Gli angoli
Le posizioni reciproche tra due angoli
Il confronto
La classificazione
Il teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale
L'ampiezza
Costruzioni geometriche
Attività di laboratorio
Trasporto dell'angolo con strumenti vari
Modello di angolo retto con piegatura della carta
Teorema di Pitagora e l'angolo retto
Angolo come unione di semipiani
Angoli e la fionda a terra
Angolo come cambiamento di direzione
Confronti fra angoli e cartocino
Angolo come rotazione
L'angolo è la parte di piano delimitata da due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette che hanno la stessa origine.
Le due semirette che delimitano l'angol si chiamano lati . La loro origine comune, vertice.
Il concetto di angolo può derivare da diverse esperienze:
- rotazione
- cambiamento di direzione
Si può anche vedere l'angolo come l'intersezione o unione di due semipiani
Notazioni. Gli angoli si possono indicare in vari modi:
- tramite una lettera greca
- attraverso una semiretta, il vertice e l'altra semiretta
- con le sole semirette
- tramite un punto su una semiretta, il vertice e un punto sull'altra semiretta
- attraverso il solo vertice
Osservazione. Alla luce delle definizioni, osseviamo che il semipiano è un angolo ed è convesso.
è un angolo perché è una reta di piano delimitata da due semirette.
è convesso perché una qualsiasi coppia di punti del semipiano è congiunta da un segmento che 'non esce' dal semipiano stesso
Concavità e convessità. Una figura è convessa se, comunque scelta una coppia di punti che le appartengono, il segmento che li con giunge è interamente contenuto nella figura stessa. Viceversa, una figura è concava se contiene almeno una coppia di punti che sono gli estremi di un segmento non completamente contenuto nelle figura .
Questi definizione vale per qualsiasi figura, può essere quindi valutata in particolare per gli angoli.
Angolo come intersezione/ unione di semipiani
Si chiama semipiano ciascuna delle due parti di piano separate da una retta. La retta viene denominata origine del semipiano
Due angoli possono essere:
- consecutivi
- consecutivi e adiacenti
- opposti al vertice
Due angoli aVb e cOd sono congruenti se, facendo coincidere il vertice V con il vertice O e un lato del primo angolo con lato del secondo angolo, coincidono anche glia altri due lati e le regioni angolari.
Se così non è, si possono collocare gli angoli in modo che coincidano un lato e il vertice e uno sia interamente contenuto nell'altro. In tal caso il primo è minore del secondo
Strumenti per il confronto:
- Ricalcare gli angoli tramite la carta velina e sovrapporre
- Strumento che consente di effettuare più misurazioni
- Costruzione geometrica con riga e compasso
Un angolo si può dividere in parti uguali; in particolare per la suddivisione in due parti uguali si utilizza la bisettrice
La bisettrice di un angolo è la semiretta che ha origine nel vertice dell'angolo e lo divide in due angoli congruenti
La prima classificazione degli angoli consiste nel distinguerli tra convessi e concavi. secondo la df. generale di figura convessa, si ha che
- l'angolo piatto e tutti gli angoli minori di esso sono convessi
- gli angoli maggiori dell'angolo piatto sono concavi, a accezione dell'angolo giro.
Occorre ragionare su due versanti:
-presentare due angoli molto particolari
- notare che esistono anche altre definizioni di angolo convesso/concavo
Angoli particolari:
- angolo nullo, costituito da due semirette coincidenti
- angolo giro, costituito dall'intero piano
Oss.: alla luce della def. generale di figura convessa, sia l'angolo nullo sia l'angolo giro sono convessi
Ci sono altre definizioni di convesso/concavo
- Convesso: minore dell'angolo piatto; concavo maggiore dell'angolo piatto
- Convesso: non contiene il prolungamento dei lati; concavo: contiene il prolungamento dei lati
Per semplificare. Escludendo i casi particolari, possiamo osservare che:
- tutti gli angoli minori dell'angolo piatto sono convessi
- tutti gli angoli maggiori dell'angolo piatto sono concavi
La classificazione prosegue, concentrando l'attenzione sui convessi. Lo spartiacque è l'angolo retto
Angolo retto: ciascuno dei due angoli ottenuti bisecando l'angolo piatto
- Acuto-> non nullo e minore dell'angolo retto
- Ottuso: maggiore dell'angolo retto e minore dell'angolo piatto.
Acuto e ottuso sono quindi convessi
La somma tra angoli si svolge rendendoli consecutivi
Angoli complementari, supplementari, esplementari
Potendo sommare gli angoli, possiamo introdurre tre termini:
- se due angoli hanno come somma un angolo retto e sono detti complementari
- se hanno come somma un angolo piatto sono detti supplementari
- se hanno come somma un angolo giro sono detto detti esplementari
OSS.: adiacenti implica supplementari, non viceversa
Date due rette distinte r ed s e una trasversale t, incidente entrambe le rette, si individuano otto angoli, che si denominano, a coppie:
- angoli corrispondenti
- angoli alterni
siano r e s due rette e sia t una retta incidente sia t sia s. Le seguente condizioni sono equivalenti
a le rette r e s sono parallele
b gli angoli corrispondenti sono congruenti
c gli angoli alterni sono congruenti
L'ampiezza è la grandezza che descrive gli angoli.
L'unità di misura dell'ampiezza è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro , cioè l'angolo grado
Il grado ha due sottomultipli: il primo e il secondo
- il primo è la sessantesima parte del grado
- il secondo è la sessantesima parte del primo
Una difficoltà: l'angolo è una parte di piano illimitata, ma ad esso è associata una misura, che è un numero finito.
Due angoli congruenti hanno la stessa ampiezza.
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