GEOMETRIA
IL LUOGO GEOMETRICO
ASSE DI UN SEGMENTO: retta che passa per un punto medio(M) ed è perpendicolare ad AB
BISETTRICE: la bisettrice è una retta che divide in 2 angoli congruenti l'angolo
DEF LUOGO GEOMETRICO: Punti del piano che verificano una prorietà
CIRCONFERENZA: luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fissato detto centro.
TEOREMA: per 3 punti non allineati passa 1 e 1 sola circonferenza
ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA: si chiama angolo alla circonferenza ogni angolo convesso che ha il vertice su di una circonferenza e i due lati o entrambi secanti la circonferenza, oppure uno secante e l'altro tangente alla circonferenza
RETTA E CIRCONFERENZA:
PROPRIETA' DELLE CORDE
Se due corde hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti
Se una corda è > dell'altra allora la < è più vicina al centro
Due corde congruenti hanno la stessa distranza dal centro
In una circonferenza, ogni corda non passante per il centro è minore del diametro.
CERCHIO: si chiama cerchio la figura costituita da una circonferenza e da tutti i punti interni a essa.
SEZIONE AUREA:
Si dice sezione aurea di un segmento la parte del segmento media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente
PARTI DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO
ANGOLO AL CENTRO: si chiama angolo al centro ogni angolo che ha il vertice nel centro di una circonferenza(o di un cerchio)
ARCO: si chiama arco l'intersezione di una circonferenza con un suo angolo al centro. si dice che l'angolo al centro insiste sull'arco che individua.
i due punti in cui i lati dell'angolo al centro incontrano la circonferenza si chiamano estremi dell'arco e la corda che li congiunge si dice sottesa all'arco
SETTORE CIRCOLARE: si chiama così l'intersezione di un cerchio con un suo angolo al centro. L'angolo al centro si dice corrispondente al settore.
SEMICERCHIO: un settore circolare il cui corrispondente angolo al centro è piatto
QUADRANTE CIRCOLARE: un settore circolare il cui corrispondente angolo al centro è retto
SEMICIRCONFERENZA: un arco i cui estremi sono due punti diametralmente opposti
SEGMENTI CIRCOLARI
S.C. A UNA BASE: si chiama così l'intersezione di un cerchio con un semipiano la cui origine contiene una corda del cerchio
S.M. A DUE BASI: si chiama così l'intersezione di un cerchio con una striscia i cui lati contengono 2 corde parallele del cerchio
B) se la distanza della retta dal centro della circonferenza è congruente al raggio, la retta è TANGENTE alla circonferenza
C) se la distanza della retta dala centro della circonferenza è minore del raggio , la retta è SECANTE LA CIRCONFERENZA
A)se la distanza dalla retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio, la retta è ESTERNA alla circonferenza
1) Per ogni angolo alla C. c'è un unico angolo al centro corrispondente
2)Per ogni angolo al centro ,ci sono infiniti angoli alla circonferenza corrispondenti
L'intersezione tra un angolo alla circonferenza e una circonferenza è un arco.
Si dice che l' angolo alla c. INSISTE su tale arco o che l'arco è SOTTESO all' angolo.
Tutti gli angoli alla C. che insistono sullo stesso arco(o su archi congruenti)sono congruenti
Ogni angolo alla C. è la metà del corrispondente angolo al centro
Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto
POLIGONI ISCRITTI E CIRCOSCRITTI
POLIGONI INSCRITTI: Un poligono INSCRITTO in una C. se tutti i suoi vertici appartengono alla C. In tal caso la circonferenza si dice CIRCOSCRITTA al poligono
POLIGONI CIRCOSCRITTI: Un poligono CIRCOSCRITTO se tutti i suoi lati sono TANGENTI alla circonferenza. In tal caso, la C. si dice INSCRITTA al poligono.
CONDIZIONI DI INSCRIVIBILITA': Un poligono è inscrivibile in una C. se e solo se gli ASSI dei suoi lati si incontrano in uno stesso punto.
CONDIZIONI DI CIRCOSCRIVIBILITA': Un poligono è circoscrivibile se e solo se le BISETTRICI dei suoi angoli si incontrano in uno stesso punto
CONDIZIONI DI INSCRIVIBILITA' DEI QUADRILATERI:
-Se un quadrilatero ha due angoli opposti supplementari allora il quadrilatero è INSCRIVIBILE in una circonferenza
CONDIZIONI DI CIRCOSCRIVIBILITA' DEI QUADRILATERI:
-Se un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due, allora il quadrilatero è CIRCOSCRIVIBILE a una circonferenza
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO:
ISCRIVIBILITA' E CIRCOSCRIVIBILITA' DEI POLIGONI REGOLARI: un poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza. Il centro della circonferenza inscritta e di quella circoscritta coincidono.
