Exemplo de
Séries de Taylor e Maclaurin
Utilidades
Conceito
Representação de uma função como série infinita de polinomios
Funcionamento
A partir de um ponto do domínio da função, constrói-se progressivamente um polinômio de modo que as derivadas de enésima ordem da função e do polinômio sejam iguais
Calculadoras
Computadores
Engenharia
Física
Função Exponencial
exp(t)
Propriedades
É a própria derivada
Output 1 pra t = 0
Nunca devolve valores negativos
Injetora
Algoritmos pra computar aproximações pra outputs irracionais das funções
Soluções aproximadas pra problemas reais
Permite a ideia de
Potenciação com números não reais
Explicação
Enquanto que a ideia clássica de potenciação está presa à visão de sucessivas multiplicações, a série de Taylor da função exponencial permite a expansão desse conceito pra qualquer input que possa ser inserido no lugar de t no polinômio
'e' elevado a números complexos
'e' elevado a matrizes quadradas
Demonstra
Identidade de Euler
Resulta em
Vetor no plano complexo
Propriedades da série
Raio de convergência infinito
Resto de Taylor tende a zero
A série de Taylor mais simples
Resolve problemas do tipo
Derivada de um vetor em relação ao tempo = Uma matriz vezes o próprio vetor
Situação gera um campo vetorial onde a velocidade do vetor depende de sua posição no espaço
Equação de Schrödinger
Resulta em
Outra matriz quadrada
Da mesma forma que derivar e elevado a at revela que sua taxa de crescimento depende do valor atual vezes a constante a, derivar e elevado a uma matriz A revela que sua mudança depende de uma transformação linear aplicada no vetor atual
