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Enti Geometrici Fondamentali - Coggle Diagram
Enti Geometrici Fondamentali
Per descrivere un ente bisogna avere la sua definizione
Però esistono degli enti che non hanno una definizione, essi sono gli enti primitivi e sono: il punto, la retta e il piano
I punti si indicano con le lettere maiuscole. Le rette con le lettere minuscole e i piani con le lettere minuscole dell'alfabeto greco.
Quando disegniamo su un foglio stiamo solo facendo rappresentazioni perché gli enti geometrici sono ideali, cioè ottenuti da astrazioni dal mondo circostante
I punti sono gli enti che costituiscono le figure geometriche. Le figure Geometriche sono insiemi di punti
Le proprietà delle figure geometriche sono descritte con teoremi.
Un teorema è un enunciato alla quale tramite una dimostrazione si può vedere la verità
Una dimostrazione è una sequenza di deduzioni che parte dall'ipotesi e arriva alla tesi.
Un teorema è il teorema inverso o reciproco di un altro se le loro ipotesi e tesi sono scambiate
Le figure geometriche si possono descrivere anche con postulati o anche detti assiomi.
I postulati o assiomi sono deduzioni che sono date per certe senza usufruire di una dimostrazione
Chiamiamo Geometria Euclidea la geometria che venne dedotta, specialmente da Euclide, con il metodo ipotetico-deduttivo o assiomatico.
Mediante i postulati di appartenenza e d'ordine possiamo capire le caratteristiche degli enti primitivi
I Postulati di appartenenza:
1 Il piano è un insieme di punti. Le rette sono sottoinsiemi del piano
2 A una retta appartengono almeno 2 punti distinti
3 Nel piano esistono almeno 3 punti che non appartengono alla stessa retta
4 Due punti distinti appartengono entrambi a una ed una sola retta
2 rette con un solo punto in comune si intersecano e sono incidenti
I postulati d'ordine. Definiamo A B C come 3 punti allineati che appartengono alla stessa retta che ha un verso dove A precede B che precede C.
1 Se A e B sono 2 punti distinti di una retta, o A precede B oppure B precede A.
Vale la proprietà antisimmetrica
2 Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
vale la proprietà transitiva
3 Preso un punto A su una retta, c'è almeno un punto che precede A e uno che segue A.
la retta è illimitata
4 Presi 2 punti B e C su una retta, con B che precede C, c'è almeno un punto A della retta che segue B e precede C
la retta è un insieme denso
Una retta contiene infiniti punti
Ogni retta può essere orientata stabilendo la percorrenza.
Da questi postulati si può dedurre che: per un punto di un piano passano infinite rette, il piano contiene infiniti punti e infinite rette.
l'insieme delle infinite rette del piano che passano per un punto si chiama Fascio proprio di rette e il punto in comune è il centro del fascio.
Figure e proprietà
Una semiretta di origine P è l'insieme del punto P e di tutti quelli che lo seguono oppure che lo precedono in base all'andamento della retta iniziale
2 semirette sono opposte si formano quando in una retta un punto P le crea.
Un Segmento di estremi A e B è l'insieme dei punti della retta di appartenenza che seguono A e precedono B.
I punti interni sono compresi tra A e B
Un segmento è nullo se gli estremi coincidono
2 segmenti possono essere: consecutivi o adiacenti
se hanno un solo punto in comune sono consecutivi: Se sono consecutivi sulla stessa retta sono adiacenti.
Una retta in un piano divide i punti che non l appartengono in 2 insiemi se 2 punti appartengono allo stesso insieme allora il segmento che si formerà non intersecherà la retta, se invece i punti appartengono a insiemi diversi allora il segmento intersecherà la retta.
Un semipiano di origine r è l'insieme dei punti che appartengono a r e ad uno degli insiemi che crea r
Una retta origina 2 semipiani opposti
Una figura è convessa se presi 2 punti, questi sono sempre estremi di un segmento contenuto nella figura. In caso contrario la figura è concava
Un angolo di vertice V e lati a e b è l'insieme dei punti delle semirette a e b e di una delle 2 parti in cui esse dividono il piano.