INCENTRO: Si chiama incentro di un triangolo il punto di intersezione degli angoli interni
ORTOCENTRO: Si chiama ortocentro di un triangolo il punto di intersezione delle tre rette che contengono le altezze del triangolo
CIRCOCENTRO: Si chiama circocentro di un triangolo il punto di intersezione dei lati
BARICENTRO: Si chiama baricentro di un triangolo il punto di intersezione delle 3 mediane del triangolo
EQUIVALENZA ED EQUISCOMPONIBILITA':
SUPERFICI EQUIVALENTI: Due superfici che hanno la stessa estensione si dicono EQUIVALENTI
PROPRIETA' DELLA RELAZIONE DI EQUIVALENZA TRA SUPERFICI:
1)Ogni superfice è equivalente a se stessa
2)Se una superfice A è equivalente a B, allora è anche vero
che B è equivalente ad A
3)Se tre superfici A,B e C sono tali che A e B equivalenti e B e C sono equivalenti, anche A e C sono equivalenti
CONFRONTO TRA SUPERFICI:
Date 2 superfici A e B, sussiste una sola fra le seguenti
A < B oppure A = B oppure A > B
SOMMA E DIFFERENZA DI DUE SUPERFICI EQUIVALENTI:
Somme e differenze di superfici equivalenti sono equivalenti
TEOREMI DI EQUIVALENZA:
EQUIVALENZA TRA UN QUADRILATERO CON LE DIAGONALI PERPENDICOLARI E UN RETTANGOLO:
Dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari (in particolare un rombo), è possibile costruire un rettangolo equivalente al doppio del quadrilatero , avente lati congruenti alle sue diagonali
EQUIVALENZA TRA UN TRAPEZIO E UN TRIANGOLO: Dato un trapezio, è possibile costruire un triangolo equivalente, avente base congruente alla somma delle basi del trapezio e altezza congruente all'altezza del trapezio.
EQUIVALENZA TRA UN POLIGONO CIRCOSCRITTO IN UN C. E UN TRANGOLO:
Dato un poligono circoscritto a una C., è possibile costruire un triangolo equivalente avente base di lunghezza uguale al perimetro del poligono e l'altezza congruente all' apotema del poligono
EQUIVALENZA TRA TRIANGOLI:
Due triangoli che hanno congruenti, rispettivamente, la base e l'altezza a essa relativa sono equivalenti
EQUIVALENZA TRA POLIGONO REGOLARE E TRIANGOLO: Un poligono regolare è equivalente a un triangolo avente base di lunghezza uguale al perimetro del poligono e altezza congruente all' apotema del poligono
EQUIVALENZA TRA TRIANGOLO E RETTANGOLO:
Dato un triangolo, è possibile costruire un rettangolo equivalente avente per base la stessa base del triangolo e per l'altezza metà del triangolo
EQUIVALENZA TRA UN POLIGONO E UN POLIGONO CON UN LATO IN MENO:
Dato un poligono, è possibile costruire un poligono equivalente con un lato in meno del poligono originale
EQUIVALENZA TRA UN POLIGONO E UN RETTANGOLO: Dato un poligono, è possibile costruire un rettangolo equivalente
EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI:
Due parallelogrammi che hanno congruenti, rispettivamente, una base e la relativa altezza sono congruenti
EQUIVALENZA FRA PARALLELOGRAMMI E RETTANGOLO:
Dato un parallelogramma, è possibile costruire un rettangolo EQUIVALENTE che ha la base e l'altezza congruenti, rispettivamente, alla base e all' altezza del parallelogramma.
