otro , adeas de las leyes de los exponentes:
(a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
Productos Notables
Es un producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección.
Binomio cuadrado:
Es igual al cuadrado del primero , mas el doble del primero por el segundo , más el cuadrado del segundo.
(a+v)^2 = a^2+2ab+b^2 (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Es producto notable en especial le sirve el triangulo de pascal:
Ejemplo :
-(3x+4)^2= (3x)^2+2(3x)(4)+(4)^2=)x^2+24x+16.
-(x^3-2)^2=(x^3)^2 - 2(x3)(2)+(2)^2=x^6-4x^3+4
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados: (a+b)(a-b)=a^2-b^2
Ejemplo: (3-x)(3+x)=(3)^2-(x)^2= 9-x^2
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo , mas del segundo.
-(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.
-(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
Ejemplo: -(2x+4)^3=(2x)^3+3(2x)^(4)+3(2x)(4)^2+(4)^3=8x^3+48x^2+96x+64.
Trinomia al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, ás el cuadrado del tercero , más el doble producto del primero por el segundo , más el doble producto del producto del primo por el tercero , más el doble producto del segundo por el tercero:
-(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.
-(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc
Producto de dos binomios que tienen un termino en común
Cuando se presenta el producto de dos binomios con términos común , es mas simple el desarrollo y queda de la siguiente manera: (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab
Ejemplo:
-(x+2)(x+3)= x^2+5x+6
-(2x+5)(2x-4)=(2x)^2+1(2x)-20=4x^2+2x-20
División de polinomios entre monomios
Entre las propiedades esta: (a+b)/c = a/b +b/c
Ejemplo: (12x^3-6x^2-9x-6)/6x^2 = 12x^3/6x^2 -6x^2/6x^2 -9x/6x^2 - 6/6x^2
División de polinomios
Algoritmos de la division
Sean p(x) y q(x) polinomios tales que el grado de p(x) es mayor que el grado de q(x) y q(x) ≠0. Entonces existen polinomios únicos c(x) y r(x) tales que : P(x)/q(x)= C(x)+r(x)/q(x) o p(x)=c(x)q(x)+r(x) donde el grado de r(x) es menor que el grado de q(x)
Teorema del residuo
Al polinomio P(x) se le llama dividendo , a q(x) divisor , a C(x) cociente y al polinomio r(x) se le denomina residuo.
La formula para la respuesta es: dividendo / divisor = cociente +residuo / divisor
Ejemplo : (3x^3-x^2-2x+6)/(3x-1) = x^2 - 2/3 +(16/3) /(3x-1)
Si un polinomio p(x) se divide entre el polinomio lineal x-c, el residuo r(x) es el valor de P(x) evaluado en x=c, es decir , r(x)=p(c)
El coeficiente de x no puede ser mayor a 1
Ejemplo: Si p(x) = 3x^3 -2x^2 -2x+6
P(1)=3(1)^3 - (1)^2 - 2(1) +6
=3-1-2-6=0+6=6
División Sintetica
Es un metodo abrevaiado para calcular la división entre un polinomio p(x) y un polinomio lineal x-c. Con este método no se requiere escribir las diferentes potencias de x, basta considerar los coeficientes de esas potencias en el dividendo p(x) ( quedebe incluir de manera obligatoria los coeficientes de cero). Ademas , es una forma muy práctica de evaluar p(c)
Ejemplo : F(x) = x^3 - 3x^2 -6 en x=2
1 -3 0 -6
0 2-2 -4
1-1 -2-10
Posee ademas de los numeros naturales , nummeros opuestos y el 0
Son todas las fracciones de los nuero enteros pero el denominador debe ser diferente a cero
Los números irracionales poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción