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NÚMEROS REALES, image, image - Coggle Diagram

- - - - Se representa
      - Su definición es
    - - El cuadrado del valor absoluto es igual al cuadrado del número
      - Valor absoluto es igual a la raíz cuadrada del número al cuadrado
      - Valor absoluto de cero es cero
      - Valor absoluto (-) es menor o igual que el número, y este menor o igual que el valor absoluto (+)
      - Valor absoluto de cualquier número es mayor o igual a cero
      - |x| ≥ b⇔ x ≤-b V x≥ b
        
        |a ∙ b|=|a||b|
        
        |x-a|≤b ⇔ -b ≤x-a ≤b
        
        |a/b|=|a|/|b|
        
        |x│≤ b⇔-b ≤ x ≤ b
  - - - Clausurativo
        
        U= R(∀a,∀b,∀c: a + b)= ϵ; c ∈ R
      - Conmutativo
        
        U=R (∀a,∀b): a + b = b + a
      - Asociativo
        
        U=R (∀a, ∀b, ∀c): (a + b) + c = a +(b + c)
      - Modulativo
        
        𝑈= ℝ.∀𝑎, 𝑆0: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
      - Invertivo
        
        𝑈= ℝ.∀𝑎, ∃ (−𝑎): 𝑎 + (−𝑎) = 𝑎; 𝑎 ≠ 0
- - - - 3 y 5 ∈ℝ∧3×5=15→15∈ℝ
    - - 2 ×4= 4×2
    - - [(−2)×(−3)]×6=(−2)×[(−3)×(6)]
    - - 5×1= 1×5=5(−2)×1=1×(−2)=−2
    - - 3×1/3=1(−3/2)×(−2/3)=1
  - - - Todo número ℝ dividido para la unidad es igual al mismo número (∀𝑎𝜖ℝ:𝑎÷1=𝑎):√7÷1=√7.
        
        Todo número ℝ ,diferente de 0, dividido para 0 no está definido (∀𝑎𝜖ℝ:𝑎÷0;𝑎≠0no está definido):4/7 ÷0, no está definido. Cero dividido para cero (0÷𝟎)es una indeterminación
        
        Si los dos números reales (llamados dividendo y divisor, respectivamente) tienen el mismo signo el resultado (llamado cociente) es positivo, caso contrario es negativo.
      - Todo número ℝ ,diferente de 0, dividido para sí mismo es igual a 1 (∀𝑎𝜖ℝ:𝑎÷𝑎=1;𝑎≠0):𝜋÷𝜋=1.
  - - - Si la definición (ejemplo) anterior se aplica el axioma simétrico de la igualdad, se tiene: 𝑼=𝑹.∀𝒂,∀𝒃,∀𝒄;𝒂.𝒃+𝒂.𝒄=𝒂.(𝒃+𝒄)
      - Si consideramos lo anotado anteriormente, el axioma distributivo-recolectivo a la izquierda, se escribe en forma simbólica de la siguiente manera: 𝑼=𝑹.∀𝒂,∀𝒃,∀𝒄;𝒂.(𝒃+𝒄)=𝒂.𝒃+𝒂.𝒄∧𝒂.𝒃+𝒂.𝒄=𝒂.(𝒃+𝒄)
- - - - 1=1 9>3 4<8
      - Transitivo:𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏,∀𝑐: 𝑎>𝑏 ∧𝑏>𝑐⇒𝑎>𝑐
      - 2>−1 ∧−1>−4→2>−4
      - Anti simétrico: 𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏: 𝑎>𝑏 ⇔ 𝑏<𝑎 __ 𝑎<𝑏 ⇔ 𝑏>𝑎
      - Tricotomía 𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏: 𝑎=𝑏,𝑎>𝑏,𝑎<𝑏
      - 12>8↔8<12 ____1<5↔5>1
      - Aditivo: 𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏,∀𝑐:__ 𝑎>𝑏∧𝑐=𝑐⇒𝑎+𝑐>𝑏+𝑐
      - 2>0 ∧ 1=1→2+1>0+1
      - Multiplicativo:
        
        𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏,∀𝑐:
        
        Número positivo (𝑐>0) 𝑎>𝑏 ∧ 𝑐=𝑐⇒𝑎∙𝑐>𝑏∙𝑐
        
        Número negativo (𝑐<0) 𝑎<𝑏 ∧ 𝑐=𝑐⇒𝑎∙𝑐<𝑏∙𝑐
      - Arquímedes: 𝑈=ℝ+.∀𝑎,∀𝑏:__ 𝑎>𝑏,∃n∈ℤ+:𝑎<𝑏∙n
      - 8>3,4∈ℤ+___ 8<3∙4
      - Densidad: 𝑈=ℝ.∀𝑎,∀𝑏,∃c:__𝑎>𝑏⇔𝑎>𝑐>𝑏
      - 4>3,existe 3,5 tal que: 4>3,5>3
    - - Se llama potenciación al producto formado mediante multiplicaciones sucesivas de un mismo número o letra.
      - Potencia cero
        
        𝑎0=1;𝑎≠0
        
        40=1
        
        Potencia uno
        
        𝑎1=𝑎
        
        (−√3)1=−√3
        
        Potencia enésima positiva (PEP)
        
        𝑎𝑛=𝑎∙𝑎∙𝑎…𝑎;𝑎∈ℝ ∧n∈ℕ∗
        
        n veces
        
        15=1∙1∙1∙1∙1=1 23=2∙2∙2=8
        
        Potencia enésima negativa (PEN)
        
        4−9=149
        
        𝑎−𝑛=1𝑎𝑛;𝑎≠0∧0∈ℕ
        
        Potencia enésima fraccionaria (PEF)
        
        𝑎𝑚/𝑛 =√𝑎𝑚;𝑛𝑎>0
        
        432=√43=8
      - TEOREMAS DE LA POTENCIACIÓN
        
        Potencia enésima positiva par
        
        Potencia enésima positiva impar
        
        Potencia enésima del producto
        
        Potencia enésima del coeficiente
    - - Producto de potencias
      - Cociente de potencias
      - Potencia de potencia
    - - Es la operación matemática que encuentra o extrae la raíz de un número.
      - DEFINICIONES BÁSICAS
        
        Raíz y potencia enésima
        
        Raíz enésima inexacta
        
        Raíz enésima de 1
        
        Raíz enésima exacta
        
        Raíz enésima de una potencia
        
        TEOREMAS DE LA RADICACIÓN
        
        Raíz enésima par exacta o inexacta
        
        Radicando igual a 0:
        
        Radicando positivo (+):
        
        Radicando Negativo (-):
        
        Raíz enésima impar exacta o inexacta
        
        Radicando positivo (+):
        
        Radicando igual a 0:
        
        Radicando Negativo (-):
        
        Raíz enésima del producto
        
        Raíz enésima del cociente exacto
- - - - Se llama radicales semejantes a los radicales a los radicales que tienen el mismo grado y el mismo radicando.
        
        OPERACIONES CON RADICALES
        
        SUMA Y RESTA
        
        Para sumar y/o restar radicales se simplifican los radicales semejantes y se efectúan las operaciones
        
        indicadas. Por ejemplo: Simplificar 2√75 + √28 − √12
        
        Por ejemplo: √2 𝑦 4√2 son semejantes, y se pueden operar como términos semejantes √2 𝑦 4√3 no son semejantes
      - DIVISION DE RADICALES CON EL MISMO ÍNDICE
        
        Se conserva el signo radical. Se dividen los coeficientes y las cantidades subradicales respectivamente. Se
        
        simplifica el coeficiente de la cantidad subradical, si es posible. Por ejemplo: Dividir: 10√10 ÷ 5√2
        
        POTENCIA
        Para elevar un radical a una potencia cualquiera se eleva la cantidad subradical a esa potencia. Por
        ejemplo: Efectuar: (√2) 3
        
        RACIONALIZACIÓN
        Se llama racionalización a la operación que consiste en transformar una fracción, que tenga uno o más
        radicales en el denomidador, en otra fracción equivalente sin radicales en el denominador.