EQUIVALENZA TRA UN POLIGONO E UN TRIANGOLO:
Dato un poligono, è possibile costruire un triangolo a esso equivalente
AREE DEI POLIGONI
TRAPEZIO:
A = 1/2 (b1 + b2) h
ROMBO:
A = 1/2 d1 d2
TRIANGOLO:
A = b 1/2 h = 1/2 b h
POLIGONO CIRCOSCRITTO IN UNA C:
A = P * a(apotema)
RETTANGOLO:
A = b * h
TEOREMA DI PITAGORA E UCLIDE:
1° T.EUCLIDE:
Il quadrato costruito su un cateto di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all'ipotenusa e alla proiezione di quel cateto sull' ipotenusa
2° T.EUCLIDE:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti ale proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
T.PITAGORA:
Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
APPLICAZIONI TEOREMA DI PITAGORA:
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LATO DI UN QUADRATO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA:
In una circonferenza il cui raggio misura r, la misura del lato di ogni quadrato inscritto è il prodotto di r per la radice quadrata di 2
IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE : La misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele è uguale al prodotto della misura di un cateto per la radice quadrata di 2
ALTEZZA DI UN TRIANGOLO EQUILATERO:
La misura dell'altezza di un triangolo è uguale al prodotto della misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3
DIAGONALE DI UN QUADRATO:
La misura della diagonale di un quadrato è uguale al prodotto della misura del suo lato per la radice quadrata di 2
RELAZIONE TRA I LATI DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO CON DUE ANGOLI DI 30° E 60°:
In un triangolo rettangolo con gli angoli acuti sono 30° e 60°, la misura del cateto opposto all'angolo di 30° è la metà di quella dell'ipotenusa e la misura del cateto opposto all'angolo di 60° è uguale al prodotto della metà della misura dell' ipotenusa per la radice quadrata di 3
LATO DI UN TRIANGOLO EQUILATERO INSCRITTO IN UNA C:
In un C. il cui raggio misura r, ogni triangolo equilatero inscritto ha il lato che misura r * radice di 3
TEOREMA DI TALETE E SIMILITUDINI:
RAPPORTO TRA DUE SEGMENTI:
Si chiama rapporto tra due segmenti AB e BC il rapporto tra le misure di AB e BC, rispetto a una data unità di misura
SEGMENTI IN PROPORZIONE: Si dice che quattro segmenti A,CD,EF e GH sono in proporzione, o proporzionali, se il rapporto tra AB e CD è uguale al rapporto tra EF e GH, cioè se AB/CD = EF/GH
T. TALETE
PROPRIETA' FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI:
Data la proporzioni a : b = c : d, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
ad=bc
Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, il apporto tra due segmenti AB e CD individuati dal fascio su una trasversale è uguale al rapporto tra i loro corrispondenti A'B' e C'D'sull'altra trasversale
SIMILITUDINI:
TRIANGOLI SIMILI:
Due triangoli si dicono simili se i loro angoli sono rispettivamente congruenti e i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali
1°CRITERIO DI SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI:
Se due triangoli hanno due angoli rispettivamente congruenti, allora sono simili
SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE PER I TRIANGOLI:
Se due triangoli hanno due lati proporzionali e l'angolo compreso congruente, allora sono simili
TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE PER I TRIANGOLI:
Se due triangoli hanno i lati proporzionali, allora sono simili
RELAZIONI TRA COPPIE DI TRIANGOLI SIMILI:
In due triangoli simili, di rapporto di similitudine k.
a)il rapporto tra le misure di due altezze corrispondenti è uguale a k;
b)il rapporto tra i perimetri è uguale a k;
c)il rapporto tra le aree è uguale a k^2
POLIGONI SIMILI:
Due poligoni aventi lo stesso numero di lati si dicono siili se.
a)hanno gli angoli rispettivamente congruenti;
b)i lati opposti agli angoli congruenti sono proporzionali
PERIMETRI E AREE DI POLIGONI SIMILI:
Se due poligoni sono simili e il loro rapporto di similitudine è k, allora:
a)il rapporto fra loro perimetri;
b)il rapporto fra loro le loro aree è uguale a k^2
DIAGONALI DI POLIGONI SIMILI:
In due poligoni simili, il rapporto tra due diagonali che congiungono vertici corrispondenti è uguale al rapporto di similitudine
POLIGONI REGOLARI:
RAPPORTO TRA PERIMETRI DI DUE POLIGONI REGOLARI:
Il rapporto tra i perimetri di due poligoni regolari aventi lo stesso numero di lati è uguale sia al rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte ai poligoni
TEOREMA DELLE CORDE:
Se due corde AB e CD di una circonferenza si intersecano in P, il prodotto delle misure dei due segmenti in cui AB resta divisa da P è uguale al prodotto delle misure dei due segmenti in cui CD resta divisa da P
TEOREMA DELLE SECANTI:
Se da un punto a una circonferenza si conducono due semirette secanti e si considerano i quattro segmenti che hanno un estremo nel punto esterno e l'altro nei punti d'intersezione delle secanti con la circonferenza, il prodotto delle misure dei due segmenti appartenenti all'altra secante
CORDE e DIAMETRI: ogni segmento che ha per estremi due punti qualsiasi di una circonferenza. Una corda che passa per il centro di una circonferenza si chiama diametro
La misura della sezione aurea di un segmento di misura l è 1,618