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Gli enti geometrici fondamentali - Coggle Diagram
Gli enti geometrici fondamentali
Il punto
é l'astrazione della posizione di un oggetto
Descrizione-> ente geometrico privo di dimensione
Rappresentazioni-> granello di sabba, punta di spillo , - segno della puntata della matita sul foglio
Notazione-> lettere maiuscole dell'alfabeto italiano
Se i punti A e B coincido A----B
La retta
è l'astrazione della traiettoria di un corpo in movimento vhr manine costante la propria direzione
Descrizione_ ente geometrico avente un'unica dimesione, costituito da infiniti punti che mantengono la stessa direzione; illimitata.
-Rappresentazione: la scia di un aereo, la traccia rettilinea della matita sul foglio
Notazione: lettere minuscole dell'alfabeto italiano
Se le rette r e s coincidono. Se non sono coincidenti, allora si dicono distinte
Il piano
è l'astrazione di una tavola di legno, di un tavolo, del pavimento
Descrizione-> ente geometrico bidimensionale
Rappresentazioni-> un parallelogramma , del quale si immagina l'illimitatezza
Notazione: lettere greche minuscole
Le proprietà degli enti fondamentali
4 proprietà:
Per un punto del piano passano infinite rette. Tutte le rette per un punto del piano costituiscono un fascio proprio di rette
per due punti distinti del piano passa un'unica retta
Due rette del piano hanno al più un punto in comune. sussistono tre possibilità:
ingenito le rette hanno infiniti punti in comune-> si dicono coincidenti
Le rette hanno esattamente un punto in comune-> si dicono incidenti
. 0. Le rette non hanno punti in comune-> si dicono parallele
Ogni retta del piano ha infinite rette parallele. Tutte le rette parallele a una retta da costituiscono un fascio improprio di rette.
La caratteristica comune a tutte le rette di un fascio improprio è la loro direzione
Possibili errori.
Classificare le rette del piano con criteri dello spazio fisico
Riferirsi al movimento nello spazio: convergenti/divergenti
Confondere due piani di classificazione, perdendo le gerarchie. 'Perpendicolari' è un caso particolare di 'incidenti'
Attenzione al termine OBLIQUO
Nello spazio fisico significa non verticale né orizzontale
in Geometria si riferisce a due rette e significa incidenti e non perpendicolari. Non ha senso, in assenza di un sistema di riferimento, parlare di una retta obliqua
Tuttavia, nel contesto del piano cartesiano, una retta può essere obliqua
Un accenno alle Geometrie non euclidee
Assioma delle parallele
Data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta passante per quel punto e parallela alla retta data
Se si accetta questo assioma, si lavora in Geometria Euclidea: la Geometria che insegnata a scuola e che risponde bene all'esigenza di modelizzazione della realtà.
I matematici successivi si sono chiesti se questo fosse deducibile dagli assiomi precedenti o se , come Euclide aveva scelto , fosse davvero un nuovo assioma.
Dagli assiomi è deducibile che:
dati una retta e un punto esterno, esiste almeno una retta parallela alla retta data e passante per il punto.
Ma il fatto che tale retta sia unica non è affatto scontato e soprattutto non è deducibile
La questione è stata a lungo dibattuta, tanto che le risposte sono arrivate solo nel XIX secolo e hanno dato origine a nuove goemetrie
Negando il V postulato euclideo si aprono due strade
Dati una retta e un punto esterno ad essa, le parallele alla retta data passanti per il punto possono essere:
nessuna
. almeno due
Data una retta e un punto esterno ad essa, esistono almeno due rette passanti per quel punto e parallelel alla retta data.
GEOMETRIA IPERBOLICA
Modello del disco:
il piano iperbolico è costituito dai punti interni a un cerchio;
le rette sono archi di circonferenza, collocati all'interno del cerchio stesso e perpendicolari al bordo del cerchio
Figura: Rappresentazione di un modello di geometria iperbolica, in cui il piano geometrico è un cerchio de le rette sono archi di circonferenza perpendicolari a quella che delimita il piano iperbolico. Il triangolo grigio ha ampiezza degli angoli interni minore rispetto a due angoli retti.
Data una retta e un punto esterno ad essa, non esiste alcuna retta passante per quel punto e parallela alla retta data.
GEOMETRIA ELLITICA
Modello: la superficie di una sfera. In questo modello le rette sono le circonferenze massime contenute nella superficie sferica.
Figura: Rappresentazione di un modello di geometria ellittica o sferica, in cui il piano geometrico è una sfera e le rette sono le circonferenze massime. Il triangolo grigio ha due angoli retti, quindi la somma dei suoi angoli interni è superiore a due angoli retti.
La lunghezza di una linea
Costruzioni geometriche
Costruzioni geometriche ( con riga e compasso): tema classico della matematica greca; studiati molto a lungo.
Consistono nella costruzione di figure, utilizzando solo:
riga non graduata
compasso collassante (sostituibile con quello rigido)
Alcune costruzioni perché.
per il vlore storico culturrale
perché è utile che gli alunni possano familiarizzare con gli strumenti
perché effettuare una costruzione geometrica rende più consapevoli delle proprietà geometriche che gli enti possiedono
La parallela a una retta data si può costruire anche con riga e compasso. La costruzione richiede il trasporto dell'angolo. Costruiamo la retta parallela alla retta data r e passante per un punto P esterno a r
Attività di laboratorio
I percorsi e le linee
L'appartenenza e l'illimitatezza
La classificazione delle linee
Pallina su pista-> primaria
Pallina su pista-> infanzia
I punti e e le rette
Introduzione
Gli enti fondamentali sono i termini primitivi, non definibili
punto
retta
piano
Le linee
Topologicamente (proprietà invarianti per particolari 'deformazioni del foglio'):
possono essere aperte/ chiuse
possono essere intrecciate/semplici
caratteristiche della retta: aperta, semplice, illimitata.
Quali sono le linee più interessanti?
la retta
il segmento
la spezzata
le chiuse semplici, tra le quali: poligonale, circonferenza
Osservazione: sia le linee chiuse sia quelle intrecciate, suddividono il piano in più regioni. parleremo, però di confine e di regione interna solo nel caso di linee chiuse e semplici.
Il confine è la linea chiusa e semplice, la regione interna è la parte di piano che tale linea circoscrive.
Proiettivamente possono essere rettilinee, curve, miste
è l'astrazione della traiettorie di un corpo in movimento
Def.: ente geometrico avente un'unica dimensione, insieme continuo e infinito di punti
Rappresentazioni: un filo disposto in modo qualsiasi, la traccia della matita su un foglio.
Notazione: lettere minuscole dell'alfabeto italiano
esistono linee:
limitate- hanno una lunghezza
illimitate- non hanno una lunghezza