Un angolo può essere concavo o convesso
Se gli angoli coincidono in una sola semiretta allora chiamiamo: angolo nullo dove fanno parte solo i punti della semiretta, angolo giro che ha per lati i punti della semiretta ed è costituito da tutti i punti del piano
Un angolo è piatto se è costituito da 2 semirette opposte. Un angolo piatto è un semipiano
2 angoli possono essere: consecutivi se hanno in comune solo il vertice e uno dei lati, adiacenti se sono consecutivi e i lati non in comune sono semirette opposte.
2 angoli convessi sono opposti al vertice se i lati di uno sono le semirette opposte dell'altro
2 figure sono uguali solo se coincidono punto per punto. 2 figure sono congruenti se possono essere sovrapposte punto per punto con un movimento rigido. Per indicare la congruenza si usa il simbolo ≅
ci sono dei postulati per la congruenza:
1 la Congruenza tra figure è una relazione di equivalenza ( proprietà simmetrica, riflessiva, transitiva)
2 sono congruenti fra loro: 2 rette, 2 semirette, 2 semipiani.
se 2 semipiani sono ≅ tra loro allora tutti gli angoli piatti sono ≅ fra loro.
linee, poligonali, poligoni
Con gli enti primitivi aggiungiamo la linea. La retta è un caso particolare di linea. Ogni linea che non sia una retta, una semiretta o un segmento è una linea curva. Un tratto di curva compreso fra 2 punti è detto arco i 2 punti sono gli estremi.
Tra le linee distinguiamo le linee aperte e quelle chiuse, quelle intrecciate e quelle non intrecciate.
Una linea chiusa non intrecciata divide il piano in 2 insiemi: i punti interni e quelli esterni.
Nell'insieme dei punti esterni è possibile tracciare rette che stiano dentro l'insieme invece nell'insieme dei punti interni no.
Una linea che che unisce un punto interno con uno esterno intersecherà per forza la linea iniziale
La circonferenza, che deve avere un centro e un raggio, è l'insieme dei punti del piano che hanno dal centro la stessa distanza di un punto che si trova sulla circonferenza
La parte di circonferenza compresa tra 2 punti è un arco. L'insieme dei punti di una circonferenza e di tutti quelli interni a essa è un cerchio
Una poligonale (spezzata) è un insieme di segmenti tale che: ogni segmento è consecutivo, ogni estremo dei segmenti appartiene al massimo a 2 segmenti.
Una poligonale è chiusa se ogni estremo appartiene a 2 segmenti, altrimenti una poligonale è aperta. Una poligonale è intrecciata se almeno 2 segmenti si intersecano in un punto diverso dagli estremi.
Un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni.
Un poligono può essere convesso o concavo ma solitamente per indicare un poligono convesso diciamo solo poligono.
In un poligono: i segmenti della poligonale sono lati, gli estremi sono vertici; Gli angoli convessi consecutivi sono gli angoli del poligono (angoli interni); Gli angoli adiacenti a quelli interni sono gli angoli esterni; I segmenti che hanno per estremi 2 vertici che non appartengono allo stesso lato sono le diagonali.
Ogni angolo interno ha 2 angoli esterni
Un poligono con tutti i lati congruenti è equilatero, se ha tutti gli angoli congruenti è equiangolo, se è entrambi è regolare.
Operare con segmenti e angoli
Per confrontare segmenti è necessario poterli spostare in tutte le posizioni. Questi postulati garantiscono lo spostamento dei segmenti: - Considerando una semiretta ed un segmento sulla semiretta esiste il punto di origine il segmento iniziale e un altro di stessa lunghezza siano della stessa misura. -Considerando un angolo e un semipiano e prendendo dalla retta che origina il semipiano una semiretta appartenente al piano. Nel piano esiste un unico angolo dove un lato coincide con la retta del semipiano e l'altro appartiene al semipiano.
