ANELLI
(A, ⊤, ⊥)
Assiomi
⊥ è associativo e ammette elemento neutro
proprietà distributiva: a ⊥ (b ⊤ c) = (a ⊥ b) ⊤ (a ⊥ c)
(A, ⊤) è un gruppo abeliano
Proprietà (A,+,·)
Terna ordinata
proprietà assorbimento: a0A = 0A = 0Aa
Due elementi distinti: 0a, 1a
0a elemento assoluto
Insieme elementi invertibili U(A)
u, v ∈ A uv = 1A = vu
U (A) ∩ D(A) = ∅
Insieme divisori non banali di zero D(A).
a,b ∈ A, b, a =! 0 | ab = 0A
Insieme Divisori dello zero: {0A} ⊎ D(A),
Anello Integro
D(A) = ∅.
anello commutativo
integro
Dominio d'integrità
Campi
Assiomi
anello commutativo
U(A) = A*,
Ogni campo è un dominio d'integrità.
Anello Commutativo
⊥ proprietà commutativa: a ∗ b = b ∗ a
Anello (Zn,+,·)
Definizione
Anello Commutativo
[1]n unità
[a]n · [b]n := [a · b]n
Proprietà
U(Zn)
D(Zn)
Zn = {[0]n} ⊎ U (Zn) ⊎ D(Zn).
Campo Zn ⇐⇒ n è primo
[a]n ∈ U(Zn) se MCD(a,n)=1
[a]n ∈ D(Zn) se MCD(a, n) > 1
U(Zn) = generatori ciclici di (Zn, +).
|U(Zn)| = φ(n)
|D(Zn)| = n − 1 − φ(n).
Teorema di Eulero-Fermat
a∈φ(n) a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
Piccolo Teorema di Fermat
p è primo, ∀a tc a^p ≡ a (mod p).
Isomorfismi
MATRICI
Determinante
Omomorfismo
Conserva operazioni
Additivo
Moltiplicativo
Nucleo
ker(f) = {a ∈ A | f(a) = 0B} = f−1(0B)
omomorfismo + bigettiva
A ≅ B
f(a1 ·A a2) = f(a1) ·B f(a2)
f(a1 +A a2) = f(a1) +B f(a2)
A,B anelli e f: A -> B
invertibile se det != 0
divisore dello zere se det = 0
periodo
moltiplicativo
addittivo
[a]n^k = [1]n POTENZA
[a x a x ... x a] k volte
[a]n^k = [1]n MULTIPLO
[a x k]
operazioni
somma
prodotto
Trasformazioni elementari