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Gli angoli - Coggle Diagram
Gli angoli
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La classificazione
La prima classificazione degli angoli consiste nel distinguerli tra convessi e concavi. secondo la df. generale di figura convessa, si ha che
- l'angolo piatto e tutti gli angoli minori di esso sono convessi
- gli angoli maggiori dell'angolo piatto sono concavi, a accezione dell'angolo giro.
Occorre ragionare su due versanti:
-presentare due angoli molto particolari
- notare che esistono anche altre definizioni di angolo convesso/concavo
Angoli particolari:
- angolo nullo, costituito da due semirette coincidenti
- angolo giro, costituito dall'intero piano
Oss.: alla luce della def. generale di figura convessa, sia l'angolo nullo sia l'angolo giro sono convessi
Ci sono altre definizioni di convesso/concavo
- Convesso: minore dell'angolo piatto; concavo maggiore dell'angolo piatto
- Convesso: non contiene il prolungamento dei lati; concavo: contiene il prolungamento dei lati
Per semplificare. Escludendo i casi particolari, possiamo osservare che:
- tutti gli angoli minori dell'angolo piatto sono convessi
- tutti gli angoli maggiori dell'angolo piatto sono concavi
La classificazione prosegue, concentrando l'attenzione sui convessi. Lo spartiacque è l'angolo rettoAngolo retto: ciascuno dei due angoli ottenuti bisecando l'angolo piatto
- Acuto-> non nullo e minore dell'angolo retto
- Ottuso: maggiore dell'angolo retto e minore dell'angolo piatto.
Acuto e ottuso sono quindi convessi
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Angoli complementari, supplementari, esplementariPotendo sommare gli angoli, possiamo introdurre tre termini:
- se due angoli hanno come somma un angolo retto e sono detti complementari
- se hanno come somma un angolo piatto sono detti supplementari
- se hanno come somma un angolo giro sono detto detti esplementari
OSS.: adiacenti implica supplementari, non viceversa
L'angolo è la parte di piano delimitata da due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette che hanno la stessa origine.
Le due semirette che delimitano l'angol si chiamano lati . La loro origine comune, vertice.
Il concetto di angolo può derivare da diverse esperienze:
- rotazione
- cambiamento di direzione
Si può anche vedere l'angolo come l'intersezione o unione di due semipiani
Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi:
- tramite una lettera greca
- attraverso una semiretta, il vertice e l'altra semiretta
- con le sole semirette
- tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull'altra semiretta
- attraverso il solo vertice
Osservazione. Alla luce delle definizioni, osseviamo che il semipiano è un angolo ed è convesso.
è un angolo perché è una reta di piano delimitata da due semirette.
è convesso perché una qualsiasi coppia di punti del semipiano è congiunta da un segmento che 'non esce' dal semipiano stesso
Concavità e convessità. Una figura è convessa se, comunque scelta una coppia di punti che le appartengono, il segmento che li con giunge è interamente contenuto nella figura stessa. Viceversa, una figura è concava se contiene almeno una coppia di punti che sono gli estremi di un segmento non completamente contenuto nelle figura .
Questi definizione vale per qualsiasi figura, può essere quindi valutata in particolare per gli angoli.
Angolo come intersezione/ unione di semipiani
Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da una retta. La retta viene denominata origine del semipiano
L'ampiezza
L'ampiezza è la grandezza che descrive gli angoli.
L'unità di misura dell'ampiezza è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro , cioè l'angolo gradoIl grado ha due sottomultipli: il primo e il secondo
- il primo è la sessantesima parte del grado
- il secondo è la sessantesima parte del primo
Una difficoltà: l'angolo è una parte di piano illimitata, ma ad esso è associata una misura, che è un numero finito.
Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.
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Il confronto
Due angoli aVb e cOd sono congruenti se, facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo con lato del secondo angolo, coincidono anche glia altri due lati e le regioni angolari.
Se così non è, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano un lato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell'altro. In tal caso il primo è minore del secondo
Strumenti per il confronto:
- Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre
- Strumento che consente di effettuare più misurazioni
- Costruzione geometrica con riga e compasso
Un angolo si può dividere in parti uguali; in particolare per la suddivisione in due parti uguali si utilizza la bisettrice
La bisettrice di un angolo è la semiretta che ha origine nel vertice dell'angolo e lo divide in due angoli congruenti
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