Per dire che un segmento è uguale ad un altro si dice che è esso coincide con l'altro segmento. Per dire che un segmento è più grande di un altro si die che è esterno. Per dire che un segmento è più piccolo di un altro si dice che esso è interno
Nella somma di 2 segmenti ci sono 2 casi:
Se 2 segmenti sono adiacenti, allora il segmento sarà un estremo del primo con un estremo del secondo. Se non sono adiacenti, allora li spostiamo per farli diventare adiacenti e poi usiamo il procedimento precedente. Stessa cosa per gli angoli.
Il segmento e l'angolo nullo sono gli elementi neutri in questi casi
Per la differenza diciamo che un segmento, formato dagli estremi che fanno notare la differenza, è la differenza di altri 2 segmenti. Stessa cosa per gli angoli
Per queste operazioni valgono le stesse proprietà che conosciamo già.
Costruzioni con riga e compasso:
Si può utilizzare solo: Compasso, riga.
Costruzione di un punto con uguale distanza dagli estremi di un segmento: dato il segmento tracciamo, dagli estremi, con apertura che deve rimanere uguale per entrambi gli archi un arco e lo facciamo anche dall'altro lato. I 2 archi si incontrano in un punto che congiungeremo con gli estremi del segmento.
Costruzione di un angolo congruente a un angolo dato: disegniamo un angolo e tracciamo un arco che interseca i lati dell'angolo. Poi tracciamo una semiretta e tracciamo un arco che interseca la semiretta, successivamente tracciamo, dal punto che interseca la semiretta, un arco congruente alla distanza dei punti del primo disegno e troviamo l'altro punto che congiungeremo con l'origine della semiretta.
Multipli e sottomultipli
Dato un numero naturale (n) e un segmento, un altro segmento è multiplo del primo segmento, secondo n è: il segmento nullo se n è 0, il semento iniziale se n è 1, se n è maggiore di 1 allora sarà la somma di n segmenti iniziali. Stessa cosa per gli angoli.
Per ottenere sempre i multipli di angoli è necessario estendere il concetto di angolo in modo che esistano angoli più grandi di un angolo giro.
Dato un numero naturale (n che deve essere diverso da 0) e un segmento, un altro segmento è sottomultiplo del primo segmento, secondo n è: il secondo segmento = uno fratto n per il segmento iniziale. Partendo da un altro segmento, esso è m fratto n per il segmento più piccolo. Stessa cosa per gli angoli.
Il punto medio di un segmento è il punto che lo divide in 2. La bisettrice divide in 2 un angolo ed è una semiretta. Questi sono unici
Dati 2 segmenti non nulli è sempre possibile trovare un multiplo di uno dei 2 che superi l'altro.
Esiste il sottomultiplo di un segmento secondo un numero naturale qualsiasi diverso da 0. Multipli e sottomultipli secondo lo stesso numero di segmenti sono congruenti. La stessa cosa vale per gli angoli.
Un angolo è retto se è la metà di uno piatto. Un angolo minore di uno retto è acuto. Maggiore di uno retto è ottuso. 2 Angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto, supplementari se la loro somma è un angolo piatto, esplementari se formano un angolo giro.
Angoli supplementari di angoli congruenti sono angoli congruenti.
Angoli complementari di angoli congruenti sono congruenti.
Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Lunghezze e ampiezze
La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza a cui appartiene il segmento.
2 segmenti sono congruenti se hanno lunghezza uguale. Il perimetro di un poligono è la lunghezza della somma dei lati di esso. La distanza re 2 punti è la lunghezza del segmento che congiunge i 2 punti
Tutto quello che abbiamo detto per le lunghezze vale per le ampiezze.
Per misurare la lunghezza di un segmento utilizziamo un altro segmento, non nullo, come unità di misura. le 2 lunghezze (l'unità di misura ed un segmento) messe a confronto sono commensurabili ed il numero che determina la relazione tra l'unità di misura ed il segmento è la misura. Stessa cosa per le ampiezze