A geometria da escola secundária foi por um longo tempo baseada na geometria axiomática formal que Euclides criou há mais de 2000 anos atrás.

A geometria escolar que é apresentada de maneira axiomática semelhante assume que os alunos pensam em um nível dedutivo formal. No entanto, esse geralmente não é o caso, e eles não têm conhecimentos pré-requisitos sobre geometria. Essa falta cria uma lacuna entre seu nível de pensamento e o necessário para a geometria que se espera que aprendam. p. 310

Consideramos que essa forma de pensar em Matemática é a capacidade de compreender a natureza dos fenômenos e inferir sobre eles; identificar e perceber a importância da Geometria como uma ferramenta para entendimento do mundo físico e como um modelo matemático para compreensão do mundo teó- rico.

pensar geometricamente demanda a mobilização de, no mínimo, uma das seis abstrações geométricas aqui analisadas: a espacial, a perceptiva, a analítica, a descritiva, a dedutiva e a hipotética

existe uma ampla diversidade dessas representações, as quais Duval (1995) organizou em quatro grupos de registros: a língua natural (associações verbais e conceituais); as escritas algébricas e formais (sistemas de escritas numéricas, algébricas, simbólicas e cálculo); as representações gráficas (gráficos cartesianos); e figuras geométricas (planas ou em perspectivas)

Duval (1995) destaca duas operações cognitivas importantes na compreensão do funcionamento cognitivo, especificamente, no estudo dos objetos em Matemática: o tratamento e a conversão. Para o autor, o tratamento consiste em uma modificação que ocorre dentro de um mesmo registro, enquanto que a conversão é a mudança da representação de um objeto matemático para outra representação desse próprio objeto

Identificação ou reconhecimento de uma forma, primeira impressão visual e leitura dos formatos de uma figura

Construção de uma figura ou descrição de sua construção. Não depende apenas da propriedades das figuras, mas de instrumentos para construção

Formulação de hipóteses, descrições, denominações. Aqui as propriedades das figuras são descritas através de suas variáveis, e não apenas de percepção.

Operar sobre as figuras geométricas por meio de manipulação, composição, transformação, reconfiguração, comparação dos objetos voltados à Geometria para solucionar certa situação geométrica

identificação do contorno de formas, pela diferenciação de um triângulo de um quadrilátero ou de uma figura circular

utiliza instrumentos (régua e compasso) na construção e toma consciência de que uma propriedade em Geometria não é somente um atributo visual.

realiza modificações e operações na figura na busca de um percurso adequado de resolução

Nasser (2013, p. 892) sinaliza que: a habilidade de abstração deve ser desenvolvida desde os primeiros anos de escolaridade. Os conceitos de número, reta e quadrado são exemplos de objetos matemáticos que dependem de uma abstração. Três processos contribuem para a abstração: representação, generalização e síntese. No caso dos números, por exemplo, é imprescindível que os alunos entendam a diferença de representação de um número natural e de um número racional: enquanto o número natural tem uma representação numérica única, um número racional representa uma classe de equivalência, com infinitos elementos, que são representações distintas para o mesmo número. Se esse conceito não for bem construído, os alunos não dominam o conceito de frações equivalentes, e essa dificuldade cria obstáculos para a aprendizagem de diversos conceitos, como porcentagem e escalas de ampliação ou redução (negrito nosso)

Ao analisar esse problema, Van-Hiele (1957) percebeu a existência de diversos níveis de desenvolvimento que formam o pensamento geométrico. Para o autor, o avanço entre os níveis se dá a partir de ordem hierárquica, na qual o estudante passa de um nível mais simples para um mais elaborado. Então, ao ter contato com os conceitos geométricos, por meio de tarefas organizadas adequadamente pelo professor, um aluno alcançará com mais sucesso do que outro que não teve as mesmas condições, p. 6

Ainda, como sinalizado pelo autor, o progresso do pensamento geométrico de um sujeito não depende de sua idade, nem de sua maturidade biológica. Tais características se apresentam como divergentes dos atributos da teoria de Piaget. Nessa direção, o que possibilita esse desenvolvimento é a ação pedagógica, p. 7

o pensamento geométrico é a capacidade mental de construir conhecimentos geométricos, de aplicar de modo coerente os instrumentos geométricos na resolução de problemas. É a capacidade de compreender a natureza dos fenômenos e inferir sobre eles, de identificar e perceber a importância da Geometria como uma ferramenta para entendimento do mundo físico e como um modelo matemático para compreensão do mundo teórico.