Logaritamska i eksponencijalna funkcija
Eksponencijalna
Logaritamska
Funkcija oblika f(x)=a(na x)
a je realni broj a>0 i a=/1
(nacrtati oblik grafa)
Jednadžba
Funkcija
Jednadžba koja se može svesti na oblik
a(na x)=b
Primjer: 4(na x)=64
4(na x)=4(na 3)
x=3
Funkcija
Pojam logaritma
logaritam pozitivnog realnog broja b po bazi a je eksponent kojim treba potencirati bazu da bi se dobilo b
Jednadžba
Graf:
grafovi funkcija f(x)=a(na x) i g(x)=a(na -x) simetrični su obzirom na os x
nema nultočke
uvijek prolazi točkom (0, 1)
asimptota je os x odnosno os y=0
domena: skup R
Slika: skup svih pozitivnih realnih brojeva <0, +beskonacno>
Funkcija je rastuća za a>1, a padajuća za 0<a<1
injektivna je
Od dviju rastućih funkcija, brže će rasti ona koja ima veću bazu
Od dviju padajućih funkcija, brže će padati ona koja ima manju bazu
Eksponencijalna funkcija f : R -> R+ je bijekcija
a i b su realni brojevi
a>0, a=/1
b>0
Može se rješavati na različite načine
Primjena svojstva injektivnost:
Obje strane jednakosti a(na x)=b prikažemo kao potencije jednakih baza. Ako potencije imaju jednake baze tada im i eksponenti moraju biti jednaki
Primjer: 2(na x)=4
2(na x)=2(na 2)
x=2
Može se prikazati i grafom
Postupak logaritmiranja
Ako b u jednadžbi a(na x)=b ne možemo prikazati kao potenciju baze a
a>0, a=/1
Logaritamski zapis: log a b=x
jer je u eksponencijalnom zapisu: a(na x)=b
a - baza logaritma
b - logaritmand
x - vrijednost logaritma
Eksponencijalni zapis: a(na x)=b
a- baza potencije
x - eksponent
b - vrijednost potencije
Logaritam od 1 po bilo kojoj bazi a jednak je nuli
log a 1=0
Ako su baza i logaritmand jednaki, logaritam je jednak jedan
log a a=1
Ako je logaritam pozitivnog realnog broja b po bazi 10 tada to zapisujemo samo kao log b te se to naziva dekatski logaritam
Logaritam pozitivnog realnog broja b po bazi e zapisuje se kao ln b te se naziva prirodni logaritam
Računanje s logaritmima
Tri pravila za računanje:
log a (xy)=log a x + log a y
log a x/y=log a x-log a y
log a x(na n)=n* log a x
Ako je x, y >0, a>0, a=/1, n € R
Primjer: ...
Pravilo za prijelaz iz jedne baze u drugu:
log a x=log b x/ log b a
Funkcija oblika f(x)=log a x
a>0, a=/1
Graf
Za a>1 funkcija je rastuća
Za 0<a<1 funkcija je padajuća
Bijekcija: skup R
Inverzna je s eksponencijalnom funkcijom
Inverzna je s logaritamskom funkcijom
Domena: skup pozitivnih realnih brojeva R=<0, +beskonacno>
Asimptota: x=0
Jednadžba oblika log a x=b
f(x)=a(na x)
f(x)=log a x
Slika: skup realnih brojeva R
siječe os x u točki (1, 0)
a>0
a=/1
x>0
a je baza
Rješenje: x=a(na b)
Primjena logaritamske funkcije
Primjena eksponencijalne funkcije
(Nacrtati graf)
Primjer:
click to edit
Eksponencijalna funkcija rabi se pri računanju prirasta stanovništva, kod izračuna kamata, pri razmnožavanju različitih bakterija i virusa
Logaritamska funkcija rabi se pri računanju pH-vrijednosti, pri računanju glasnoće zvuka, pri računanju potresa
Primjer zadatka:
Primjer zadatka:
click to edit
Kamatni račun
Neka osoba uloži u banku iznos od 10 000 kn, na 5 godina uz kamatnu stopu 3% godišnje. Kolikim će iznosom raspolagati osoba na kraju 5. godine ako svake godine podigne dobiveni iznos kamata i nastavi štednju s početnim ulogom?
Formula: Cn=C0 *1(1+p/100)na n
Uvrstimo u formulu